北师大版八年级上第二章实数导学案.docx

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北师大版八年级上第二章实数导学案

2.1认识无理数

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由．

2、借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动．

中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力．

【重点难点】

1、无理数概念的探索过程．

　　2、用计算器进行无理数的估算．

　　3、了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断．

知识概览图

实际问题→无理数

无理数的定义：

无限不循环小数叫做无理数

估计无理数的范围

新课导引

【问题链接】我们知道中国象棋历史悠长，它不仅是一些专业人士的体育运动项目，也是老百姓茶余饭后、街头巷尾的一种娱乐活动，尤其是老年人的一项必不可少的休闲活动。

我们知道中国象棋是马走日，象走田，那么我们观察棋盘（如右图所示），若每个小正方形的边长为1，那么士走一步、马走一步、象走一步，它们走过的距离各是多少?

它们走过的距离是整数吗?

是分数吗?

是有理数吗?

【点拨】士走一步的距离是

，马走一步的距离是

，象走一步的距离是2

．它们走过的距离既不是整数，也不是分数，当然不是有理数．

教材精华

知识点1体验现实生活中确实存在不是有理数的数

例如，圆的面积公式S＝πR2中，π不能表示成有理数的形式，它是一个无限不循环小数．我国南北朝时期的祖冲之得到3．1415926＜π＜3．1415927，日本数学家利用计算机算得π的近似值竟精确到2061亿多位，可见，π的小数点后面的数字无限不循环．

又如，在等式x2＝a（a≥0）中，数x确实存在，它既可以是有理数（有限小数和无限循环小数），也可以是一个无限不循环小数．当a＝9时，x＝±3；当a＝5时，|x|是介于2．23606～2．23607之间的无限不循环小数．

知识点2无理数的概念

无限不循环小数叫做无理数．

无理数的特征．

①无理数的小数部分位数无限．

②无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．

小数的分类．

有理数

小数

有限小数

无限循环小数

无限不循环小数——无理数

知识点3确定x2=a（a≥o）中的正数x的近似值的方法

确定正数x的整数部分．

根据平方的定义，把x夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分．例如：

求x2＝5中的正数x的整数部分，∵22＜5＜32，即22＜x2＜33，∴2＜x＜3，因此x的整数部分为2．

确定x的小数部分十分位上的数字．

①将这两个整数平方和的平均数与a比较，预测十分位上数字的取值范围，如两个整数2和3的平方和的平均数为：

＝6．5＞5，∴x的十分位上的数字一定比3小，不妨设x≈2．2．

②设误差为k（k必为一个纯小数，且k可能为负数），则x＝2．2+k，∴（2．2+k）2＝5，∴4．84+4．4k+k2＝5，∵k是小数，∴k2很小，把它舍去，∴4．84+4．4k＝5，∴k≈0．036，∴x＝2．2+k≈2．2+0．036＝2．236．

拓展实际估算中，整数部分的数字容易估计，十分位上的数字可以采用试验的方法进行估计，即2．12＝4．41，2．22＝4．84，2．32＝5．29，∵4．84＜5＜5．29，∴2．22＜x2＜2．32，∴2．2＜x＜2．3，∴十分位上的数字为2．

规律方法小结逐次逼近的极限思想：

在实际估算时，通常采用试验的方法逐次逼近进行估算．

课堂检测

基本概念题

1、下列说法：

①有限小数和无限循环小数都是有理数；②分数是有理数；③无限小数是无理数；④

是分数．其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2、下列各数中，无理数有（）

4．，

，0，2．121021002100021…（小数点后1和2之间0的个数逐次加1）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

基础知识应用题

3、若正三角形的边长为4，高为h，则h是介于正整数和之间的无理数．

综合应用题

4、若a，b都是无理数，且a+b＝2，则a，b的值可以是.（填上一组满足条件的值即可）

探索创新题

5、利用方程的知识把0．

化为分数的形式．

体验中考

1、估算

-2的值（）

A．在1到2之间B．在2到3之间

C．在3到4之间D．在4到5之间

2、实数-2，0.3，

，

，-π中，无理数的个数是（）

A．2B．3

C．4D．5

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析有理数包括有限小数和无限循环小数，因此①正确；有理数都可以用分数来表示，反之，凡是能表示成分数的数都一定是有理数，因此②正确；无理数是无限不循环小数，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两大类，因此③不正确；

看似分数，实质是无理数，因此④不正确．故选B．

2、分析因为4．是循环小数，0是整数，所以4．和0是有理数．因为π是无理数，所以

是无理数．因为2．121021002100021…是无限不循环小数，所以它是无理数．故选B．

3、分析正三角形的边长为4，内角为60°，运用直角三角形中含30°角的性质及勾股定理，得h2＝12，∵32＜12＜42，∴32＜h2＜42，∴h介于3和4之间．

答案：

34

4、分析此题较开放，答案也不唯一，只要两个无理数相加，和为2即可．可填π-1，3-π．

5、分析因为0.

是无限循环小数，也是有理数，所以要把它化为分数的形式，就要想办法把它的循环节去掉，因为0．

×100＝23．

，小数部分也为0．

，两式相减，就可以把小数部分的循环节去掉了．

解：

设x＝0._，则l00x＝100×0._＝23._，

∴100x-x=23．_-0._，99x=23，∴x=_．

【解题策略】利用这种方法可以将任何一个无限循环小数化为分数，从而验证了无限循环小数是有理数．

体验中考

1、分析∵52＜27＜62，∴5＜_＜6，∴3＜_-2＜4．故选C．

2、分析由无理数的概念可知_，-π为无理数．故选A．

2.2平方根

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、了解平方根的概念、开平方的概念．

2、明确算术平方根与平方根的区别与联系．

3、进一步明确平方与开方是互为逆运算．

【重点难点】

1、平方根的概念、性质、运算．

2、平方根与算术平方根的区别和联系．

知识概览图

平方根

概念：

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）

性质

算术平方根

概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“_”，读作“根号a”

性质

新课导引

【问题链接】某农场有一块长30米、宽20米的长方形场地，现要在这块场地上建一个正方形的鱼池，使它的面积为场地面积的一半，这样的正方形鱼池能否建成?

若能建成，鱼池的边长为多少米?

【点拨】要判断鱼池能否建成，就要看鱼池的边长与场地的宽的大小关系．因此需要先求出符合题意的鱼池的边长再进行比较，在解答这种能否建成（或是否存在等）的问题时，我们可先假设能建成，在此假设之下求出所需的数据，再看求得的数据是否符合题意．若符合，则说明能建成，反之则不能．假设鱼池能建成，且边长为x米，根据题意，得x2＝_×30×20．x2＝300，x＝±_≈±17．32．因为鱼池的边长为正数，所以只取x≈17．32．因为17．32＜20，所以鱼池能建成，且边长约为17．32米．

教材精华

知识点1算术平方根

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“_”，读作“根号a”．

特别地，我们规定0的算术平方根是0，即_＝0．

拓展算术千方根有如下性质：

（1）一个正数a有一个算术平方根，就是_．

（2）0有一个算术平方根，就是0．

（3）负数没有算术平方根．

（4）_只要有意义，就表示一个非负数，即_≥o．

（5）_中的a是一个非负数，即a≥0．

知识点2平方根

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．

拓展平方根的性质：

（1）一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根“_”，另一个是“-_”，它们互为相反数，合起来记作“±_”，读作“正、负根号a”．例如：

5的平方根是±_．

（2）0的平方根是0．

（3）负数没有平方根．

开平方：

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．

知识点3平方根与算术平方根的区别与联系

（1）区别．

①定义不同；②个数不同：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：

正数a的平方根表示为±_，正数a的算术平方根表示为_；④取值范围不同：

正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负．

（2）联系．

①具有包含关系：

平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个；②存在条件相同：

平方根和算术平方根都只有非负数才有；③o的平方根与算术平方根都是0．

拓展必须明确，当a≥0时,_,-_，±_的区别，_表示一个非负数的算术平方根，-_表示一个非负数算术平方根的相反数，±_表示一个非负数的平方根．

知识点4两个重要公式

（1）_＝|a|，即当a≥0时，_＝a，当a＜0时，_＝-a．

（2）（_）2=a（a≥0）．

拓展两个重要公式的区别：

（1）a的取值范围不同，公式

（1）中a的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0．而公式

（2）中a的取值是非负数．

（2）运算顺序不同，公式

（1）是a先平方再开平方，而公式

（2）中是a先开平方再平方．

课堂检测

基本概念题

1、判断下列说法是否正确．（对的打“√”，错的打“×”）

（1）5是（-5）2的算术平方根．（）

（2）4是2的算术平方根．（）

（3）6是_的算术平方根．（）

（4）49的平方根是7．（）

（5）_的平方根是±3．（）

（6）平方根等于本身的数是0和1．（）

基础知识应用题

2、求下列各数的平方根与算术平方根．

（1）_；

（2）104；（3）|-169|；（4）（3-π）2．

3、求下列各式中的x.

（1）x2＝225；

（2）9（x2+1）＝10；（3）25（x+2）2-36＝0．

综合应用题

4、已知y=_+2x，求xy的值．

5、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足_+b2-6b+9＝0，求c的取值范围．

6、为了美化校园，学校购进200盆（盆的规格、大小一样，盆为正方形）鲜花，并决定将其摆放成一个长度为宽度的2倍的矩形，且相邻盆间无空隙，则应该摆放成多少行、多少列（行数大于列数）?

探索创新题

7、求使等式x·_＝0成立的x的值．王强同学的解答过程如下：

解：

要使x·_＝0，则x＝0，或_＝0，即x＝0，或x＝1．

∴当x＝0，或x＝1时，原式成立．

该同学的解答过程是否正确?

如果正确，说明每一步的理由；如果不正确，请指出错误的原因，并写出正确的过程．

体验中考

1、|a-2|+_+（c-4）2＝0，则a-b+c＝．

2、已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是.

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析此题要用算术平方根、平方根的定义及性质去判断，注意区别以下三句舌：

（1）a的算术平方根；

（2）_（a≥0）的算术平方根；（3）a2的算术平方根．

答案：

（1）√

（2）×（3）×（4）×（5）×（6）×

2、分析前三个是以不同形式告诉的几个数，必须先化简，如

（1）中_＝4，

（2）中104=10000，（3）中|-169|＝169，然后再求它们的平方根，（4）题中特别注意判断π与3的大小．

解：

（1）∵_＝4，

∴_的平方根是±2，算术平方根是2.

（2）∵104＝10000，

∴104的平方根为±100，算术平方根为100．

（3）∵|-169|＝169，

∴|-169|的平方根为±13，算术平方根为13．

（4）∵π＞3，∴π-3＞0．

∴（3-π）2的平方根为±（3-π），算术平方根为π-3．

【解题策略】出现求类似（3-π）2形式的数的算术平方根时，注意判断括号内数的正负．求一个式子的平方根与算术平方根时，应先求出这个式子的值，然后再求这个值的平方根或算术平方根．

3、分析要求出各题中的x，其实就是求一个数的平方根的问题，注意

（2）（3）中需先把等式化成x2＝a的形式．

解：

（1）∵（±15）2＝225，∴x＝±15．

（2）∵9（x2+1）=10，∴x2+1=_,∴x2=_.

又∵（±_）2=_，∴x=±_.

（3）∵25（x+2）2-36＝0，∴25（x+2）2＝36，∴（x+2）2＝_．

又∵（±_）2＝_，∴x+2＝±_.

当x+2=_时，x=-_；

当x+2=-_时，x=-_.

【解题策略】在第（3）小题中，由（x+2）2＝_得到的是x+2＝±_，不要误认为是x＝±_．

4、分析要想求出x，y的值，可考虑由已知出发，因为_，_有意义，所以x-2≥0，且2-x≥0，得出x的值后，代入原式即可求出y的值．

解：

∵_，_有意义，∴x-2≥0，2-x≥0，

∴x≥2，且x≤2，∴x=2，∴y＝4，∴xy=24＝16．

5、分析本题考查的是非负数的性质、算术平方根的意义及三角形三边关系定理．

解：

∵_+b2-6b+9＝0，∴_+（b-3）2＝0．

又∵_≥0，（b-3）2≥0，∴_＝0，（b-3）2＝0，

∴a＝2，b＝3，∴c的取值范围是1＜c＜5．

规律·方法若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零．

6、分析要读懂题意，把实际问题转化成数学问题．“相邻盆间无空隙”且“花盆大小一样”，可见横、竖所放花盆个数关系即为长度与宽度的关系．

解：

设摆放成x行、y列，则x＝2y．

∵总数为200盆，且各盆规格一样，相邻盆间无空隙，

∴x·y＝2y·y＝2y2＝200，即y2＝100，∴y＝±10．

又∵x＞0，y＞0,∴y=10,x=2y=20.

即应摆放成20行、10列.

【解题策略】解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，解方程过程中，要把二次方程用求平方根的方法来解决，所得解要符合题意．

7、分析此题中的x的取值必须同时符合两个条件：

一是x和_中的某一个为零，二是使x和_都有意义．显然x＝1符合这两个条件，当x＝0时，_＝_没有意义．

解：

该同学的解答过程不正确，错误的原因是忽略了“负数没有算术平方根”．

要使x·_＝0成立，则x＝0，或_＝0，即x＝0，或x＝1，

但当x＝0时，_无意义，∴使x·_＝0成立的x的值为1．

【解题策略】_具有双重非负性：

①被开方数a是非负数，即a≥0；②_本身是非负数，即_≥0．

体验中考

1、分析几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，所以|a-2|＝0，_=0，（c-4）2＝0，解得a＝2，b＝3，c＝4，所以a-b+c＝3．故填3．

2、分析正数有两个平方根，它们互为相反数，∴2-3x＝5x+6，解得x＝-_，∴3x-2＝-_，（-_）2＝_．故填_．

【解题策略】根据平方根的性质，挖掘出题目中的隐含条件：

3x-2与5x+6互为相反数，是解决本题的关键．

2.3立方根

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．

2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算．

3、了解立方根的性质．

4、区分立方根与平方根的不同．

【重点难点】

1、正确理解立方根的概念．

2、会求一个数的立方根．

3、区分立方根与平方根的不同之处．

知识概览图

定义：

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根

立方根

表示方法：

_

读作：

三次根号a

性质：

①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0

开立方的定义：

求一个数a的立方根的运算叫做开立方

平方根与立方根的区别与联系

新课导引

【生活链接】传说很久很久以前，在古希腊的某个地方发生了大旱，地里的庄稼都旱死了，于是大家一起到神庙里去向神祈求，神说：

“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降水．”大家觉得这好办，于是很快做好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的边长是原祭坛边长的2倍，可是神更加恼怒地说：

“你们竟敢愚弄我!

这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的2倍，我要进一步惩罚你们!

”

【问题探究】

（1）新祭坛的体积到底是原祭坛体积的多少倍?

（2）要做一个体积是原来祭坛体积2倍的新祭坛，它的边长应是原来的多少倍?

【点拨】

（1）新祭坛的体积是原祭坛体积的8倍．

（2）它的边长应是原来的_倍．

教材精华

知识点1立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．

拓展

（1）每个数a都只有一个立方根，记为“_”，读作“三次根号a”．

（2）立方根的性质：

正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．

求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数．

知识点2两个重要公式

（1）_，如_.

（2）_=a，如（_）3=_=8．

知识点3平方根与立方根的区别与联系

（1）区别：

①在用根号表示平方根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；②平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，且每个数都只有一个立方根，如：

-8没有平方根，但有立方根-2；③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个，如：

2的平方根是±_，而立方根是_．

（2）联系：

①开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算；②都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即_；③0的平方根和立方根都是0．

规律方法小结类比思想的运用：

在两个或两类不同对象之间，或者在事物与事物之间，对它们某些方面的相似之处进行比较，通过联想和预测，推断出它们在其他方面也可能相似，从而进行猜想和发现真理．

课堂检测

基本概念题

1、83的立方根是，8的立方根是，_的立方根是.

基础知识应用题

2、求下列各式中x的值．

（1）_（2x-3）3=36；

（2）（5x-2）3=-125．

3、计算．

（1）-_;

（2）_

综合应用题

4、已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．

5、用铁皮焊制一密封的正方体水箱，使其容积为1.728米3，则至少需要多大面积的铁皮?

探索创新题

6、如果xn＝a（n为大于1的整数），那么x叫做a的n次方根．

例如：

34＝81，（-3）4＝81，则3和-3都是81的4次方根，即81的4次方根有两个，分别是3和-3；又如：

25＝32，（-2）5≠32，所以32的5次方根只有一个，是2．

（1）①求-32的5次方根；

②求625的4次方根；

（2）①0的n次方根是多少（n为大于0的整数）?

②负数有没有偶次方根（即n为偶数时的方根）?

体验中考

1、下列运算正确的是（）

A．_＝3B．（π-3.14）0＝1C．（_）-1＝-2D．_＝±3

2、一个正方体的水晶砖体积为100cm3，它的棱长大约在（）

A．4cm～5cm之间B．5cm～6cm之间

C．6cm～7cm之间D．7cm～8cm之间

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析此题要运用立方根的定义求解，并且要注意先把原数化简．

答案:

82_

2、解：

（1）∵（2x-3）3=216，∴2x-3=_=6，∴x＝_.

（2）∵（5x-2）3＝-125，∴5x-2＝_＝-5，∴x＝-_.

【解题策略】

（1）解形如（ax+b）3＝c的方程时，通常视ax+b为一个整体，先开立方求ax+b，再进一步求出x，且x的值只有一个．

（2）要记住10以内正整数的立方，例如：

73＝343，83＝512，93＝729，这将给计算带来极大方便．

3、分析利用平方与开平方、立方与开立方的互逆关系求出相应的算术平方根、立方根．

解：

（1）-_=-_

（2）_=3-_×8=3-4=-1．

【解题策略】注意运算顺序．

4、分析由平方根、立方根的定义求出x和y的值．

解：

∵x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，

∴x-2＝（±2）2＝4，2x+y+7＝33＝27．

∴x＝6，y＝8，∴x2+y2＝62+82＝100．

∴x2+y2的平方根为±10，即±_＝±10．

【解题策略】x2+y2的平方根有两个，书写时要有正负号．

5、分析本题考查的是正方体的体积公式及开立方运算，在运算过程中，要注意水箱是由6块正方形铁皮围成的．

解：

设水箱的棱长为x米，由题意得x3＝1.728，

∴x＝_＝1.2，∴所需铁皮的面积至少为1．22×6＝8．64（米2）．

答：

所需铁皮的面积至少为8.64米2．

【解题策略】注意把实际问题转化为数学问题，把棱长与体积之间的关系转化为立方根与被开方数之间的关系．

6、解：

（1）①因为（-2）5＝-32，所以-32的5次方根是-2．

②因为54＝625，（-5）4＝625，所以625的4次方根是±5．

（2）①因为0n＝o，所以0的n次方根是0（n为大于0的整数）．

②因为没有一个数的偶次方是负数，所以负数没有偶次方根．

【解题策略】本题实际上是平方根和立方根的推广，偶次方根的概念与性质和平方根类似，奇次方根的概念与性质和立方根类似．在平方根和立方根的基础上，可以求出非负数的偶次方根以及任何数的奇次方根．

体验中考

1、分析此题考查乘方与开方的简单运算，注意立方根与算术平方根的性质，π与3．14的不同及负指数的意义．故选B．

2、分析由V正方体＝棱长3知棱长＝_，即棱长＝_.∵_＜_＜_，∴4＜_＜5．故选A.

【解题策略】本题是立方根的知识在实际问题中的应用．

2.4估算

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围,并能通过估算比较两个数的大小．

2、掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感．

【重点难点】

1、掌握估算的方法，能通过估算检验计算结果的合理性．

2、掌握估算方法，形成估算的意识．

知识概览图

估算→比较两个数的大小→应用

新课导引

【问题链接】某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000

米2，如右图所示．

（1）公园的宽有100米吗?

（2）如果要求误差小于10米，它的宽在什么范围内?

【点拨】由题意可知2x·x＝400000，即x2＝200000，欲知公园宽大约是多少，就要估计x的大小．193600＜200000＜202500，即4402＜x2＜4502，又x＞0，则440＜x＜450.

（1）公园的宽有100米．

（2）如果要求