北师大版八年级上第二章实数导学案.docx

1、北师大版八年级上第二章实数导学案2.1认识无理数学习目标、重点、难点【学习目标】1、 能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由2、 借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力【重点难点】 1、无理数概念的探索过程2、用计算器进行无理数的估算3、了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断知识概览图实际问题无理数无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数估计无理数的范围新课导引 【问题链接】 我们知道中国象棋历史悠长，它不仅是一些专业人士的体育运动项目，也是老百姓茶余饭后、街头巷尾的一种娱乐活动，尤其是老年人的一项必不可少的

2、休闲活动。我们知道中国象棋是马走日，象走田，那么我们观察棋盘(如右图所示)，若每个小正方形的边长为1，那么士走一步、马走一步、象走一步，它们走过的距离各是多少?它们走过的距离是整数吗?是分数吗?是有理数吗? 【点拨】士走一步的距离是，马走一步的距离是，象走一步的距离是2它们走过的距离既不是整数，也不是分数，当然不是有理数教材精华知识点1 体验现实生活中确实存在不是有理数的数 例如，圆的面积公式SR2中，不能表示成有理数的形式，它是一个无限不循环小数我国南北朝时期的祖冲之得到3141592631415927，日本数学家利用计算机算得的近似值竟精确到2061亿多位，可见，的小数点后面的数字无限不循

3、环 又如，在等式x2a(a0)中，数x确实存在，它既可以是有理数(有限小数和无限循环小数)，也可以是一个无限不循环小数当a9时，x3；当a5时，|x|是介于223606223607之间的无限不循环小数知识点2 无理数的概念无限不循环小数叫做无理数无理数的特征无理数的小数部分位数无限无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式小数的分类有理数小数有限小数无限循环小数无限不循环小数无理数知识点3 确定x2=a(ao)中的正数x的近似值的方法 确定正数x的整数部分 根据平方的定义，把x夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分例如：求x25中的正数x的整数部分，22532，即22x233，2x3，因此

4、x的整数部分为2 确定x的小数部分十分位上的数字 将这两个整数平方和的平均数与a比较，预测十分位上数字的取值范围，如两个整数2和3的平方和的平均数为：655，x的十分位上的数字一定比3小，不妨设x22 设误差为k(k必为一个纯小数，且k可能为负数)，则x22+k，(22+k)25，484+44k+k25，k是小数，k2很小，把它舍去，484+44k5，k0036，x22+k22+00362236拓展 实际估算中，整数部分的数字容易估计，十分位上的数字可以采用试验的方法进行估计，即212441，222484，232529，4845529，222x2232，22x23，十分位上的数字为2规律方法小

5、结 逐次逼近的极限思想：在实际估算时，通常采用试验的方法逐次逼近进行估算课堂检测基本概念题1、下列说法：有限小数和无限循环小数都是有理数；分数是有理数；无限小数是无理数；是分数其中正确的有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个2、下列各数中，无理数有 ( ) 4，0，2121021002100021(小数点后1和2之间0的个数逐次加1) A1个 B2个 C3个 D4个基础知识应用题3、若正三角形的边长为4，高为h，则h是介于正整数 和 之间的无理数综合应用题4、若a，b都是无理数，且a+b2，则a，b的值可以是 .(填上一组满足条件的值即可) 探索创新题5、利用方程的知识把0化为分数的形式体

6、验中考 1、估算 -2的值 ( ) A在1到2之间 B在2到3之间 C在3到4之间 D在4到5之间 2、实数-2，0.3，-中，无理数的个数是 ( ) A2 B3 C4 D5学后反思 附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 有理数包括有限小数和无限循环小数，因此正确；有理数都可以用分数来表示，反之，凡是能表示成分数的数都一定是有理数，因此正确；无理数是无限不循环小数，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两大类，因此不正确；看似分数，实质是无理数，因此不正确故选B2、分析 因为4是循环小数，0是整数，所以4和0是有理数因为是无理数，所以是无理数因为2121021002100021是无限

7、不循环小数，所以它是无理数故选B3、分析 正三角形的边长为4，内角为60，运用直角三角形中含30角的性质及勾股定理，得h212，321242，32h242，h介于3和4之间 答案：3 4 4、分析 此题较开放，答案也不唯一，只要两个无理数相加，和为2即可可填-1，3-5、分析 因为0.是无限循环小数，也是有理数，所以要把它化为分数的形式，就要想办法把它的循环节去掉，因为010023，小数部分也为0，两式相减，就可以把小数部分的循环节去掉了 解：设x0. _，则l00x1000. _23. _， 100x-x=23_-0. _，99x=23，x=_【解题策略】 利用这种方法可以将任何一个无限循环

8、小数化为分数，从而验证了无限循环小数是有理数体验中考1、分析 522762，5_6，3_-24故选C2、分析 由无理数的概念可知_，-为无理数故选A2.2平方根学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解平方根的概念、开平方的概念2、明确算术平方根与平方根的区别与联系3、进一步明确平方与开方是互为逆运算【重点难点】1、平方根的概念、性质、运算2、平方根与算术平方根的区别和联系知识概览图平方根概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)性质算术平方根概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“_”，

9、读作“根号a”性质新课导引【问题链接】 某农场有一块长30米、宽20米的长方形场地，现要在这块场地上建一个正方形的鱼池，使它的面积为场地面积的一半，这样的正方形鱼池能否建成?若能建成，鱼池的边长为多少米?【点拨】 要判断鱼池能否建成，就要看鱼池的边长与场地的宽的大小关系因此需要先求出符合题意的鱼池的边长再进行比较，在解答这种能否建成(或是否存在等)的问题时，我们可先假设能建成，在此假设之下求出所需的数据，再看求得的数据是否符合题意若符合，则说明能建成，反之则不能假设鱼池能建成，且边长为x米，根据题意，得x2_3020x2300，x_1732因为鱼池的边长为正数，所以只取x1732因为17322

10、0，所以鱼池能建成，且边长约为1732米 教材精华知识点1 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“_”，读作“根号a”特别地，我们规定0的算术平方根是0，即_0拓展 算术千方根有如下性质：(1)一个正数a有一个算术平方根，就是_(2)0有一个算术平方根，就是0(3)负数没有算术平方根(4) _只要有意义，就表示一个非负数，即_o(5) _中的a是一个非负数，即a0知识点2 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)拓展 平方根的性质：(1)一个正数a有两个平方根，一个是a的算

11、术平方根“_”，另一个是“-_”，它们互为相反数，合起来记作“_”，读作“正、负根号a”例如：5的平方根是_ (2)0的平方根是0(3)负数没有平方根开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方知识点3 平方根与算术平方根的区别与联系 (1)区别 定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同：正数a的平方根表示为_，正数a的算术平方根表示为_；取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负 (2)联系 具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个；存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有

12、；o的平方根与算术平方根都是0拓展 必须明确，当a0时, _,-_，_的区别，_表示一个非负数的算术平方根，-_表示一个非负数算术平方根的相反数，_表示一个非负数的平方根知识点4 两个重要公式(1) _|a|，即当a0时，_a，当a0时，_-a(2)( _)2=a(a0) 拓展 两个重要公式的区别： (1)a的取值范围不同，公式(1)中a的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0而公式(2)中a的取值是非负数 (2)运算顺序不同，公式(1)是a先平方再开平方，而公式(2)中是a先开平方再平方课堂检测基本概念题1、判断下列说法是否正确(对的打“”，错的打“”) (1)5是(-5)2的算术平方根 (

13、 ) (2)4是2的算术平方根 ( ) (3)6是_的算术平方根 ( ) (4)49的平方根是7 ( ) (5)_的平方根是3 ( ) (6)平方根等于本身的数是0和1 ( )基础知识应用题2、求下列各数的平方根与算术平方根(1) _； (2)104； (3)|-169|； (4)(3-)2 3、求下列各式中的x. (1)x2225； (2)9(x2+1)10； (3)25(x+2)2-360 综合应用题 4、已知y=_+2x，求xy的值 5、已知ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足_+b2-6b+90，求c的取值范围 6、为了美化校园，学校购进200盆(盆的规格、大小一样，盆为正方形

14、)鲜花，并决定将其摆放成一个长度为宽度的2倍的矩形，且相邻盆间无空隙，则应该摆放成多少行、多少列(行数大于列数)? 探索创新题7、求使等式x_0成立的x的值王强同学的解答过程如下：解：要使x_0，则x0，或_0，即x0，或x1当x0，或x1时，原式成立该同学的解答过程是否正确?如果正确，说明每一步的理由；如果不正确，请指出错误的原因，并写出正确的过程体验中考1、 |a-2|+_+(c-4)20，则a-b+c 2、已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是 .学后反思 附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 此题要用算术平方根、平方根的定义及性质去判断，注意区别以下三句舌：(1)

15、a的算术平方根；(2)_(a0)的算术平方根；(3)a2的算术平方根 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6)2、分析 前三个是以不同形式告诉的几个数，必须先化简，如(1)中_4，(2)中104=10000，(3)中|-169|169，然后再求它们的平方根，(4)题中特别注意判断与3的大小解：(1)_4， _的平方根是2，算术平方根是2. (2)10410000， 104的平方根为100，算术平方根为100 (3)|-169|169， |-169|的平方根为13，算术平方根为13 (4)3，-30 (3-)2的平方根为(3-)，算术平方根为-3【解题策略】 出现求类似(3-)2形式

16、的数的算术平方根时，注意判断括号内数的正负求一个式子的平方根与算术平方根时，应先求出这个式子的值，然后再求这个值的平方根或算术平方根3、分析 要求出各题中的x，其实就是求一个数的平方根的问题，注意(2)(3)中需先把等式化成x2a的形式 解：(1)(15)2225，x15 (2)9(x2+1)=10，x2+1=_,x2=_. 又(_)2=_，x=_. (3)25(x+2)2-360，25(x+2)236，(x+2)2_ 又(_)2_，x+2_. 当x+2=_时，x=-_； 当x+2=-_时，x=-_.【解题策略】 在第(3)小题中，由(x+2)2_得到的是x+2_，不要误认为是x_ 4、分析

17、要想求出x，y的值，可考虑由已知出发，因为_，_有意义，所以x-20，且2-x0，得出x的值后，代入原式即可求出y的值 解：_，_有意义，x-20，2-x0， x2，且x2，x=2，y4，xy=24165、分析 本题考查的是非负数的性质、算术平方根的意义及三角形三边关系定理 解：_+b2-6b+90，_+(b-3)20 又_0，(b-3)20，_0，(b-3)20， a2，b3，c的取值范围是1c5规律方法 若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零6、分析 要读懂题意，把实际问题转化成数学问题“相邻盆间无空隙”且“花盆大小一样”，可见横、竖所放花盆个数关系即为长度与宽度的关系 解：设摆放成x

18、行、y列，则x2y 总数为200盆，且各盆规格一样，相邻盆间无空隙， xy2yy2y2200，即y2100，y10 又x0，y0,y=10,x=2y=20. 即应摆放成20行、10列.【解题策略】 解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，解方程过程中，要把二次方程用求平方根的方法来解决，所得解要符合题意7、分析 此题中的x的取值必须同时符合两个条件：一是x和_中的某一个为零，二是使x和_都有意义显然x1符合这两个条件，当x0时，_没有意义 解：该同学的解答过程不正确，错误的原因是忽略了“负数没有算术平方根” 要使x_0成立，则x0，或_0，即x0，或x1， 但当x0时，_无意义，使x_0成立

19、的x的值为1 【解题策略】_具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a0；_本身是非负数，即_0体验中考1、分析 几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，所以|a-2|0，_=0，(c-4)20，解得a2，b3，c4，所以a-b+c3故填32、分析 正数有两个平方根，它们互为相反数，2-3x5x+6，解得x-_，3x-2-_，(-_)2_故填_ 【解题策略】 根据平方根的性质，挖掘出题目中的隐含条件：3x-2与5x+6互为相反数，是解决本题的关键2.3立方根学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算

20、3、了解立方根的性质4、区分立方根与平方根的不同【重点难点】 1、正确理解立方根的概念2、会求一个数的立方根3、区分立方根与平方根的不同之处知识概览图定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根立方根表示方法：_ 读作：三次根号a性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0开立方的定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方平方根与立方根的区别与联系新课导引 【生活链接】 传说很久很久以前，在古希腊的某个地方发生了大旱，地里的庄稼都旱死了，于是大家一起到神庙里去向神祈求，神说：“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，如果你们

21、做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降水”大家觉得这好办，于是很快做好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的边长是原祭坛边长的2倍，可是神更加恼怒地说：“你们竟敢愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的2倍，我要进一步惩罚你们!” 【问题探究】 (1)新祭坛的体积到底是原祭坛体积的多少倍? (2)要做一个体积是原来祭坛体积2倍的新祭坛，它的边长应是原来的多少倍? 【点拨】 (1)新祭坛的体积是原祭坛体积的8倍(2)它的边长应是原来的_倍教材精华知识点1 立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)拓展 (1)每个数a都只有一个立方根，

22、记为“_”，读作“三次根号a”(2)立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数知识点2 两个重要公式(1) _，如_.(2) _=a，如(_)3=_=8知识点3 平方根与立方根的区别与联系 (1)区别：在用根号表示平方根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，且每个数都只有一个立方根，如：-8没有平方根，但有立方根-2；正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个，如：2的平方根是_，而立方根是_ (2)联系：开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运

23、算；都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即_；0的平方根和立方根都是0规律方法小结 类比思想的运用：在两个或两类不同对象之间，或者在事物与事物之间，对它们某些方面的相似之处进行比较，通过联想和预测，推断出它们在其他方面也可能相似，从而进行猜想和发现真理课堂检测基本概念题1、83的立方根是 ，8的立方根是 ，_的立方根是 .基础知识应用题2、求下列各式中x的值(1) _(2x-3)3=36； (2)(5x-2)3=-1253、计算(1)-_; (2) _综合应用题4、已知x-2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3，求x2

24、+y2的平方根 5、用铁皮焊制一密封的正方体水箱，使其容积为1.728米3，则至少需要多大面积的铁皮? 探索创新题6、如果xna(n为大于1的整数)，那么x叫做a的n次方根例如：3481，(-3)481，则3和-3都是81的4次方根，即81的4次方根有两个，分别是3和-3；又如：2532，(-2)532，所以32的5次方根只有一个，是2(1)求-32的5次方根；求625的4次方根；(2)0的n次方根是多少(n为大于0的整数)?负数有没有偶次方根(即n为偶数时的方根)?体验中考1、下列运算正确的是 ( )A_3 B(-3.14)01 C(_)-1-2 D_3 2、一个正方体的水晶砖体积为100

25、cm3，它的棱长大约在 ( ) A4 cm5 cm之间 B5 cm6 cm之间 C6 cm7 cm之间 D7 cm8 cm之间学后反思 附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 此题要运用立方根的定义求解，并且要注意先把原数化简 答案:8 2 _2、解：(1)(2x-3)3=216，2x-3=_=6，x_.(2)(5x-2)3-125，5x-2_-5，x-_. 【解题策略】 (1)解形如(ax+b)3c的方程时，通常视ax+b为一个整体，先开立方求ax+b，再进一步求出x，且x的值只有一个 (2)要记住10以内正整数的立方，例如：73343，83512，93729，这将给计算带来极大方便3

26、、分析 利用平方与开平方、立方与开立方的互逆关系求出相应的算术平方根、立方根解：(1)- _=-_(2) _=3-_8=3-4=-1【解题策略】 注意运算顺序 4、分析 由平方根、立方根的定义求出x和y的值解：x-2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3， x-2(2)24，2x+y+73327 x6，y8，x2+y262+82100 x2+y2的平方根为10，即_10 【解题策略】 x2+y2的平方根有两个，书写时要有正负号5、分析 本题考查的是正方体的体积公式及开立方运算，在运算过程中，要注意水箱是由6块正方形铁皮围成的 解：设水箱的棱长为x米，由题意得x31.728， x_1.2，所需铁

27、皮的面积至少为1226864(米2) 答：所需铁皮的面积至少为8.64米2【解题策略】 注意把实际问题转化为数学问题，把棱长与体积之间的关系转化为立方根与被开方数之间的关系6、解：(1)因为(-2)5-32，所以-32的5次方根是-2 因为54625，(-5)4625，所以625的4次方根是5 (2)因为0no，所以0的n次方根是0(n为大于0的整数)因为没有一个数的偶次方是负数，所以负数没有偶次方根【解题策略】 本题实际上是平方根和立方根的推广，偶次方根的概念与性质和平方根类似，奇次方根的概念与性质和立方根类似在平方根和立方根的基础上，可以求出非负数的偶次方根以及任何数的奇次方根体验中考1、

28、分析 此题考查乘方与开方的简单运算，注意立方根与算术平方根的性质，与314的不同及负指数的意义故选B2、分析 由V正方体棱长3知棱长_，即棱长_._，4_5故选A.【解题策略】 本题是立方根的知识在实际问题中的应用2.4估算学习目标、重点、难点【学习目标】1、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围,并能通过估算比较两个数的大小2、掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感【重点难点】1、掌握估算的方法，能通过估算检验计算结果的合理性2、掌握估算方法，形成估算的意识知识概览图估算比较两个数的大小应用新课导引【问题链接】 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2，如右图所示 (1)公园的宽有100米吗? (2)如果要求误差小于10米，它的宽在什么范围内?【点拨】 由题意可知2xx400000，即x2200000，欲知公园宽大约是多少，就要估计x的大小193600200000202500，即4402x24502，又x0，则440x450.(1)公园的宽有100米(2)如果要求