八年级数学竞赛培训分解方法的延拓.docx
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八年级数学竞赛培训分解方法的延拓
新课标八年级数学竞赛培训第02讲:
分解方法的延拓2
一、填空题(共9小题,每小题4分,满分36分)
1.(4分)4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3= _________ .
2.(4分)已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式,则a= _________ .
3.(4分)一个二次三项式的完全平方式是x4﹣6x3+7x2+ax+b,那么这个二次三项式是 _________ .
4.(4分)已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0,则(x﹣y﹣z)2002= _________ .
5.(4分)已知n为正整数,且47+4n+41998是一个完全平方数,则n的一个值是 _________ .
6.(4分)
(1)完成下列配方问题:
x2+2px+1=[x2+2px+( _________ )]+( _________ )=(x+ _________ )2+( _________ )
(2)分解因式:
a2﹣b2+4a+2b+3的结果是 _________ .
7.(4分)若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1,则k= _________ .
8.(4分)若x2+2xy+y2﹣a(x+y)+25是完全平方式,则a= _________ .
9.(4分)已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为(x+2y+m)(2x﹣y+n)的形式,那么
的值是 _________ .
二、选择题(共7小题,每小题4分,满分28分)
10.(4分)已知a2+b2+4a﹣2b+5=0,则
的值为( )
A.
3
B.
C.
﹣3
D.
11.(4分)如果x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式,则b的值为( )
A.
﹣2
B.
﹣1
C.
0
D.
2
12.(4分)a4+4分解因式的结果是( )
A.
(a2+2a﹣2)(a2﹣2a+2)
B.
(a2+2a﹣2)(a2﹣2a﹣2)
C.
(a2+2a+2)(a2﹣2a﹣2)
D.
(a2+2a+2)(a2﹣2a+2)
13.(4分)如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b=( )
A.
7
B.
8
C.
15
D.
2l
14.(4分)设m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0,则(m,n)=( )
A.
(2,2)或(﹣2,﹣2)
B.
(2,2)或(2,﹣2)
C.
(2,﹣2)或(﹣2,2)
D.
(﹣2,﹣2)或(﹣2,2)
15.(4分)将x5+x4+1因式分解得( )
A.
(x2+x+1)(x3+x+1)
B.
(x2﹣x+1)(x3+x+1)
C.
(x2﹣x+1)(x3﹣x+1)
D.
(x2+x+1)(x3﹣x+1)
16.(4分)若a、b、c、d都是正数,则在以下命题中,错误的是( )
A.
若a2+b2+c2=ab+bc+ca,则a=b=c
B.
若a2+b2+c2=3abc,则a=b=c
C.
若a4+b4+c4+d4=2(a2b2+c2d2),则a=b=c=d
D.
若a4+b4+c4+d4=4abcd,则a=b=c=d
三、解答题(共9小题,满分86分)
17.(10分)把下列各式分解因式:
(1)a4+64b4;
(2)x4+x2y2+y4;
(3)x2+(1+x)2+(x+x2)2;
(4)(c﹣a)2﹣4(b﹣c)(a﹣b);
(5)x3﹣9x+8;
(6)x3+2x2﹣5x﹣6
18.(10分)把下列各式分解因式:
(1)x4﹣7x2+1;
(2)x4+x2+2ax+1﹣a2
(3)(1+y)2﹣2x2(1﹣y2)+x4(1﹣y)2
(4)x4+2x3+3x2+2x+1.
19.(10分)把下列各式分解因式:
(1)4x3﹣31x+15;
(2)2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4;
(3)x5+x+1;
(4)x3+5x2+3x﹣9;
(5)2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2.
20.(8分)已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式,求a+b的值.
21.(8分)k为何值时,多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2能分解成两个一次因式的积?
22.(10分)如果多项式x2﹣(a+5)x+5a﹣1能分解成两个一次因式(x+b)(x+c)的乘积,b、c为整数,则a的值是多少?
23.(10分)已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay2﹣5x﹣45y﹣24可分解为两个一次因式的乘积,求a的值.
24.(10分)证明恒等式:
a4+b4+(a+b)4=2(a2+ab+b2)2
25.(10分)一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方,则称正整数a为完全平方数.如64=82,64就是一个完全平方数;若a=29922+29922×29932+29932.求证:
a是一个完全平方数.
新课标八年级数学竞赛培训第02讲:
分解方法的延拓2
参考答案与试题解析
一、填空题(共9小题,每小题4分,满分36分)
1.(4分)4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3= (2x+y﹣3)(2x﹣y+1) .
分析:
首先把﹣3变为1﹣4,多项式变为(4x2﹣4x+1)﹣(y2﹣4y+4),然后利用公式法分解因式,接着利用提取公因式法分解因式即可求解.
解答:
解:
原式=(4x2﹣4x+1)﹣(y2﹣4y+4)
=(2x﹣1)2﹣(y﹣2)2=(2x﹣1+y﹣2)(2x﹣1﹣y+2)
=(2x+y﹣3)(2x﹣y+1).
故答案为:
(2x+y﹣3)(2x﹣y+1).
点评:
此题主要考查了利用分组分解法分解因式,其中直接分组分解困难,由式子的特点易想到完全平方式,关键是将常数项拆成几个数的代数和,以便凑配.
2.(4分)已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式,则a= 16 .
分析:
设2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1=(x2+x﹣6)•A,当多项式等于0时,得到两个x的根,代入式子2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1,可求出a的值.
解答:
解:
令2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1=(x2+x﹣6)•A=(x+3)(x﹣2)•A.
取x=﹣3,x=2分别代入上式,
当x=﹣3时,2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1,
=2×81﹣27﹣9a﹣3b+a+b﹣1,
=134﹣8a﹣2b,
=0.
当x=2时,2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1,
=2×16+8﹣4a+2b+a+b﹣1,
=39﹣3a+3b,
=0.
根据
,可得a=16,b=3.
点评:
本题考查了因式分解的应用和等式的应用,根据x的根,从而得出a,b的值.
3.(4分)一个二次三项式的完全平方式是x4﹣6x3+7x2+ax+b,那么这个二次三项式是 x2﹣3x﹣1 .
分析:
先令x4﹣6x3+7x2+ax+b=(x2+mx+n)2,把(x2+mx+n)2展开后根据次数相等的项系数相等解出m,n的值即可.
解答:
解:
令x4﹣6x3+7x2+ax+b=(x2+mx+n)2
=x4+2mx3+(m2+2n)x2+2mnx+n2,
∴2m=﹣6,解得m=﹣3,m2+2n=7,解得:
n=﹣1,
故所求二次三项式是x2﹣3x﹣1,
故答案为:
x2﹣3x﹣1.
点评:
本题考查了完全平方公式,难度适中,关键是根据次数相等的项系数相等解出m,n的值.
4.(4分)已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0,则(x﹣y﹣z)2002= 0 .
考点:
因式分解的应用.2331987
分析:
可以把14拆成1+4+9,然后运用完全平方公式,把左边写成非负数的平方和,再根据“几个非负数的和为0,则这几个非负数同时为0”进行计算.
解答:
解:
∵x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0,
∴x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9=0,
(x﹣1)2+(y+2)2+(z﹣3)2=0,
∴x﹣1=0,y+2=0,z﹣3=0,
解得x=1,y=﹣2,z=3,
∴(x﹣y﹣z)2002=0.
点评:
此题要能够运用完全平方公式把等式的左边变形为几个非负数的和,再根据非负数的性质进行求解.
5.(4分)已知n为正整数,且47+4n+41998是一个完全平方数,则n的一个值是 1003或3988 .
考点:
完全平方数.2331987
分析:
本题分两种情况讨论n的取值.把47+4n+41998化简为完全平方式的形式,根据化简后的式子得出n.
解答:
解:
(1)47+4n+41998
=(27)2+2•27•22n﹣8+(21998)2
∵47+4n+41998是一个完全平方数.
∴22n﹣8=21998
即2n﹣8=1998.
∴当n=1003时,47+4n+41998是完全平方数;
(2)47+4n+41998=47+41998+4n,
=(27)2+2•27•23988+(2n)2,
∵47+4n+41998是一个完全平方数.
∴23988=2n,
∴n=3988.
综上得n=1003或n=3988.
点评:
本题考查了完全平方数的概念,如果一个数是一个完全平方数,那么一定可以表示为一个数的平方.
6.(4分)
(1)完成下列配方问题:
x2+2px+1=[x2+2px+( p2 )]+( 1﹣p2 )=(x+ p )2+( 1﹣p2 )
(2)分解因式:
a2﹣b2+4a+2b+3的结果是 (a+b+1)(a﹣b+3) .
考点:
配方法的应用.2331987
分析:
(1)由于二次项系数为1,那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半,最后的结果应和原来的代数式相等;
(2)题中有4a,2b,应为完全平方式的第二项,整理为两个完全平方式的差的形式,进而用平方差公式展开即可.
解答:
解:
(1)x2+2px+1=[x2+2px+(p2)]+(1﹣p2)=(x+p)2+(1﹣p2);
故答案为p2;1﹣p2;p;1﹣p2;
(2)a2﹣b2+4a+2b+3,
=(a2+4a+4)﹣(b2﹣2b+1),=(a+2)2﹣(b﹣1)2,=(a+2+b﹣1)(a+2﹣b+1),
=(a+b+1)(a﹣b+3).
故答案为:
(a+b+1)(a﹣b+3).
点评:
本题考查了配方法的应用,把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点;用到的知识点为a2±2ab+b2=(a±b)2.
7.(4分)若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1,则k= ﹣5 .
考点:
因式分解-提公因式法.2331987
专题:
方程思想;转化思想.
分析:
本题可令x3+3x2﹣3x+k=(x+1)A的形式,当x=﹣1时,可以转化为关于k的一元一次方程,解方程即可求出k的值.
解答:
解:
令x3+3x2﹣3x+k=(x+1)A,
当x=﹣1时,﹣1+3+3+k=0,
解得k=﹣5.故答案为:
﹣5.
点评:
本题考查了因式分解﹣提公因式法,令x+1=0,则x=﹣1,代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键.
8.(4分)若x2+2xy+y2﹣a(x+y)+25是完全平方式,则a= ±10 .
分析:
先把前三项根据完全平方公式的逆用整理,再根据两平方项确定出这两个数,利用乘积二倍项列式求解即可.
解答:
解:
原式=(x+y)2﹣a(x+y)+52,
∵原式为完全平方式,
∴a(x+y)=±2×5•(x+y),解得a=±10.故答案为:
±10.
点评:
本题考查了完全平方式,需要二次运用完全平方式,熟记公式结构是求解的关键,把(x+y)看成一个整体参与运算也比较重要.
9.已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为(x+2y+m)(2x﹣y+n)的形式,那么
的值是 ﹣
.
分析:
由题意多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为(x+2y+m)(2x﹣y+n)的形式,将整式(x+2y+m)(2x﹣y+n)相乘,然后根据系数相等求出m和n,从而求解.
解答:
解:
∵多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为(x+2y+m)(2x﹣y+n)的形式,
∴(x+2y+m)(2x﹣y+n)=2x2+3xy﹣2y2+(2m+n)x+(2n﹣m)y=2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6=2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6,
∴2m+n=﹣1,2n﹣m=8,mn=﹣6,
解得m=﹣2,n=3,
∴
=
=﹣
,故答案为:
﹣
.
点评:
此题主要考查因式分解的意义,紧扣因式分解的定义,是一道基础题.
二、选择题(共7小题,每小题4分,满分28分)
10.(4分)已知a2+b2+4a﹣2b+5=0,则
的值为( )
A.
3
B.
C.
﹣3
D.
考点:
非负数的性质:
偶次方.2331987
专题:
配方法.
分析:
先把原式化为完全平方式的形式,再根据非负数的性质,可求出a、b的值,然后代入代数式计算即可.
解答:
解:
原式可化为a2+4a+4+b2﹣2b+1=0,即(a+2)2+(b﹣1)2=0,
解得,a=﹣2,b=1.
故
=
=
.故选B.
点评:
本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:
(1)绝对值;
(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.
11.(4分)如果x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式,则b的值为( )
A.
﹣2
B.
﹣1
C.
0
D.
2
分析:
由题意x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式,可得ax3+bx2+1=(x2﹣x﹣1)(x+c)将右边展开,然后根据系数相等,求出b值.
解答:
解:
∵x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式,
∴ax3+bx2+1=(x2﹣x﹣1)(x+c)=x3+(c﹣1)x2﹣(c+1)x﹣c
∴a=1,c﹣1=b,c+1=0,﹣c=1,
∴b=﹣2,故选A.
点评:
此题主要考查因式分解的意义,要注意因式分解的一般步骤:
①如果一个多项式各项有公因式,一般应先提取公因式;②如果一个多项式各项没有公因式,一般应思考运用公式、十字相乘法;如果多项式有两项应思考用平方差公式,如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法;如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法;③分解因式时必须要分解到不能再分解为止.
12.(4分)a4+4分解因式的结果是( )
A.
(a2+2a﹣2)(a2﹣2a+2)
B.
(a2+2a﹣2)(a2﹣2a﹣2)
C.
(a2+2a+2)(a2﹣2a﹣2)
D.
(a2+2a+2)(a2﹣2a+2)
考点:
因式分解-十字相乘法等.2331987
分析:
先将a4+4变为a4+4+4a2﹣4a2,再将a4+4+4a2看为一个整体,用完全平方公式分解,原式=(a2+2)2﹣4a2,再利用平方差公式分解.
解答:
解:
a4+4=a4+4+4a2﹣4a2=(a2+2)2﹣4a2=(a2﹣2a+2)(a2+2a+2)故选D
点评:
为能够运用平方差公式、完全平方公式,因而可以通过减去一项或再加上相同的项来解决.
13.(4分)如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b=( )
A.
7
B.
8
C.
15
D.
2l
分析:
由题意原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式,故可考虑用待定系数法解.
解答:
解:
设x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c)=x3+(3+c)x2+(2+3c)x+2c,
∴c=4,从而a=7,b=14,
∴a+b=21,故选D.
点评:
此题主要考查因式分解的意义,紧扣因式分解的定义;
要注意因式分解的一般步骤:
①如果一个多项式各项有公因式,一般应先提取公因式;
②如果一个多项式各项没有公因式,一般应思考运用公式、十字相乘法;如果多项式有两项应思考用平方
差公式,如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法;如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法;
14.(4分)设m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0,则(m,n)=( )
A.
(2,2)或(﹣2,﹣2)
B.
(2,2)或(2,﹣2)
C.
(2,﹣2)或(﹣2,2)
D.
(﹣2,﹣2)或(﹣2,2)
考点:
完全平方公式;非负数的性质:
偶次方.2331987
分析:
根据m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0,把其变形为完全平方的形式,根据两个非负数的和为0,则这两个非负数都为0,即可得出答案.
解答:
解:
由m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0,
∴(mn+4)2+(m+n)2=0,
∴mn+4=0,且m+n=0,
解得:
m=2,n=﹣2或m=﹣2,n=2.故选C.
点评:
本题考查了完全平方公式及非负数的性质,难度适中,关键是掌握两个非负数的和为0,则这两个非负数都为0.
15.(4分)将x5+x4+1因式分解得( )
A.
(x2+x+1)(x3+x+1)
B.
(x2﹣x+1)(x3+x+1)
C.
(x2﹣x+1)(x3﹣x+1)
D.
(x2+x+1)(x3﹣x+1)
考点:
因式分解-十字相乘法等.2331987
分析:
先添加一项x3,然后提取公因式得到x3(x2+x+1)﹣(x3﹣1),然后再进行因式分解,分解后发现有公因式,提取,得到最后的结果.
解答:
解:
原式=x3(x2+x+1)﹣(x3﹣1)
=x3(x2+x+1)﹣(x﹣1)(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x3﹣x+1)故选D.
点评:
本题考查了因式分解的十字相乘法,有时候我们应学会添加合适的项,使运算更方便.
16.(4分)若a、b、c、d都是正数,则在以下命题中,错误的是( )
A.
若a2+b2+c2=ab+bc+ca,则a=b=c
B.
若a2+b2+c2=3abc,则a=b=c
C.
若a4+b4+c4+d4=2(a2b2+c2d2),则a=b=c=d
D.
若a4+b4+c4+d4=4abcd,则a=b=c=d
分析:
由a2+b2+c2=ab+bc+ac,得(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2=0,
由a2+b2+c2=0,得(a+b+c)(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac)=0,
由a2+b2+c2+d2=4abcd,得(a2﹣b2)2+(c2﹣d2)2+2(ab﹣cd)2=0.
解答:
解:
由a2+b2+c2=ab+bc+ac,得(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2=0,则a=b=c,故A正确;
由a2+b2+c2=3abc,得a=b=c,故B正确;
由a2+b2+c2+d2=4abcd,得(a2﹣b2)2+(c2﹣d2)2+2(ab﹣cd)2=0,则a=b=c=d,故D正确;
故选C.
点评:
本题考查了命题与证明,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
三、解答题(共9小题,满分86分)
17.(10分)把下列各式分解因式:
(1)a4+64b4;
(2)x4+x2y2+y4;
(3)x2+(1+x)2+(x+x2)2;(4)(c﹣a)2﹣4(b﹣c)(a﹣b);
(5)x3﹣9x+8;(6)x3+2x2﹣5x﹣6
考点:
提公因式法与公式法的综合运用;因式分解-分组分解法;因式分解-十字相乘法等.2331987
分析:
(1)先对所给多项式进行变形,a4+64b4=a4+64b4+16a2b2﹣16a2b2,前三项是完全平方式,然后先套用公式a2±2ab+b2=(a±b)2进行变形,再套用公式a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),进一步分解因式.
(2)先对所给多项式进行变形,x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4﹣x2y2,然后先套用公式a2±2ab+b2=(a±b)2进行变形,再套用公式a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),进一步分解因式.
(3)先对所给多项式进行变形,x2+(1+x)2+(x+x2)2=1+2(x+x2)+(x+x2)2,将x+x2看作一个整体,套用公式a2±2ab+b2=(a±b)2进行进一步因式分解即可.
(4)设b﹣c=x,a﹣b=y,则c﹣a=﹣(x+y),则原式变为:
(c﹣a)2﹣4(b﹣c)(a﹣b)=[﹣(x+y)]2﹣4xy,再进一步变形分解因式即可.
(5)应用拆项法,将原式变形为:
x3﹣9x+8=x3﹣x﹣8x+8,然后分组分解.
(6)先将原式变形,x3+2x2﹣5x﹣6=x3+x2+x2+x﹣6x﹣6,然后分组分解.
解答:
解:
(1)a4+64b4
=a4+64b4+16a2b2﹣16a2b2=(a2+8b2)2﹣(4ab)2=(a2+8b2﹣4ab)(a2+8b2+4ab);
(2)x4+x2y2+y4;=x4+2x2y2+y4﹣x2y2=(x2+y2)2﹣(xy)2
=(x2+y2﹣xy)(x2+y2+xy);
(3)x2+(1+x)2+(x+x2)2=1+2(x+x2)+(x+x2)2=(1+x+x2)2;
(4)设b﹣c=x,a﹣b=y,则c﹣a=﹣(x+y),
则(c﹣a)2﹣4(b﹣c)(a﹣b)
=[﹣(x+y)]2﹣4xy,=(x﹣y)2,
所以(c﹣a)2﹣4(b﹣c)(a﹣b)=(b﹣c﹣a+b)2=(2b﹣a﹣c)2;
(5)x3﹣9x+8;=x3﹣x﹣8x+8=(x3﹣x)﹣(8x﹣8)
=x(x2﹣1)﹣8(x﹣1)=x(x+1)(x﹣1)﹣8(x﹣1)
=(x﹣1)(x2+x﹣8);
(6)x3+2x2﹣5x﹣6=x3+x2+x2+x﹣6x﹣6,
=(x3+x2)+(x2+x)﹣(6x+6)
=x2(x+1)+x(x+1)﹣6(x+1)=(x+1)(x2﹣x﹣6)
=(x+1)(x+3)(x﹣2).
点评:
本题综合考查了因式分解的方法,解题的关键是适当添项、拆项,然后运用公式进行进一步分解因式,注意分解要彻底.
18.(10分)把下列各式分解因式:
(1)x4﹣7x2+1;
(2)x