四川省蓉城名校联盟学年第一学期高中级高一期中联考数学科解析版.docx
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四川省蓉城名校联盟学年第一学期高中级高一期中联考数学科解析版
蓉城名校联盟2020〜2021学年度上期高中2020级期中联考
数学科（学生版）
考生注意：
1•本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.
2.请将各题答案写在答题卡上.
3•本试卷主要考试内容：
必修一全部内容.
第I卷
一、选择题：
本大题共12小题，每一小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1•已知集合人={一2,-1,0丄2},B={xeZ|-lA.{-LOJ}
B.{0.1}
C・{71}
D・{0丄2}
2•下列函数与f（x）=
x是同一函数的是（）
A・f（x）=—X
B・=
At
C・f（x）=log；
D./（x）=2^
3.下列函数在（O.+oo）上为增函数的是（）
A・f（a）=x2
2
B・/（x）=-
X
C./（x）=lg（x-2）
D・f（x）=-2x+4
4•若函数f（x）=log,—3）+1（“>0•且“h1）的图像恒过左点P，则P的坐标是（）
A.（XO）
B.C4.0）
C・（3,l）
D.（4J）
5•已知函数/（%）='
log1x-2,x>0,
flV则f（f（-2））的值为（）
（Jm
A.-4
B.-2
C.O
D.2
6.已知函数y=f（x）的定义域为［l,+oo）,
则函数g（x）=f（2x-3）+
1
j4-x
的上义域为（）
A.[-1,4]
B.[一1,4）
C.[2,4]
D.[2,4）
7•已知关于X的方程疋-2“+8=0的两个实根“巾满足x,>x2>2,则实数d的取值范围为（）
则实数a的取值范用是（）
10•设是定义域为R的偶函数,且在（0,+oc）单调递减，则（
11•已知函数/（a-）=（（X+I）；则关于x的方程f2（x）-i{f（x）=O（Olx-4l,x>L
A.3B.6C.9D.12
12•已知不等式二的解集为M,关于X的不等式屁-x+l>0的解集为N,且MUNuN,则实数“x-12
的取值范囤为（）
第II卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分•把【答案】填在答题卡中的横线上.
13•若则・
14•不等式2?
^>
（1）6^的解集为・
2
15.设偶函数/（x）在（-8,0）上为增函数，且/（3）=0，则不等式xf（x）<0的解集为
16.已知/'（对=字丰，若对心，X.&R，总有门首），/（小），/（並）为某个三角形的三边边长，则
实数加的取值范围是・
三、解答题：
本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•
17.求下列各式的值：
（1）Ig25+|lg8-log227xlog,2+2喙3
⑵（3护+（0.00晶辱谯卜叶3）|
已知集合/\={a-|x2-5x+4<0},B=（1）求AD（CrB）：
（2）^C={x|2/m19.已知函数f（x）=x2+ax+3-a>xe[-2.4].
（1）当a=2时，写岀函数/（x）的单调区间和值域：
（2）求/'（x）的最小值g（“）的表达式.
20.巧约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废
气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为y0=4/^,首
次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为*=3.94"劣.设第“次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为儿,可由函数模型儿=儿-仇-（必R,“eN*）给出，其中n是指改良工艺的次数.
（1）求方的值：
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08〃级，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：
取lg2=0.3）
4
21.若函数/（%）=2.
2+1
（1）判断函数/（兀）的单调性并且用立义法证明：
（2）若关于X的不等式/（/（%））+/（/-1）<0有解，求实数/的取值范围.
4'+h
22•已知函数=—为奇函数.
（1）求实数b的值;
（2）若对任意的xe[O,l],有/（2x2-fcx-^）+-<0tg成立，求实数R的取值范用；
（3）设g（_r）=log”[4’+4-JM（_Y）]（m>0,且加工1）,问是否存在实数加，使函数g（x）在[Uog23]±的最大值为0?
若存在，求出川的值，若不存在，请说明理由.
蓉城名校联盟2020〜2021学年度上期高中2020级期中联考
数学科（解析版）
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.
2.请将各题答案写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：
必修一全部内容.
第I卷
一、选择题：
本大题共12小题，每一小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1•已知集合A={-2-l,0.L2},^={xeZ|-lA.{-l,0,l}B.{0.1}D.{0丄2}
【答案】A.
【解析】
V/?
={xgZ|-12•下列函数与f（x）=x是同一函数的是（）
2
A・f（x）=—B./（x）=77C.f（x）=log；'D・/（x）=
x
【答案】c.
【解析】
由题意得，fM=x的泄义域为R,
V2z、
A：
f（x）=—的泄义域为（-s,0）U（0，+s），与fW=x的定义域不一样，排除A・
•I
B：
f（x）=VZ定义域为但是/（x）=77=|a-|,排除B,
D：
f（x）=2los^的泄义域为（0,+s）,排除D,所以正确答案选C.
3•下列函数在（O,+o。
）上为增函数的是（）
2
A.f（a-）=x2B・f（x）=—C・f（x）=lg（x-2）D・f（x）=-2x+4
x
【答案】A.
【解析】
7
fix）=X2在（0.U）上为增函数，A正确：
/（A-）=-在（0.炖）上为减函数，B错误；
x
/（x）=lg（A-2）为在（2.+8）上为增函数，C错误：
/（x）=-2A+4ii（0.-Ko）上为减函数，D错误:
故选A.
4•若函数/（X）=logu（A-3）+1（“>0.且“工1）的图像恒过泄点P，则P的坐标是（）
A.（3,0）B.（4.0）C.（3,l）D.（4,l）
【答案】D.
【解析】
T函数f（x）=logtix（u>0,且“Hl）的图像恒过点（1,0）,则令x-3=l,得x=4,
此时y=log“（x_3）+1=1,
•••函数f（x）=log“（x-3）+1（“>0,且xh1）的图像恒过点P（4.1），故选D.
log5x-2,x>0,
5•已知函数=丫则/（/（-2））的值为（）
A.-4B.-2C.OD.2
【答案】C.
【解析】
由题意知：
/（—2）=（#=9,/（/（-2））=/（9）=log39-2=2-2=0.
6.已知函数y=/（X）的泄义域为[k+oc）,则函数ff（x）=/（2a-3）+-J=的泄义域为（）
A.[-1,4]B.[-1,4）C.[2,4]D.[2,4）
【答案】D
【解析】
7•已知关于X的方程疋-2“+8=0的两个实根吗，勺满足x,>x2>2,则实数d的取值范围为（）
A.（2a/2,3）B.（2,+8）C.（2迈，+oo）D.（—2运，3）
【答案】A
【解析】
因为方程有两个不等实根，所以△=（加）2-4xlx8>0,解得a>2^2或“<-2血：
又x,>x2>2,
所以2“=“+乃，所以“>2血，Kx2=32>2,解得“<3,所以2屁x<3,选A.
&已知函数/（巧=严一"“必一‘兀—满足对于任意的mxgHi）都有""72>0成立,e+2,x>1X】一兀2
则实数a的取值范围是（）
【答案】B.
【解析】
根据题意，对于任意的心禺（召工禺）都有/生）一"叩>0成立
（a一2）x+4a—6,兀W1
aK+2,x>1
—2>0/・・・・sl,解得“可2,|,故选B.
（a—2）x1+4"—6S』+2
9•已知函数/（x）=logl（-x2+5A-4）在区间［〃w+l］上是减函数，则加的取值范围（）
2
【答案】C
解得*
m>1
5，WW1<^<-;选C・
m+1<—2
2
由-x2+5x-4>0得函数/（x）的泄义域为（1,4）,根据复合函数的单调性得5
x<—
2
函数/（X）在区间［m,m+\］上是减函数，.：
［w,m+l］Cfl,|10•设/（x）是泄义域为R的偶函数，且在（0,+oc）单调递减，则（）
I-二--
C./（log2-）>/（33）>/（34）
【答案】A
【解析】
Vf（x）是泄义域为R的偶函数，・••/（log21）=/（-log23）=/（log23）,又y=3r是R上的增函数,
4343（
A33<34因为/（x）在（O,+oo）单调递减，所以/（33）>/（34）>/（iOg2_）：
选A・
11•已知函数/（x）=,（X+1）；则关于x的方程/2（x）-#（x）=O（O<
lx-41,x>L
■
A.3B.6C.9D.12
【答案】C.
【解析】
由题可知：
函数/（x）为分段函数，则此题可分情况讨论方程根的问题.
若xS1时,f（x）=（x+1）2,代入方程f2（x）-af（x）=0（0<“<3）有（x+1）4-a（x+l）2=0.
当2-1时，/U）=0,则方程恒成立，.••这是方程其中一个根，
当2-1时，/（x）=（x+l）2>0,/.方程两边可同时除以（x+1）2,则方程变为（x+l）2-a=0,又知
0<“<3,则该方程有两根，.••方程展开有F+2x+l-“=0,由韦达立理得x,+x2=-2；
若x>1时，/（a）=Ix-4I,代入方程.厂（x）—“f（x）=0（0<“<3）有Ix—4|2-uIa-4I=0.
当人=4时，/（x）=0,则方程恒成立，.•.这是方程英中一个根，
又lx-4l>0,方程两边可同时除以lx-41,则方程变为lx-4l-«=0,
当兀>4时，方程为x-4-“=0,・・・*4+“，•••这是方程其中一个根，当l综上所述：
方程的实根有，-1,州，x2,4,4+“，4-6/,则所有实根之和为9,故选C.
12•已知不等式岂弓的解集为M,关升的不等式心小>。
的解集为N,MUNZ则实炯
的取值范围为（）
【答案】B.
【解析】
•••munun,:
.y由题意可得：
屁一大+1>0在*（i,3]一上恒成立
x-1
第II卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【签案】填在答题卡中的横线上.
13.若1e{a,/},则a=.
【答案】一1.
【解析】
由题意可知：
d=l或"'=1,故。
=±1.
当d=l时，a=a2=\不满足元素的互异性，故舍去；
当a=-\时，{“,/}={-1,1}符合题意.
14•不等式2‘亠的解集为.
2
【答案】（y）.2]U[3,+oo）.
【解析】
不等式2心1（*）1o2宀02'2,再由函数y=21在左义域内单调递增，从而可得：
x2-3x>2x-6=>x2-5x+6>0=>（a-2）（x-3）>0=>ae（yc,2]U[3,+x）.
15.设偶函数.f（x）在（-oo,0）上为增函数，且/（3）=0,则不等式xf（x）<0的解集为
【答案】（-3,0）U（3,+Q•
【解析】
由题可知：
.f（x）是偶函数，且在（yo,0）上为增函数，.•・/•（-x）=/（x）,易知/（x）的图象关于y轴对称，
A/（a）在（0,+oc）上为减函数，又/•"）是偶函数，・・./（一力=/&）,则有/（-3）=/（3）=0,
・・・xe（—3,0）时,/（X）>0,x<0,贝iJxJ（x）<0,
xe（3,+oo）时，/（a）<0，x>0»贝lJx-/（x）<0,
综上所述：
不等式xf（x）16.已知=,若对心，X.&R，总有/（^）,/（a-,）,_/（“）为某个三角形的三边边长，则
实数加的取值范围是・
【解析】
由题意可得：
对心，x3eRt总有/（^）+/（.¥2）>/（x3）恒成立，只需2/（x）mln>/（^）^
1当〃=1时，/（x）=H满足题意；
2当加>1时，/（x）在R上单调递减，\3当加2
综上所述，加的取值范朗是丄2・三、解筌題：
本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17•求下列各式的值：
7
（1）Ig25+|lg8-log,27xlogj2+2,ogi3
【解析】
⑴原式皿+|2—鹘卷+jg5也2）一酱卷+—+—
+5•空乂厶―J+2亠亠芈+2-1』
55>/29999
1&已知集合A={a-|x2-5x+4（1）求如帥）；
（2）^C={x|2m
【解析】
（1）由题得：
x2-5x+4<0=>（a-l）（x-4）<0=>1同理：
l<2t<8<^2-,<2t<2\由函数y=2*在泄义域内单涮递增，可得血卜1,3）.
即B=[-l,3）・从而有AA（CrB）=[3,4]・
（2）分类讨论集合C是否为空集.
1当C=0时，则2/n>/n-*-3=>/n>3:
2”5+3
②当Ch0时，由Cc（AUB）可得:
2m>-1
综上所述：
加得取值范围为：
"止-|,1U[3,+oo）.
19•已知函数f（x）=x2+ox+3xe[-2,4].
（1）当a=2时，写岀函数/（x）的单调区间和值域；
（2）求/'（X）的最小值g（“）的表达式.
7-3“，a>4
【答案】
（1）[0,25]
（2）g（“）h-匕一幺+3,-8<“<4・
19+3a,r/<8
【解析】
（1）当"=2时，/（x）=x2+2x+l,对称轴：
乳=_1，
•••f（x）在上单调递减，任上单调递增.
•e-/U）mIn=/（-I）=0,/（xU=/（4）=25,故函数的值域为[0,25].
（2）Vf（x）=x2+ax+3-a的对称轴：
x=~
2
①若-^<-2时，即心4,/（X）在[-2,4]±单调增，・・./（x）mln=/（—2）=7-3“；
2若-彳之4时，即«<-8,f（x）在[-2,4]上单调减，・・..f（x）mln=y⑷=19+3“；
■••■
3若-2<-上<7时，即-8222
••-仏治=兀送）=-牛-“+3;
7—3“，>4
•••综上所述：
g（"）=
——“+3,—8v“v4.
4
19+3",
20・盯约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为儿首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为y=3.94〃劣•设第〃次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为儿，可由函数模型儿=儿-（儿-儿）X5皿纶eR,«eN*）给出，英中“是指改良工艺的次数.
（1）求方的值：
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2・08〃农，试问至少进
行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：
取lg2cO・3）
【答案】
（1）-1.5.
（2）3.
【解析】
（1）由题意得儿=4,”=3.94,
所以当"=1时，y\=y0-（y0~＞'i）x5ls+h，
即3.94=4-（4-3.94）x5l5+\解得〃=-1.5.
（2）由
（1）得排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为yJI=4-0.06x5,5n-,5;
所以片=4一0.06x＜2.08,
整理得，5,5n-L5^—,即5宀皿232,
'0.06
两边同时取常用对数，得1・％-1・52聲二豎芈;，
lg5lg5l-lg2
将lg2=0.3代入，得2x212+1=卫+05.3,
6l-lg27
又因为nwN*,所以"$2.43,所以“=3.
综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数疑达标.
4
21.若函数/（%）=-一-2.
2+1
（1）判断函数f（x）的单调性并且用泄义法证明：
（2）若关于尤的不等式y（/（x））+y（/-i）＜o有解，求实数/的取值范围.
【答案】
（1）减函数：
（2）（-1,3）.
【解析】
（1）判断：
减函数，
证明：
任取為，心，假设齐＜%2，
444（2勺-2疋）
/.fM-f（x.）=2+2=~~————，
八一丿K2七+i2"+1（2耳+1）（2。
+1）
VXj＜x2,（2勺+1）（2小+1）＞0,4（2勺一2心）＜0,.・・/＞（勺）一/（齐）＜0，
・•・函数fM在立义域上单调递减.
2?
-7x2-J<4
（2）函数的左义域为R,V/（-x）=———2=--~-=~——一2=-/（a）,
八2-v+12'+1（2"+1丿八
A/（x）是奇函数，
•・•/（/（x））+f（t-l）<0,A/（/（a-））
又•・•f（x）在定义域上单调递减，・•・于（工）>l-r,
所以，存在/>1-/（%）,等价于z>（l-/（x））nun，
又V/（x）e（-2,2）,l-/（A-）e（-l,3）
:
.t>—1.
4*4-h
22•已知函数f（x）=±-lL为奇函数.
（1）求实数方的值；
⑵若对任意的xe[0j],有/（2x2-fcx-^）+-<0恒成立，求实数R的取值范围；
⑶设^W=logm[4x+4-A-^（x）]（加>0,且问是否存在实数加，使函数g（x）在[ljog23]±
的最大值为0?
若存在，求岀加的值，若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）"=一1：
（2）扌，+8）：
（3）不存在加满足条件，理由见解析.
【解析】
4”+b
（1）•••函数=—的立义域为R,且为奇函数，
A/（0）=l+/7=0t解得方=一1・
12
A/（X）在R上单调递增，且=
又函数/（小在R上单调递增，贝IJ2恋-《<-1在xe[0・1]上恒成立,
.,>2（.,+1）+__4在呵（U］上恒成立,
设g（x）=2（x+l）+占-4,则g（x）nm=g（l）='|■3、
•••实数R的取值范囤为-,+x・
（3）不存在，理由如下，设心2”-2「
—〃”+2）,
—”+2>0在圧
［諾］上恒成立'
则me（04）U
对于二次函数d（t）=r-mt+2,开口向上，对称轴为/=彳
•••对称轴一直位于
的左侧,则二次函数d（t）=r-mt+2在
上单调递增,
则〃⑴nun=〃；|卜-訥+斗
882
=——〃？
+—
29
假设存在满足条件的实数川，则当"疋（0.1）时，由复合函数的单调性判断方法,
可知曲）=log,”（f2-mt+2）为减函数,
•••〃叽"，则〃（％=『-"”+2）斷=1，•••〃（!
卜-|"卄¥=1，
•°・川=£$（0,1）（舍），
（17、7317、
同理可知，当^ie\L—时，加=丁严t—（舍），
I6丿24I6丿
综上所述，不存在实数川满足条件成立.
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