《同角三角函数基本关系》教学设计.docx
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《同角三角函数基本关系》教学设计
1.2.2同角三角函数的基本关系
(名师:
卓忠越)
一、教学目标
(一)核心素养
通过教学,使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法,提高学生运算能力和逻辑推理能力.
(二)学习目标
1.牢固掌握同角三角函数关系式,并能灵活解题,提高学生分析、解决三角函数的思维能力;
2.探究同角三角函数关系式时,体会数形结合的思想;已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,进一步树立分类思想;解题时,注重化归的思想,将新题目化归到已经掌握的知识点上;
3.牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力;
4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力.
(三)学习重点
1.理解并掌握同角三角函数关系式;
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法.
(四)学习难点
1.已知某角的一个三角函数值,求其余的各三角函数值时符号的确定;
2.掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力.
二、教学设计
(一)课前设计
1.预习任务
(1)熟记,,,,五个特殊角的三角函数值
(2)阅读教材P18—P20
2.预习自测
(1)已知,且为第三象限角,求、的值
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【解题过程】∵在第三象限∴
∴由得:
由得:
【思路点拨】利用两组三角函数公式和三角函数符号判定,代入解方程求解.
【答案】,
(2)化简:
(1);
(2)
【知识点】两组关系式的基本应用
【解题过程】
(1)
(2)
【思路点拨】
(1)“切化弦”,统一函数名称从而实现化简的目的;
(2)利用进行“1”的代换,统一分子分母为齐次式.
【答案】
(1);
(2)1
(3)求证:
(1)
(2)
【知识点】两组关系式的基本应用
【解题过程】
(1)法一:
左边=
=右边
法二:
右边
=左边
(2)左边==右边
【思路点拨】恒等式证明遵循“化繁为简”的基本准则,即可从左化到右,也可从右化到左,或左右都往中间化得到相同的结果.
【答案】见解题过程
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)任意角的三角函数的定义
(2)任意角的三角函数值的符号法则
(3)初中所学的同角锐角三角函数的基本关系
2.问题探究
探究一结合任意角的三角函数的定义,探究同角三角函数的基本关系★
●活动①类比初中所学知识,猜想同角三角函数的基本关系
回顾初中学习锐角三角函数的相关知识,在Rt△ACB中,∠C=,三边长分别为,锐角A的三角函数的定义是什么?
锐角A的这三个三角函数之间有什么关系呢?
;
以上同角三角函数关系对任意角仍成立吗?
【设计意图】从已有的知识出发,类比探究知识的延展,得到合理的猜想,为发现新知奠定基础,体会由特殊到一般的数学思想.
●活动②回归定义,证明猜想,得到结论
你能根据任意角的三角函数定义证明以上同角三角函数关系吗?
也就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切.
【设计意图】运用定义给予严格证明,肯定猜想的正确性,是解决数学问题的常用方法.
●活动③架构迁移,熟悉公式结构和使用条件
为了让学生及时熟悉公式,要求学生完成以下的课堂练习:
(1)_________;
(2)___________;
(3)___________;(4)________________.
学生交流、讨论,最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题:
①注意“同角”指相同的角,例如:
、、;
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如中,且需有意义等.
【设计意图】通过练习,感知并理解同角的意义和公式的使用条件,培养严谨的数学思维习惯.
探究二同角三角公式的灵活运用
●活动①探究两个公式的等价变形式及应用
由等价变形式,已知余弦值可以求正弦值;
由等价变形式,已知正弦值可以求余弦值.
但比如:
,此时,、的符号受所在象限的限制,不是无条件的.
例1.已知,其中在第四象限,求的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想
【解题过程】
第一步:
定号
∵在第四象限∴
第二步:
定值
∴由得:
由得:
【思路点拨】熟记公式,代入解方程求解.
【答案】
同类训练1:
已知,求的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想和分类讨论思想
【解题过程】
第一步:
定象限
∵∴在第一或第二象限
第二步:
定号、定值
(1)当在第一象限时,
∴由得:
由得:
(2)当在第二象限时,
∴,
【思路点拨】涉及开方运算,符号判断取决于角所在象限.当角所在象限不确定时,需逐一分情况讨论.
【答案】或
同类训练2:
已知,其中在第三象限,求的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想
【解题过程】
第一步:
定号
∵在第三象限∴
第二步:
定值
由解方程得:
【思路点拨】共三个量,两个方程,任给其中一个都可以求出另两个.
【答案】
【设计意图】通过计算熟练掌握公式,并体会分类讨论思想在三角函数符号确定中的应用
●活动②强化提升、灵活应用
例2已知,求的值
【知识点】正余弦公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:
∴
【思路点拨】通过平方升次后,便于使用,从而使问题得到简化.
【答案】
同类训练:
在例2的条件下,能求吗?
【知识点】正余弦公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:
∵∴是第二或第四象限角
(1)当是第二象限角时,∴
∴
(2)当是第四象限角时,∴
∴
【思路点拨】两者之间通知联系起来,三者任给其中一
个可以求出另外两个.
【答案】或
例3已知,求下列各式的值:
(1)
(2)
【知识点】弦化切公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:
(1)分子分母上下同时除以得:
(2)分子分母上下同时除以得:
【思路点拨】关于的齐次分式,可以弦化切,变形为关于的式子.
【答案】
(1);
(2)
同类训练:
已知,求值:
【知识点】弦化切公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:
【思路点拨】关于的齐次分式,可以弦化切,变形为关于的式子.
【答案】
例4求证:
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】转化化归
【解题过程】
解:
左边=
=右边
【思路点拨】恒等式变形可由左到右,亦可由右到左,统一次数,统一函数名称.
【答案】见解题过程
同类训练求证:
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【解题过程】
解:
左边=
右边=
又∵∴∴左边=右边
∴原式得证.
【思路点拨】“切化弦”统一函数名,为证明恒等式奠基;恒等式证明可以从左右分别变形,得到相同或相等的中间式,从而等式得证.
【答案】见解题过程
3.课堂总结
知识梳理
掌握两组三角函数基本关系式:
和
重难点归纳
(1)运用三角函数公式求三角函数值涉及开方运算时,注意分析确定三角函数值的符号;不能确定的要进行分类讨论;
(2)根据三角函数式的结构和求解目标,选择合理的变形方向,并在训练中不断提高三角恒等变形的能力.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.已知,且为第四象限角,求的值.
【知识点】正余弦关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想
【解题过程】
∵在第四象限∴
∴由得:
由得:
【思路点拨】熟记公式,代入解方程求解.
【答案】
2.已知,求的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想
【解题过程】
∵∴在第二或第四象限
(1)若角在第二象限,则
由解方程得:
(2)若角在第四象限,则
由解方程得:
【思路点拨】共三个量,两个方程,任给其中一个都可以求出另两个;但角所在象限不确定时,注意分类讨论.
【答案】或
3.已知,求的值.
【知识点】弦化切公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:
分子分母上下同时除以得:
【思路点拨】关于的齐次分式,可以弦化切,变形为关于的式子.
【答案】
4.已知,则求的值.
【知识点】熟练应用公式
【数学思想】
【解题过程】
解:
∴
【思路点拨】利用完全平方公式构造,代入即可.
【答案】
5.求证:
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】
【解题过程】
解:
左边=
=右边
【思路点拨】恒等式变形可由左到右,亦可由右到左,“切化弦”是常用统一函数名的办法.
【答案】见解题过程
能力型师生共研
1.
(1)已知,且为第二象限角,求.
(2)已知,求.
(3)已知,求.
【知识点】熟练掌握三角函数关系式及符号判定
【数学思想】方程的思想和分类讨论思想
【解题过程】
(1)∵,且是第二象限角,
∴cosα=-=-=-.
∴tanα==-.
(2)∵sinα=,∴α是第一或第二象限角.
当α是第一象限角时,
∴cosα===.
∴tanα==;
当α是第二象限角时,tanα=-.
(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),
∴cosα=±=±(当α为第一、四象限角时取正号,当α为第二、三象限角时取负号).
∴当α为第一、四象限角时,tanα=;
当α为第二、三象限角时,tanα=-.
【思路点拨】先求与sinα的平方关系相联系的cosα,再由公式求tanα.
(2)(3)中α的范围不确定,须讨论确定开方的符号.
【答案】
(1)-
(2)或-(3)或-
2.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则
(1)sinθ-cosθ=________;
(2)sin3θ+cos3θ=________;
(3)tanθ=________.
【知识点】三者的关系
【数学思想】方程的思想和整体代换的思想
【解题过程】
(1)∵sinθ+cosθ=,∴(sinθ+cosθ)2=.
∴2sinθcosθ=-.
又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0.
∴sinθ-cosθ===.
(2)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)
=×(1+)=.
(3)方法一:
由解得sinθ=,cosθ=-.∴tanθ=-.
方法二:
因为sinθ+cosθ=,sinθcosθ=-,
由根与系数的关系,知sinθ,cosθ是方程x2-x-=0的两根,
所以x1=,x2=-.
又sinθcosθ=-<0,所以sinθ>0,cosθ<0.
所以sinθ=,cosθ=-.所以tanθ==-.
方法三:
同方法二,得sinθcosθ=-,所以=-.
齐次化切,得=-,即60tan2θ+169tanθ+60=0,
解得tanθ=-或tanθ=-.
又θ∈(0,π),sinθ+cosθ=>0,sinθcosθ=-<0,
所以θ∈(,),所以tanθ=-.
【思路点拨】
(1)已知asinx+bcosx=c可与sin2x+cos2x=1联立,求得sinx,cosx.
(2)sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx之间的关系为
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,
(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx,
(sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,便可求其余