第04节 平行线拐点专题+张来.docx

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第04节平行线拐点专题+张来

第四节平行线拐点专题

中考考点分析

在教材中的地位

重点、难点

相交线与平行线是历年中考的热点，也是每年中考必考的知识点之一．有关相交线与平行线这一考点的试题在试卷中所占的比重相对稳定，题型涉及选择题、填空题、解答题，难度一般．

本节课是在学习平行线性质和判定的基础上，探究复杂（有“拐点”）图形中角度的数量关系及证明，相交线与平行线在初中数学图形的认识基本概念和基本理论知识模块中占有极其重要的地位，是今后研究三角形、平行四边形等知识点的理论基础．

重点：

平行线性质、判定的综合运用．

难点：

平行线辅助线作法．

考点与实例分析

讲点1巧作一条平行线

例1如图（a），木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图（a）中的橡皮筋拉成下列各图的形状，试解答下列各题：

（1）图（b）中，∠A，∠B，∠C之间有何关系？

（2）图（c）中，∠A，∠B，∠C之间有何关系？

（3）图（d）中，∠A，∠B，∠C之间有何关系？

（4）图（e）中，∠A，∠B，∠C之间有何关系？

（a）（b）（c）

（d）（e）

题意分析常见平行线中拐点问题的几种基本模型，都是过“拐点”作一条平行线．

解答过程：

解题后的思考：

练1．1一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝（）．

A．180°B．270°

C．280°D．295°

练1．2如图，已知AB∥CD，EF分别交AB，CD于M，N，∠BMN：

∠MND＝5：

4，MQ，NQ分别平分∠BMN,∠MND．

（1）求∠MQN；

（2）若∠PMQ与∠EMP的差为90°，求∠AMP．

（2013，武汉二中期末）

练1．3如图，AB∥CD，AB，CD分别交直线EF于E，F两点，点P为直线EF右边平面上一点，且∠AEP＝160°，∠EPF＝45°，则∠CFP的度数为

（2013，洪山区期中）

例2如图，AE∥BD，∠1＝，∠2＝∠1，求∠C．（用含的代数式表示）

题意分析水平方向的平行线比较容易辨析，非水平方向的平行线同样过“拐点”作平行线.，

解答过程：

解题后的思考：

练1．4如图，一条公路修到湖边时，需转弯绕湖而过，如果第一次转的角即∠A是120°，第二次转的角即∠B是150°，第三次转的角是∠C，这时的道路恰好和第一次转弯之前的道路平行，则∠C＝（）．

A．120°B．130°

C．140°D．150°

例3如图，已知BE平分∠ABD,DE平分∠BDC．且∠EBD＋∠EDB＝90°．

（1）求证：

AB∥CD：

（2）H是直线CD上一动点（不与点D重合）．BI平分∠HBD．写出∠EBI与∠BHD的数量关系，并说明理由．

题意分析将角平分线融入拐点问题，我们通常将相等角设为参数x，y，再利用拐点问题中角度的数量关系来解题．

解答过程：

解题后的思考：

练1．5如图，AB∥CD,∠B＋∠D＝5∠DEF，则∠DEB＝

练1．6如图，EF∥HG，AB平分∠DAC，BD平分∠FBC，∠ACB＝100°，则∠DBA的度数为．

（2013．武珞路中学期中）

讲点2巧作多条平行线

例4

（1）①如图1，已知AB∥CD．点E在AB,CD的外部，探究∠ABE，∠D，∠E之间有何数量关系，并说明理由；

②在图1中，将直线AB绕点B逆时针旋转一定角度后．AB交CD于点F，如图2．探究∠ABE，∠D，∠E，∠BFD之间有何数量关系，并说明理由；

（2）①在图1中，将点E移动到AB，CD的内部，如图3，AB∥CD成立，则∠ABE，∠D，∠E之间的数量关系为____；

②在图3中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一个小于90°的角度后，AB交CD于点F，此时点E在锐角∠BFD的内部，画出符合题意的图形，并直接写出∠ABE，∠D，∠E，∠BFD之间的数量关系为．

（2013．武汉二中期末）

题意分析一个“拐点”问题可以作一条平行线来解决，要是有两个或多个“拐点”，自然想到作多条平行线，从而将“多拐点”问题转化为已解决的“一个拐点”问题来处理．

解答过程：

解题后的思考：

练2．1如图，已知AB∥CD，求∠B＋∠E＋∠F＋∠D的度数；

（2）若将

（1）中的条件与结论互换，是否仍然成立？

说明理由．

练2．2如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（）．

A．∠A＋∠C＋∠D＋∠E＝360°B．∠A＋∠D＝∠C＋∠E

C．∠A－∠C＋∠D＋∠E＝180°D．∠E－∠C＋∠D－∠A＝90°

练2．3如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，求∠GHM．

讲点3平行线拐点压轴题

例5如图，D是△ABC的边BC的延长线上的一点，CE∥AB．

（1）如图1，求证：

∠ACD＝∠A＋∠B；

（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数；

（3）如图3，AH∥BD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QM∥GR，试猜想∠MQN与∠ACB的关系，并说明理由．

（2013．洪山区期中）

题意分析角平分线与拐点问题综合．

解答过程：

解题后的思考：

练3．1已知AB∥CD，M，N分别在AB，CD上，点G在AB，CD之间．

（1）如图1，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E与∠G互余，求∠AME的大小；

（2）如图2，在

（1）的条件下，若点P是EM上一动点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ∥NH．当点P在线段EM上运动时，∠JPQ的度数是否改变？

若不变，求出其值；若改变，说明你的理由．

（2012．武汉二中期未）

考点与课堂练习

★☆☆☆1．如图，AB∥CD，∠B＝23°，∠D＝42°，则∠E＝

★★☆☆2．如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝____；

如图2，MAl∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝____；

如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝，

如图4，MAl∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝，

从上述结论中你发现了什么规律？

如图5，MAl∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝

图1图2

图3图4

图5

★★★☆3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，则∠3的度数为

★★★☆4．如图，某煤气公司安装煤气管道，从点A处铺设管道到点B时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设．如果∠ABC＝135°，∠BCD＝65°，则∠CDE的度数应为（）．

A．135°B．115°C．110°D．105°

★★★☆5．如图，AB∥CD，求∠B，∠C，∠BEC三者之间的数量关系．

★★★★6．如图1～图3，已知AB∥CD，AM，CM分别平分∠BAP，∠DCP．试分别探索∠M与∠P的数量关系．

图1图2图3

★★★★7．如图，AB∥CD，试用含∠A，∠C，∠F的式子表示∠E．

★★★★★8．在平面直角坐标系中，已知点A（a，1），B（2，b），且a，b满足

（2a－3b－2）2＋＝0．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）如图，MB∥NO，OD平分∠AON．延长AB交OD于C，BC平分∠DBM，且∠D＋∠A＝60°，求∠DBM的度数．

（2013．武珞路中学期中）

课后反馈

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE＝．

2．如图所示是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C＝．

3．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则从C看AB两处的视角∠ACB的度数为_________

4．如图，若AB∥EF，∠C＝90°，求x＋y－z的度数．

5．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED的度数．

6．

（1）如图1～图3，若AB∥CD，请分别写出∠B，∠D，∠E之间有什么关系，并挑选任意一个证明，

（2）在图4中，AB∥CD，∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D又有何关系？

在图5中，若AB∥CD，又得到什么结论？

请直接写出结论．

7．如图，AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，求证：

∠AFC＝∠AEC．

8．如图，已知∠DAB＋∠ABC＋∠BCE＝360°．

（1）指出AD与CE的位置关系，并说明理由；

（2）如图，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数；

（3）在前面的条件下，如图，若P是AF上一点，Q是GE上一点，QR平分∠PQG，PN平分∠APQ，PM∥QR．下列结论：

①∠APQ＋∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并证明．

9．已知DH∥GE，点A，C分别在直线HD，GE上．

（1）如图，试求∠BCE，∠ABC，∠BAD三者之间的等量关系；

（2）如图，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，两线交于点F，求∠B与∠F的数量关系；

（3）如图，分别作∠ABC与∠BCE的角平分线，两线交于点M，过点B作BN∥CM，若∠BAD＝m°，下列结论：

①∠ABC＋∠NBM的值与m有关；②∠NBM的度数与m有关，可以证明只有一个与m的值有关，请你作出正确的选择并求值．