微分几何练习题库及参考答案已修改分解.docx
《微分几何练习题库及参考答案已修改分解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分几何练习题库及参考答案已修改分解.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
微分几何练习题库及参考答案已修改分解
《微分几何》复习题与参考答案
、填空题
23*
1.极限lim[(3t1)i-tjk]=13i-8jk.
2「
2.设f(t)=(sint)itj,g(t)=(t1)iej,求lim0(f(t)g(t)^_0__.
3.已知2?
(t)dt二{—1,2,3},4?
(t)dt二{—2,1,2},3={2,1,1},b={l,-1,0},则
46“
[孑咒r(t)dt+bJ2ar(t)dt={3,-9,5}.
4.已知,(t)=a(a为常向量),则r(t)二t:
c.
5.已知卜⑴,(a为常向量),则'(t)二^t2a-c.
6.最贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的切线和密切平面.
7.曲率恒等于零的曲线是_直线.
&挠率恒等于零的曲线是_平面曲线.
9.切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线
10.曲线r二'(t)在t=2处有¥=3*,则曲线在t=2处的曲率k=_3
11.若在点(Uo,Vo)处ru“V式0,则(Uo,Vo)为曲面的_正常点.
4d
12.已知f(t)=(2t)j(Int)k,g(t)二(sint)i-(cost)j,t0,贝U(fg)dt=2-6cos4.
0dt
13.曲线:
(t)—2t,t3,e「在任意点的切向量为’23『,小.
14.曲线7(t)二facosht,asinht,at?
在t=0点的切向量为「0,a,a?
.
15.
1y一一e
1
曲线7(t)-\acost,asint,bt?
在t=0点的切向量为:
0,a,b?
.
16.设曲线C:
xwlyretz^t2,当t=1时的切线方程为仃.设曲线x=dcost,y=£sint,z=et,当t=0时的切线方程为x-1=y=z-1.
18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是F=M=0_.
19.u—曲线(v—曲线)的正交轨线的微分方程是_Edu+Fdv=0(Fdu+Gdv=0).__.
20.在欧拉公式人=k!
cos2k2sin2^中,二是的夹角.
21.曲面的三个基本形式,〔;山、高斯曲率、、平均曲率匚之间的关系是二-2H「K,0.
drj
22.已知r(u,v)=5+v,u—v,uv},其中u=t2,v=sint,则一={2t+cost2tcs,2vt価st}.
dt
23.已知7acos「cos、acossin二asin*,其中即-t,二-12,贝U
dr(®8)『i
asincosv-2atcos’sinv,-asinsinv2atcos「cost,acos打.
dt
24.设r=r(u,v)为曲面的参数表示,如果22=0,则称参数曲面是正则的;如果r:
G>r(G)
是一一对应的,则称曲面是简单曲面.
25.如果u-曲线族和v-曲线族处处不相切,则称相应的坐标网为正规坐标网.
26.平面7(u,v)=「u,v,0?
的第一基本形式为du2dv2,面积微元为dudv.
27.
悬链面r(u,v)-:
coshucosv,coshusinv,u]第一基本量是E=cosh2u,F=0,G=cosh2u.
30.双曲抛物面r(u,v)=ia(u-v),b(u-v),2uv?
的第一基本形式是
2222222222
(ab4v)du2(a-b4uv)dudv(ab4u)dv.
31.正螺面r(u,v)={ucosv,usinv,bv}的平均曲率为_0.
32.方向(d)=du:
dv是渐近方向的充要条件是kn(d)=0或Ldu22MdudvNdv2=0.
33.方向(d)二du:
dv和(®二8u:
&共轭的充要条件是
II(dr*,品=0或Ldu§uM(duSzdv§u)NdvW=0.
kE—L汗—M
34"是主曲率的充要条件是扎f_mZG-N“.
36.根据罗德里格斯定理,如果方向(d)=(du:
dv)是主方向,则
d:
=「knd‘,其中kn是沿方向(d)的法曲率.
37.旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面.
38.测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面二上的正投影曲线(C*)的曲率.
39.k,kg,kn之间的关系是k2=%2,kn2.
40.如果曲面上存在直线,则此直线的测地曲率为_0
41.正交网时测地线的方程为
-Ev
ds
2Ej
du
cose
ds=
■7T
dv_
sinB
ds
■-
=cos——3=Sinn
G2G.E
42.
直线
曲线是曲面的测地线,曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是
、单项选择题
1.已知%)二A.d,0,1?
;B.
〈-1,0,1?
;C.9,1,1;D.
「1,0,-1.
2.已知r(tHr(t),
■为常数,贝Ur(t)为(C).
A.ta;B.
1
扎a;c.「a;d.
e£.
其中a为常向量.
3.曲线(C)是一般螺线,以下命题不正确的是(D).
A.切线与固定方向成固定角;B.副法线与固定方向成固定角;
C.主法线与固定方向垂直;D.副法线与固定方向垂直.
4.曲面在每一点处的主方向(A)
A.至少有两个;B.只有一个;C.只有两个;D.可能没有.
5.球面上的大圆不可能是球面上的(D)
A.测地线;B.曲率线;C.法截线;D.渐近线.•
6.已知?
(x,y)y,xy1,求dr(1,2)为(D).
A.?
dx,dy,dx2dy』;B.、dxdy,dx-dy,O」;
C.?
dx-dy,dx+dy,0?
;D.\dx,dy,2dxdy?
.
7.圆柱螺线r7cost,sint,t?
的切线与z轴(C).
A.平行;B.垂直;C.有固定夹角一;D.有固定夹角一.
43
8.设平面曲线C;=7(s),s为自然参数,是曲线的基本向量.叙述错误的是(C).
A.'为单位向量;B.?
-f;C.?
=-k^;D.?
=-k":
亠八.
9.直线的曲率为(B).
A.-1;B.0;C.1;D.2.
10.关于平面曲线的曲率C:
r='(s)不正确的是(D).
A.k(s)=|
(s)|;B.k(s)=|舟(s)|,呼为睦(s)的旋转角;
C.k(s)=“;D.k(s)祁(s)|.
11.对于曲线,“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的(D).
D.
12.下列论述不正确的是(D).
A.:
叮均为单位向量;B.「T;c.四_弓;d.扎「
13.对于空间曲线C,“挠率为零”是“曲线是直线”的(B).
A.充分不必要条件;B.必要不充分条件;
C.既不充分也不必要条件;D.充要条件.
t兀
14.x=a(t-sint),y=a(1-cost),z=4asin在点t的切线与z轴关系为(D).
22
A.垂直;B.平行;C.成.的角;D.成'的角.
34
x2y2z2
15.椭球面—\厂1的参数表示为(c).
abc
A.fx,y,「coscosrcossinr,sin1;
B.tx,y,zf=iacos'cos^bcos「sinv,sin:
;
C.lx,y,z}=(acos®cos日,bcos®sin日,csin;
D."xyZ='acoscos^,bsincoshesin2.
16.曲面T(u,v)—2u-v,u2•v2,u3-v3?
在点M(3,5,7)的切平面方程为(B).
A.21x3y-5z20=0;B.18x3y-4z-41=0;
C.7x5y-6z-18=0;D.18x5y-3z16=0.
17.球面7(u,v)二:
Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu?
的第一基本形式为(D).
A.R2(du2sin2udv2);B.R2(du2cosh2udv2);
C.R2(du2sinh2udv2);D.R2(du2cos2udv2).
18.正圆柱面:
(u,v)=:
Rcosv,Rsinv,u?
的第一基本形式为(C).
A.du2dv2;B.du2-dv2;Cdu2R2dv2;D.du2-R2dv2.
佃.在第一基本形式为l(du,dv)=du2•sinh2udv2的曲面上,方程为u^vg^v二v2)的曲线段的弧长为(B).
A.coshv2-coshv,;B.sinhv2-sinh*;
C.coshw-coshv2;D.sinhv(-sinhv2.
20.设M为正则曲面,贝UM的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是(B).
A.E=0;B.F=0;C.G=0;D.M=0.
21.高斯曲率为零的的曲面称为(A).
A.极小曲面;B.球面;C.常高斯曲率曲面;D.平面.
22.曲面上直线(如果存在)的测地曲率等于(A).
A.0;B.1;C.2;D.3.
三、判断题(正确打V,错误打x)
1.向量函数r-r(t)具有固定长度,则r(t)_r(t).v
2.向量函数r-r(t)具有固定方向,则r(t^Jr(t).V
3.向量函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模X
4.曲线:
的曲率、挠率都为常数,则曲线:
是圆柱螺线•X
5.若曲线丨的曲率、挠率都为非零常数,则曲线-是圆柱螺线•V
6.圆柱面:
二{Rcos’Rsin,,z},z-线是渐近线.V
7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.X
&两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.V
9.等距变换一定是保角变换.V
10.保角变换一定是等距变换.X
11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.X
12.在光滑曲线的正常点处,切线存在但不唯一.X
13.若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线.V
14.在曲面的非脐点处,有且仅有两个主方向.V
15.高斯曲率与第二基本形式有关,不是内蕴量.X
16.曲面上的直线一定是测地线.V
17.微分方程A(u,v)du・B(u,v)dv=0表示曲面上曲线族.X
18.二阶微分方程A(u,v)du2B(u,v)dudvC(u,v)dv=0总表示曲面上两族曲线.X
19.坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0,这里F是第一基本量.V
20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.V
21.连接曲面上两点的所有曲线段中,测地线一定是最短的.X
22.球面上的圆一定是测地线.X
23.球面上经线一定是测地线.V
24.测地曲率是曲面的内蕴量.V
四、计算题
1.求旋轮线x=a(t「sint),y二a(1「cost)的0咗t乞2-一段的弧长.
解旋轮线:
(t)-、a(t-sint),a(1-cost).'的切向量为7(t)-'a-acost,asint』,则在0空t乞2_
2兀#2兀
段的弧长为:
s=r(t)dt二12a、、1-costdt=8a.
00
求曲线x=tsint,y=tcost,z"d在原点的切向量、主法向量、副法向量.
②求曲率
①求基本向量:
①7(t)=—asint,acost,b?
P(t)='-acost,「asint,Ol,
4.
有k=^,
求正螺面r(u,v)二:
ucosv,usinv,bvf的切平面和法线方程.
建-、cosv,sinv,o:
\建={-usinv,ucosv,b,切平面方程为
bsinvx-bcosuyuz-buv=0,法线方程为3°^J皿.
bsinv-bcosvu
5.求球面:
(「,R=、acos「cosr,acos「sin^asin宀上任一点处的切平面与法线方程.
解r.:
-\-asincos^,-asinsin\acos』,\-acos「sinr,acos「cos'O?
=a2cos和-coscost,-cossinn,-sin/
.球面上任意点的切平面方程为
:
x-acoscost,y-acos「sin3z-asin中.;a2cos'-cos'cost,-cossinv,-sinf二0,即cosvcos「xcos:
sinvysin「z_a=0,
法线方程为
2
(x-acos「costy-acos「sinv,z-asinJ=■acos「(-cos「cost,-cos'sinv,-sinJ,即x—acos「cosvy—acos'sinvz—asin「
cos®cos日cos申sin^sin®
6.求圆柱螺线x二acost,y=asint,z=t在点(a,0,0)处的密切平面.
解卉t)=£asinacdJ"(t)=〔ac0s,asitn,
所以曲线在原点的密切平面的方程为
x—ay—0z—0
-asintacost1=0,
-acost-asint0
即(sint)x-(cost)yaz-asint=0.
7.求旋转抛物面z=a(x2•y2)的第一基本形式.
解参数表示为:
(x,y)='x,y,a(x2寸丫,住—1,0,2axl,二=「0,1,2ay?
EJrx=14a2x2,F詁I=4a2xy,G捕£=14a2y2,
8.
I(dx,dy)=(14a2x2)dx28a2xydxdy(14a2y2)dy2.求正螺面7(u,v)=\ucosv,usinv,bv?
的第一基本形式.ru=、cosv,sinv,0爲「—usinv,ucosv,b?
E=ruru=1,F-rurv=0,G=rvrv=u2b2,I(du,dv)二du2(u2b2)dv2.
9.
计算正螺面^(u,v)-iucosv,usinv,bv?
的第一、第二基本量.
ruvinv,cosv,0<,咕=:
-ucosv,「usinv,0<,
ru-\cosv,sinv,0f,rv-〔-usinv,ucosv,bf,
ruu="O0,0r',
ETu=1,
—2b—2,N昭「0.
.b2u2
10•计算抛物面z=x2y2的高斯曲率和平均曲率.
解设抛物面的参数表示为?
(x,y)-\x,y,x2y2},则
2y
^-2x,-2y,1?
解直接计算知
E=1,F=0,
K2222222,
EG_F(1+4x)(1+4y)_(4xy)(4x+4y+1)
12.
求曲面z=xy2的渐近线.
化简得dy(2ydxxdy)=0,dy=0或2ydxxdy0
渐近线为y=G,x2y=C2
13.求螺旋面?
=、ucosv,usinv,bv』上的曲率线.
解:
二{cosv,sinv,0},[={—usinv,ucosv,b}
:
bsinv,-bcosv,u/让bsinv,-bcosv,u/
:
bsinv,-bcosv,u/
ruu=9,0,0?
ruv=1-sinv,cosv,01g=:
-ucosv,-usinv,0?
L=0,M,N=0
Jf+b
曲率线的微分方程为
积分得两族曲率线方程
v=ln(u.u2b2)c•和v=In(、u2b2_u)c2.
14.求马鞍面r二{u,v,u2-v2}在原点处沿任意方向的法曲率解ru={1,0口2古亍{0v,1,
E=(2=14u2,F=己亘--4uv,G=14v2
I二(14u2)du2-8uvdudv(14v2)dv2
n
「-2u,2v,1?
4u24v21
2
4u24v21
2
、14u24v2
du2
.14u24v2
dv2,
n
k==
knI
(du2_dv2)
71+4u2+4v2
2222(14u)du-8uvdudv(V4v)dv
15.求抛物面z=a(x2+y2)在(0,0)点的主曲率.解曲面方程即r={x,y,a(x2y2)},
rx={1,0,2ax},={0,1,2ay},E(0,0)=1,F(0,0)=0,G(0,0)=1,
rxx={0,0,2a},I={0,0,0},乙={0,0,2a},L(0,0)=2a,M(0,0)=0,N(0,0)=2a,2a-k0
代入主曲率公式,N=0,所以两主曲率分别为k^k^2a.
02a-kN
16.求曲面r={u,v,u2v2}在点(1,1)的主方向.
解:
=「1,0,2u扑0,1,2,E=14u2,F=4uv,G=14v2
E(1,1)=5,F(1,1)=4,G(1,1)=5;L-—22,M=0,N-=22=
P4u2+4v2+1(4u2+4v2+1
2
L(1,1)=N(1,1),M(1,1)=0,代入主方向方程,得(dudv)(du-dv)=0,
3
即在点(1,1)主方向du:
dv=一1:
1;、u:
、v=1:
1.
17.求曲面r(u,v)工{u,v,u2•v3}上的椭圆点,双曲点和抛物点.解由r二{u,v,u2V3},得扛1,0,2u?
l=g,1,3v2?
rt=<0,0,2},rt={0,0,0},rt=S,0,6v},L=.22^=,M=0,N=t
V4u+9v+1V4u+9v+1
解因为正螺面的第一基本形式为Idu2(u2a2)dv2,螺旋线是正螺面的v-曲线u二比,
Uo~22•
Uoa
由一-得护0.由正交网的坐标曲线的测地曲率得_2;才
五、证明题
1.设曲线:
r=F(s),证明:
⑴kt⑵(7』,0)=k2..证明⑴由伏雷内公式,得$=k-,^=-.二
两式作点积,得$-!
=-kL:
「■=-.k,k=-才t
⑵r=一:
:
?
r=:
f=k-,7=kI:
+kF=k):
+k(-k:
+「)=-k2:
"*+k-:
+k「二(,』,^)=(』kd-k^c+kE+k』)=嵐kB,k』)=k4.
2.设曲线:
,异(s),证明:
d,Mb=k3(k[-k).
证明由伏雷内公式,得
(-k3+k-k2p+(2k+kl「)
)=-3k3k+2k3k+k^=k3(kl「k)
-?
ds也是一般螺线(R是曲线丨的曲率半径).
r=7=k-,r=kI:
+k—k:
+k(_k:
+」)=_k27+k:
+k「m=-3kk:
"+(-k3+k-k2p+(2k+kI)4(舟JM)=(k"(-k2如#+k3)L(-3kk:
*+
=(k3+k^:
^L(-3kkH+(-k3+k-k2/-+(2k+k|)4
3.
证明
曲线丨:
r=;(s)是一般螺线,证明「:
;二r1二rI,d,s
两边关于s微商,得
:
:
■ds■二R二一-=R_:
i>r丄-Re
dsR
’L〔由于r是一般螺线,所以〒也是一般螺线.
4.
么淳)是一般螺线.
证明曲线r(t)二{asin(t)dt,acos(t)dt,bt}(a,b是常数)证明7(t)={asint()a:
coS(b)
r(t)={^:
(t)cos(t),~a:
(t)sin(t),0},
:
(t)=a:
(t){cos(t),-sin(t),0}a:
(t)2{—sin(t),cos(t),0}
3=$(t)|Ja2+b2,*:
r",r")」-a2b旳)',
b
a2b2
fir
a
3爲2「b2
ka
■__
■1'.
tb
5.曲面S上一条曲线(C),P是曲线(C)上的正常点,k,kn,kg分别是曲线(C)在点P的曲率、法曲率与测地曲率,证明k2=kn2+kg2.
证明测地曲率kg二k-;-kl「(nJ)二k(:
"*,二X)二Qn-_ksinr.(二是主法向量[与法向量
n的夹角)
法曲率kn=k一:
n=kcosv
i2|2|2
.k=kn+kg.
6.证明曲线;-涪cost,etsint,0^的切向量与曲线的位置向量成定角.
证明对曲线上任意一点,曲线的位置向量为7-(tcost,Msint,0:
,该点切线的切向量为:
=;et(cost-sint),et(sintcost),0?
,贝U有:
故夹角为匸.
由所取点的任意性可知,该曲线与曲线的切向量成定角.
7.证明:
若7和7•对一切t线性相关,则曲线是直线.
证明若r■和7对一切t线性相关,则存在不同时为0的f(t),g(t)使
f(t)P(t)g(t)r(t)=0,贝U-t,:
(t)7(t^0,
又k(t)二'二,故-t有k(t)二0.于是该曲线是直线.
r'l
8.证明圆柱螺线x=acost,y=asint,z=bt的主法线和z轴垂直相交.
证明由题意有
F(t)-\-asint,acost,b',T(t)-\-acost,-asint,0?
,
由#=汽—叮卅知葩{—cost,-sint,0}.
nV
另一方面z轴的方向向量为a-\o,o,1,而a,=o,故a」