高考热点专题有关传送带问题的分析与计算.docx

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高考热点专题有关传送带问题的分析与计算

北京四中

审　稿：

李井军　　责　编：

郭金娟

高考热点专题——有关传送带问题的分析与计算

　　传送带问题是以真实物理现象为依据的问题，它既能训练学生的科学思维，又能联系科学，生产和生活实际，因而，这种类型问题具有生命力，当然成为高考命题专家所关注的问题。

　　物体在皮带的带动下做匀加速运动，当物体速度增加到与皮带速度相等时，跟皮带一块做匀速运动，分析时要充分考虑整个过程中物体的运动情况。

解决此类问题除用到牛顿运动定律外还要用到的动能定理、动量定理和能量守恒定律等知识。

　　传送带问题的考查一般从两个层面上展开：

　　一是受力和运动分析。

受力分析中关键是注意摩擦力的突变（大小，方向）——发生在V物与V带相同的时刻；运动分析中关键是相对运动的速度大小与方向的变化——物体和传送带对地速度的大小与方向比较。

　　二是功能分析。

注意功能关系：

WF=△EK+△EP+Q。

式中WF为传送带做的功，WF=F·S带（F由传送带受力情况求得）；△EK，△EP为传送带上物体的动能、重力势能的变化；Q是由于摩擦产生的内能：

Q=f·S相对。

　　下面结合传送带两种典型模型加以说明。

　　典例分析

　　【例1】如图所示，水平放置的传送带以速度v=2m/s向右运行，现将一小物体轻轻地放在传送带A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，若A端与B端相距4m，则物体由A到B的时间和物体到B端时的速度是：

（　）

　　A．2.5s，2m/s　　　B．1s，2m/s　　　C．2.5s，4m/s　　　D．1s，4/s

　　【答案】A

　　【解析】小物体放在A端时初速度为零，且相对于传送带向后运动，所以小物体受到向前的滑动摩擦力，小物体在该力作用下向前加速，a=μg，当小物体的速度与传送带的速度相等时，两者相对静止，不存在摩擦力，小物体开始做匀速直线运动。

所以小物体的运动可以分两个阶段，先由零开始加速，后做匀速直线运动。

　　小物体开始先做匀加速运动，加速度a=μg，达到的最大速度为2m/s。

　　当v物=2m/s时，

。

，

　　以后小物体做以2m/s做匀速直线运动，

，

　　所以t总=1s+1.5s=2.5s，且到达B端时的速度为2m/s。

　　【点评】这是一道水平传送带的问题。

处理水平放置的传送带问题，首先是要对放在传送带上的物体进行受力分析，分清物体所受摩擦力是阻力还是动力。

尤其是要注意当小物体的速度与传送带的速度相等时，两者相对静止，摩擦力突变为零；其二是对物体进行运动状态分析，即对静态→动态→终态进行分析和判断，对其全过程作出合理分析，推论，进而采用有关物理规律求解。

　　【例2】如图所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A端到B端的长度为16m，传送带以v0=10m/s的速度沿逆时针方向转动。

在传送带上端A处无初速地放置一个质量为0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求物体从A端运动到B端所需的时间是多少？

（sin37°=0.6，cos37°=0.8）　

　　【解析】物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带施加给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图（a）所示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，受力分析如图（b）所示。

综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”。

　　开始阶段由牛顿第二定律，得

　　mgsinθ＋μmgcosθ=ma1，

　　a1=gsinθ＋μgcosθ=10m/s2

　　物体加速至与传送带速度相等时需要的时间为

　　t1＝v/a1＝1s，

　　发生的位移为s＝

a1ｔ12＝5m＜16m，

　　可知物体加速到10m/s时仍未到达B点。

　　第二阶段的受力分析如图（b）所示，应用牛顿第二定律，有

　　mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，

　　所以a2＝2m/s2

　　设第二阶段物体滑动到B端的时间为t2，则

　　LAB－s＝vｔ2＋

a2ｔ22

　　解得t2＝1s，ｔ2′=-11s（舍去）

　　故物体经历的总时间ｔ=t1＋t2=2s

　　【点评】这是一道倾斜传送带的问题，解此类题的关键就是要注意摩擦力突变的问题，即当物体随传送带被加速，物体的速度小于皮带的速度时，摩擦力沿传送带向下，当物体的速度等于传送带的速度瞬间，摩擦力为零，随后物体受的摩擦力变向，沿传送带向上。

　　从上述例题还可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻。

在求解传送带类的问题时，一定要注意皮带传送物体时物体所受的摩擦力大小和方向的突变，不注意这一点就很容易出错。

　　【例3】水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。

如图所示为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持v=1m/s的恒定速率运行。

一质量为m=4kg的行李无初速度地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。

设行李与传送带间的动摩擦因数μ=0.1，AB间的距离

=2m，g取10m/s2。

（1）求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小；

（2）求行李做匀加速直线运动的时间；

　　（3）如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处。

求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。

　　【解析】水平传送带问题研究时，注意物体先在皮带的带动下做匀加速运动，当物体的速度增到与传送带速度相等时，与皮带一起做匀速运动，要想传送时间最短，需使物体一直从A处匀加速到B处。

（1）行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力　F=μmg

　　　　以题给数据代入，得F=4N

　　　　由牛顿第二定律，得F=ma

　　　　代入数值，得a=1m/s2

（2）设行李做匀加速直线运动的时间为t，行李加速运动的末速度为v=1m/s，则v=at

　　　　代入数据，得t=1s。

　　（3）行李从A处匀加速运动到B处时，传送时间最短，则

　　　　代入数据，得tmin=2s。

　　　　传送带对应的最小运行速率vmin=atmin

　　　　代入数据，解得vmin=2m/s

　　【点评】皮带传送物体时存在最短传送时间问题，因此应注意物体在传送带上运动时极值问题的分析。

　　【例4】如图所示，AB是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h，末端B处的切线方向水平。

一个质量为m的小物体P从轨道顶端A处由静止释放，滑到B端后飞出，落在地面上的C点，轨迹如图中虚线BC所示，已知它落地时相对于B点的水平位移OC=L。

　　现在轨道下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带的右端与B点的距离为

，当传送带静止时，让小物体P再次从A点静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端水平飞出，仍然落在地面上的C点。

当驱动轮转动而带动传送带以速度v匀速向右运动时（其他条件不变），物体P的落地点为D。

不计空气阻力，问传送带速度v的大小满足什么条件时，点O、D之间的距离s有最小值？

这个最小值为多少？

　　【解析】物体P从轨道B端或从传送带右端滑出均做平抛运动，因为两个端点离地面的高度相等，所以物体做平抛运动的水平射程与初速度成正比，即v2/v1＝L2/L1。

　　由题意可知，L1＝L，L2=

，v1＝

　　则v2＝

　　小物体P在传送带上滑动，滑动摩擦力做负功，由动能定理得

　　－μmg

＝

mv22－

mv12

　　则μ＝

　　当传送带向右运动时，要使小物体的水平射程最小，必须使它到达传送带右端时速度最小，这就要求小物体P在传送带上一直做匀减速运动，那么，传送带的速度只要小于或等于物体P在静止的传送带上滑至右端的速度v2，即传送带的速度v≤

时，点O、D之间的距离最小，smin=L，即物体落点D与点C重合。

　　讨论：

如果问题改成传送带速度v的大小满足什么条件时，点O、D之间的距离s有最大值，这个最大值是多少？

　　解答：

这时问题的实质并没有改变，要使物体P的水平射程最大，必须使P到达传送带右端时的速度最大，这就要求P在传送带上一直做匀加速运动。

　　由动能定理可知，P到达右端的速度最大值vm满足μmg

＝

mvm2－

mv12，

　　则vm＝

　　只要传送带的速度v≥vm＝

，物体P就以速度vm离开传送带做平抛运动而落地，

　　点O、D间距离最大为sm＝

＋vm

＝

＋

h。

　　【点评】从上述例题可以总结出，物体在传送带上运动时的极值问题，不论是极大值，还是极小值，都发生在物体速度与传送带速度相等的时刻。

　　【例5】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。

桌布的一边与桌的AB边重合，如图。

已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为

。

现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。

若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么?

（以g表示重力加速度）

　　【解析】设桌面长为

，开始时，桌布、圆盘在桌面上的位置如图甲所示；圆盘位于桌面的中央，桌布的最左边位于桌面的左边处。

由于桌布要从圆盘下抽出，桌布与圆盘之间必有相对滑动，圆盘在摩擦力作用下有加速度，其加速度a1应小于桌布的加速度a，但两者的方向是相同的。

当桌布与圆盘刚分离时，圆盘与桌布的位置如图乙所示，圆盘向右加速运动的距离为x1，桌布向右加速运动的距离为

。

圆盘离开桌布后，在桌面上做加速度为a2的减速运动直到停下，因盘未从桌面掉下，故而盘做减速运动直到停下所运动的距离为x2，不能超过

。

　　解：

设圆盘的质量为m，桌长为

，在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为a1，有：

mg=mal

　　　　桌布抽出后，盘在桌面上做匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有：

2mg=ma2

　　　　设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2　后便停下，有：

　　　　盘没有从桌面上掉下的条件是：

　　　　设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有：

　　　　而

　　　　由以上各式解得：

　　【点评】此题是一道动力学的综合题，以日常生活中抽取桌布为情景进行设计，情景较为复杂，过程较多。

如果考生能将这样的一个现实生活情景抽象归纳出一块木板从一个小物块下面抽出的模型，就能变为一个常规问题，分析起来就会得心应手。

　　从该题可得到启发，一是复习中应多关注日常生活中物理现象，学以致用；二是应加强物理模型的建立、变换等的训练。

　　【例6】一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。

初始时，传送带与煤块都是静止。

现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。

经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。

求此黑色痕迹的长度。

　　【解析】如图所示，根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。

设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，传送带在时间t内发生位移为S1。

经历时间t，煤块则由静止加速到v，煤块继续受到滑动摩擦力的作用，再经过时间t＇，煤块的速度由v增加到v0。

在时间t＇内，传送带继续做匀速运动，位移为S2。

在时间（t+t＇）内,传送带位移S0=S1+S2。

而煤块在时间（t+t＇）内仅位移S。

因此，传送带上黑色痕迹的长度

=S0-S。

　　解：

根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。

根据牛顿定律，可得：

　　a=μg

　　设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，煤块则由静止加速到v，有：

　　v0=a0t　v=at

　　由于a

再经过时间t′，煤块的速度由v增加到v0，有：

　　v0=v+at′

　　此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。

　　设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s，有：

　　传送带上留下的黑色痕迹的长度

　　由以上各式得：

、

　　【点评】本题考查了匀变速运动的规律和牛顿运动定律，题目设计巧妙，要求难度较高，考查了考生处理复杂问题的能力，尤其在隐含及临界条件的挖掘上，对分析物理过程也有较高要求。

。

　　从上述例题可以看到分析传送带上物体运动问题先由初始条件决定相对运动，分析物体所受摩擦力及其加速度的大小和方向，再由速度变化进而分析相对运动及受力，再来判断以后物体的运动。

在分析问题是要善于在分析物理过程的同时正确地作出情境示意图，借助情境图来找出时间和空间上的量与量之间的关系。

　　【例7】如图所示，水平长传送带始终以速度v=3m/s匀速运动。

现将一质量为m=1kg的物块放于左端（无初速度）。

最终物体与传送带一起以3m/s的速度运动，在物块由速度为零增加至v=3m/s的过程中，求：

（1）由于摩擦而产生的热量。

（2）由于放了物块，带动传送带的电动机消耗多少电能？

　　【解析】

（1）小物块刚放到传送带上时其速度为零，将相对于传送带向左滑动，受到一个向右的滑动摩擦力，使物块加速，最终与传送带达到相同速度v。

　　　　物块所受的滑动摩擦力为Ff=μmg

　　　　物块加速度

　　　　加速至v的时间

　　　　物块对地面位移

　　　　这段时间传送带向右的位移

　　　　则物块相对传送带向后滑动的位移

　　　　根据能量守恒定律知

（2）电动机多消耗的电能即物块获得的动能

及产生的热量之和，

　　　　即

。

　　【点评】在利用传送带运输物体时，因物体与传送带间存在相对滑动而产生摩擦生热，这样就会使动力系统要多消耗一部分能量。

在计算传送带动力系统因传送物体而消耗的能量时，一定不要忘记物体在传送带上运动时因相对滑动而产生摩擦生热的计算。

　　【例8】如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0=2m/s的速率运行。

现把一质量m=10kg的工件（可看做质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9s，工件被传送到h=1.5m的高处，取g=10m/s2。

求：

（1）工件与皮带间的动摩擦因数；

（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。

　　【解析】

（1）由题意可知皮带长为s＝h/sin30°＝3m

　　　工件速度达到v0前，做匀加速运动的位移为s1＝

ｔ1

　　　工件速度达到v0后做匀速运动的位移为s-s1=v0（t-t1）

　　　解得t1=0.8s

　　　工件的加速度为a＝v0/ｔ1＝2.5m/s2

　　　工件受的支持力N=mgcosθ

　　　对工件应用牛顿第二定律，得μmgcosθ-mgsinθ=ma，

　　　解得动摩擦因数为μ＝

（2）首先要弄清什么是电动机“多消耗的电能”。

当皮带空转时，电动机会消耗一定的电能。

现将一工件置于皮带上，在摩擦力作用下，工件的动能和重力势能都要增加；另外，滑动摩擦力做功还会使一部分机械能转化为热，这两部分能量之和，就是电动机多消耗的电能。

　　　在时间t1内，皮带运动的位移为s2=v0t1=1.6m

　　　工件相对皮带的位移为Δs＝s2－s1＝0.8m

　　　在时间t1内，皮带与工件的摩擦生热为Q＝μmgcosθ·Δs＝60J

　　　工件获得的动能为Ek＝

mv02＝20J

　　　工件增加的势能为Ep＝mgh＝150J

　　　电动机多消耗的电能为W＝Q＋Ek＋Ep＝230J

　　【点评】从上述例题可以总结出，静止物体放在传送带上运动，在物体与传送带达到相同速度之前，物体与皮带存在相对滑动，因此一定有摩擦生热现象发生。

摩擦生热的量值等于滑动摩擦力与物体相对于传送带位移的乘积。

　　【例9】有一台与水平方向成30°角的传送带运输机，如图所示，它将沙子从一处运送到另一处。

沙子在h=0.5m高的地方自由落下，传送带始终以v=1m/s的速度运转。

若沙子落到传送带上的流量为Q=50kg/s，传送带的有效长度

=10m，电动机的效率η=80%，问至少须选多大功率的电动机？

（g=10m/s2）

　　【解析】沙子从下落到被运送至另一处，可分为四个阶段：

首先，是沙子做自由落体运动；其次，是沙子与传送带发生瞬间碰撞，使沙子在垂直于传送带方向上的动量立即减为零；其三，是在沿传送带运动的方向上，沙子在传送带的滑动摩擦力作用下做匀变速运动直到获得与传送带相同的速度；最后，是沙子与传送带处于相对静止，并被静摩擦力推送到另一处。

因此传送带的最小牵引力应等于供给做加速运动的沙子的滑动摩擦力和做匀速运动的沙子的静摩擦力之和，由此即可求出电动机在完成运输过程中所需的最小功率。

　　设沙子从落到传送带上到获得与传送带相同的速度所需的时间为Δt，则在传送带上处于受滑动摩擦力作用的沙子的质量始终是Δm=QΔt。

又设传送带上沙子的质量为M，则在传送带上受静摩擦力作用的沙子质量始终为M－Δm，且

。

　　因传送带对沙子的牵引力为F=（M－Δm）gsinα+μΔmgcosα，则

　　传送带需传递的功率为P=Fv=Mgvsinα+（μΔmgcosα－Δmgsinα）v

　　显然第二部分为沙子加速时所受的合外力。

　　因沙子下落时做自由落体运动，所以当沙子运动至传送带时的速度

　　沙子落到传送带上与传送带发生瞬时碰撞，垂直于传送带的动量立即变为零，而平行于传送带的动量来不及变化。

以传送带运行方向为正方向，根据动量定理对Δm的沙子有：

　　（μΔmgcosα－Δmgsinα）Δt=Δm[v―（―v0sinα）]

　　而

，

　　则P=Mgvsinα+Q（v+v0sinα）v

　　　=

　　　=40×10×10×sin30°+40×（1+

×sin30°）×1W=2103W。

　　故选用的电动机的功率P＇至少应为

　　【点评】

（1）对物体运动状态不断变化的问题，通常的求解方法是选其中一段作为研究对象，将这一段的问题解决了，再分析全过程中的不变因素，由其中一段的情况类推到全过程，这样便可解决所求问题。

对过程较复杂的动力学问题，不要急于求解，关键是要分析清楚通过什么中间量可求出待求量（如本题通过寻找牵引力求解传送带所需的功率），分析清楚研究对象运动变化的过程，然后将物理变化过程与待求量联系起来，寻求所需的物理规律和求解途径，这样处理可使问题清楚，物理方法明确。

（2）沙子要获得与传送带相同的速度，所受的滑动摩擦力应大于重力在传送带方向的分力，

　　即μΔmgcosα－Δmgsinα＞0，由此可得μ＞tanα。

否则沙子无法获得与传送带相同的速度，反而会沿传送带下滑而无法被传送。

　　（3）电动机所做的功，大部分用于增加沙子的重力势能，小部分用于改变沙子的动能和沙子在加速过程中因相对运动发生摩擦而产生的热。

　　（4）质量为Δm的沙子在加速过程中的位移s和所用的时间Δt，

　　　　由牛顿运动定律有μΔmgcosα－Δmgsinα=Δma

　　　　而v2―（―v0sinα）2=2as，

　　　　得

　　　　可见，μ越大，s越小；v越小，s越小。

　　　　又因为v=－v0sinα+aΔt，

　　　　所以

　　　　由此可知，在Δt时间内，传送带的位移s＇=vΔt，传送带与沙子的相对位移Δs=s＇－s，

　　　　因此滑动摩擦产生的热量为F摩Δs。

　　巩固练习：

　　1．如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度v1沿顺时针方向运动，传送带右端有一与传送带等高的光滑水平面，一物体以恒定的速度v2沿直同一直线向左滑上传送带后，经过一段时间后又返回光滑水平面上，其速度为v2＇，下列说法中正确的是（　）

　　A．若v1＜v2，则v2＇=v1　　　　B．若v1＞v2，则v2＇=v2

　　C．不管v2多大，总有v2＇=v2　　D．若v1=v2，才有v2＇=v1

　　2．某工厂一条输送工件的传送带安装如图所示，当传送带静止时，一滑块正在沿传送带匀速下滑，某时刻传送带突然加速向上开动，则与传送带静止时相比，木块滑到底部所用的时间（　）

　　A．不变　　B．变长　　C．变短　　D．不能确定

　　3．如图所示，一皮带输送机的皮带以13.6m/s的速率做匀速运转，有效输送距离S=29.8m，倾角θ=37°将一物体（可视为质点）轻放在A点，物体与皮带间的动摩擦因数μ=0.1，求物体由A到B所需的时间？

　　（g取10m/s2）

　　4．如图所示，一平直的传送带以速度v=2m/s匀速运动，传送带把A处的工件运送到B处，A、B相距L=10m。

从A处把工件无初速地放到传送带上，经过时间t=6s能传送到B处。

欲用最短的时间把从A处传送到B处，求传送带的运行速度至少多大？

　　5．如图所示，水平传送带水平段长L＝6m，两皮带轮直径D均为0.2m，距地面高H＝5m，与传送带等高的光滑水平台上有一小物块以v0＝5m/s的初速度滑上传送带，物块与传送带间动摩擦因数μ＝0.2，g取10m/s2。

求：

（1）若传送带静止，物块滑到B端后做平抛运动的水平距离S；

（2）若皮带轮顺时针以角速度ω＝60rad/s转动，物块滑到B端后做平抛运动的水平距离S′。

　　6．如图为一皮带传动装置，传送带与水平面夹角为θ，A、B轮半径均为R，轴心间距为L，B轮由电动机带动，其传速为n。

在货物随皮带运动过程中，有一小球由静止开始沿光滑轨道滚下，到达传送带时，货物恰好运到传送带中央，当货物运动到距B轮L/4的C点时，小球恰好与货物相遇而未发生碰撞。

若皮带不打滑，且货物总与皮带保持相对静止，试求：

（1）货物由传送带中央运动到C点所用时间；

（2）轨道顶端与底端的高度差h。

　　7．如图所示，皮带轮带动传送带沿逆时针方向以速度v0=2m/s匀速运动，两皮带轮之间的距离L=3.2m，皮带绷紧与水平方向的夹角θ=37°。

将一可视为质点的小物块无初速地从上端放到传送带上，已知物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块在皮带上滑过时能在皮带上留下白色痕迹。

求物体从下端离开传送带后，传送带上留下的痕迹的长度。

（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2）

　　8．如图所示，倾角为30°的皮带运输机的皮带始终绷紧，且以恒定速度v＝2.5m/s运动，两轮相距LAB＝5m，将质量m＝1kg的物体无初速地轻轻放在A处，若物体与皮带间的动摩擦因数μ＝

，取g＝10m/s2。

求：

（1）物体从A运动到Ｂ，皮带对物体所做的功是多少?

（2）物体从A运动到B共需多少时间?

　　（3）在这段时间内电动机对运输机所做的功是多少?

　　9．如图所示，水平传送带