新课标全国2卷理数.docx
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新课标全国2卷理数
2018年全国一致高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)一、选择题:
此题共12小题,每题5分,共60分。
1.(5分)(2018?
新Ⅱ)=()A.iB.C.D.
2.(5分)(2018?
新Ⅱ)已知会合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),A中元素的个数()A.9B.8C.5D.4
3.(5分)(2018?
新Ⅱ)函数f(x)=的象大概()
A.
B.
C.
D.
4.(5分)(2018?
新Ⅱ)已知向量
,足|
|=1,
=1,
?
(2
)=(
)
A.4
B.3
C.2
D.0
5.(5分)(2018?
新Ⅱ)双曲
=1(a>0,b>0)的离心率
,其近方程(
)
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
6.(5分)(2018?
新Ⅱ)在△ABC中,cos
=
,BC=1,AC=5,AB=(
)
A.4
B.
C.
D.2
7.(5分)(2018?
新Ⅱ)算
S=1+
+⋯+
,了如的程序框,在空白框中
填入(
)
A.i=i+1
B.i=i+2
C.i=i+3
D.i=i+4
8.(5分)(2018?
新Ⅱ)我国数学家境在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界先的成就.哥德巴赫猜
想是“每个大于
2的偶数能够表示两个素数的和”,如
30=7+23.在不超30的素数中,随机取两个不一样
的数,其和等于
30的概率是(
)
A.
B.
C.
D.
9.(5分)(2018?
新Ⅱ)在方体
ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=
,异面直
AD1与DB1所成角的余
弦(
)
A.
B.
C.
D.
10.(5分)(2018?
新Ⅱ)若f(x)=cosxsinx在[a,a]是减函数,a的最大是()
A.B.
C.
D.π
11.(5分)(2018?
新Ⅱ)已知
f(x)是定域(∞,
+∞)的奇函数,足
f(1x)=f(1+x),若
f
(1)=2,f
(1)+f
(2)+f(3)+⋯+f(50)=(
)
A.50B.0
C.2
D.50
12.(5分)(2018?
新Ⅱ)已知
F1,F2是C:
=1(a>b>0)的左、右焦点,
A是C的左点,
点P在A且斜率
的直上,△PF1F2等腰三角形,∠
F1F2P=120°,C的离心率(
)
A.B.C.D.
二、填空:
本共
4小,每小
5分,共20分。
13.(5分)(2018?
新Ⅱ)曲
y=2ln(x+1)在点(0,0)的切方程
.
14.(5分)(2018?
新Ⅱ)若
x,y足束条件
,z=x+y的最大
.
15.(5分)(2018?
新Ⅱ)已知sinα+cosβ=l,cosα+sinβ=0,sin(α+β)=.
16.(5分)(2018?
新Ⅱ)已知的点
S,母SA,SB所成角的余弦
,SA与底面所成角
45°,若△SAB的面5
,的面
.
三、解答:
共70分。
解答写出文字明、明程或演算步。
第
17~21必考,每个考生都必
作答。
第22、23考,考生根要求作答。
(一
)必考:
共
60分。
17.(12分)(2018?
新Ⅱ)Sn等差数列{an}的前n和,已知a1=7,S3=15.
(1)求{an}的通公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小.
18.(12分)(2018?
新Ⅱ)如是某地域2000年至2016年境基施投
y(位:
元)的折.
了地域2018年的境基施投,成立了
y与量
t的两个性回模型.依据
2000年至
2016年的数据(量t的挨次1,2,⋯,17)成立模型①:
=
;依据2010年至2016年
的数据(量t的挨次
1,2,⋯,7)成立模型②:
.
(1)分利用两个模型,求地域2018年的境基施投的;2)你用哪个模型获得的更靠谱?
并明原因.19.(12分)(2018?
新Ⅱ)抛物C:
y2=4x的焦点F,F且斜率k(k>0)的直l与C交于A,B两点,|AB|=8.1)求l的方程;2)求点A,B且与C的准相切的的方程.20.(12分)(2018?
新Ⅱ)如,在三棱PABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,OAC的中点.1)明:
PO⊥平面ABC;2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC30°,求PC与平面PAM所成角的正弦.
21.(12分)(2018?
新Ⅱ)已知函数
f(x)=exax2.
(1)若
a=1,明:
当
x≥0,f(x)≥1;
(2)若
f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求
a.
(二)考:
共
10分。
考生在第
22、23
中任一作答。
假如多做,按所做的第一分。
[修
4-4:
坐标系与参数方程]
22.(10分)(2018?
新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.[选修4-5:
不等式选讲]23.(2018?
新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.2018年全国一致高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参照答案与试题分析一、选择题:
此题共12小题,每题5分,共60分。
在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的。
1.D;2.A;3.B;4.B;5.A;6.A;7.B;8.C;9.C;10.A;11.C;12.D;二、填空题:
此题共4小题,每题5分,共20分。
13.y=2x;14.9;15.;16.40π;
一、选择题:
此题共
12小题,每题
5分,共
60分。
在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求
的。
1.(5分)(2018?
新课标Ⅱ)
=(
)
A.
iB.
C.
D.
【剖析】利用复数的除法的运算法例化简求解即可.
【解答】解:
=
=
+
.
应选:
D.
2.(5分)(2018?
新课标Ⅱ)已知会合
A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),则A中元素的个数为(
)
A.9B.8
C.5D.4
【剖析】分别令x=﹣1,0,1,进行求解即可.
【解答】解:
当x=﹣1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,
当x=0时,y2≤3,得y=﹣1,0,1,当x=1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,即会合A中元素有9个,应选:
A.
3.(5分)(2018?
新课标Ⅱ)函数f(x)=的图象大概为()
A.B.C.D.【剖析】判断函数的奇偶性,利用函数的定点的符号的特色分别进行判断即可.
【解答】解:
函数f(﹣x)==﹣=﹣f(x),则函数f(x)为奇函数,图象对于原点对称,清除A,当x=1时,f
(1)=e﹣>0,清除D.
当x→+∞时,f(x)→+∞,清除C,应选:
B.
4.(5分)(2018?
新课标Ⅱ)已知向量
,知足|
|=1,
=﹣1,则
?
(2
)=(
)
A.4B.3
C.2D.0
【剖析】依据向量的数目积公式计算即可.
【解答】解:
向量
,知足||=1,
=﹣1,则
?
(2
)=2﹣
=2+1=3,
应选:
B.
5.(5分)(2018?
新课标Ⅱ)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
【剖析】依据双曲线离心率的定义求出
a,c的关系,联合双曲线
a,b,c的关系进行求解即可.
【解答】解:
∵双曲线的离心率为
e=
=
,
则=
=
=
=
=
,
即双曲线的渐近线方程为
y=±
x=±
x,
应选:
A.
6.(5分)(2018?
新课标Ⅱ)在△ABC中,cos=
,BC=1,AC=5,则AB=(
)
A.4
B.
C.
D.2
【剖析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值,利用余弦定理转变求解即可.
【解答】解:
在△ABC中,cos
=
,cosC=2×
=﹣
,
BC=1,AC=5,则AB=
=
==4
.
应选:
A.
7.(5分)(2018?
新Ⅱ)算S=1
++⋯+
,了如的程序框,在空白框中
填入(
)
A.i=i+1B.i=i+2
C.i=i+3
D.i=i+4
【剖析】模程序框的运转程知程序运转后出的
S=NT,
由此知空白填入的条件.
【解答】解:
模程序框的运转程知,
程序运转后出的是
S=NT=(1
)+(
)+⋯+(
);
累加步是2,在空白填入
i=i+2
.
故:
B.
8.(5分)(2018?
新Ⅱ)我国数学家境在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界先的成就.哥德巴赫猜
想是“每个大于
2的偶数能够表示两个素数的和”,如
30=7+23.在不超30的素数中,随机取两个不一样
的数,其和等于
30的概率是(
)
A.
B.
C.
D.
【剖析】利用列法先求出不超
30的全部素数,利用古典概型的概率公式行算即可.
【解答】解:
在不超
30的素数中有,
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,
从中
2个不一样的数有
=45种,
和等于
30的有(7,23),(11,19),(13,17),共
3种,
的概率P==,
故:
C.9.(5分)(2018?
新Ⅱ)在方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,异面直AD1与DB1所成角的余弦()
A.B.C.D.
【剖析】以D原点,DAx,DCy,DD1z,成立空直角坐系,利用向量法能求出异面直AD1与DB1所成角的余弦.【解答】解:
以D原点,DAx,DCy,DD1z,成立空直角坐系,∵在方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,∴A(1,0,0),D1(0,0,),D(0,0,0),B1(1,1,),=(1,0,),=(1,1,),
异面直AD1与DB1所成角θ,cosθ===,
∴异面直AD1与DB1所成角的余弦.
故:
C.
10.(5分)(2018?
新Ⅱ)若f(x)=cosxsinx在[a,a]是减函数,a的最大是()A.B.C.D.π【剖析】利用两角和差的正弦公式化f(x),由,k∈Z,得
,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区[,],合已知条件即可求
出a的最大.【解答】解:
f(x)=cosxsinx=(sinxcosx)=,由,k∈Z,得,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区[,],
由f(x)在[a,a]是减函数,得,∴.a的最大是.
故:
A.11.(5分)(2018?
新Ⅱ)已知f(x)是定域(∞,+∞)的奇函数,足f(1x)=f(1+x),若f
(1)=2,f
(1)+f
(2)+f(3)+⋯+f(50)=()A.50B.0C.2D.50【剖析】依据函数奇偶性和称性的关系求出函数的周期是4,合函数的周期性和奇偶性行化求解即可.【解答】解:
∵f(x)是奇函数,且f(1x)=f(1+x),f(1x)=f(1+x)=f(x1),f(0)=0,f(x+2)=f(x),f(x+4)=f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期4的周期函数,∵f
(1)=2,∴f
(2)=f(0)=0,f(3)=f(12)=f
(1)=f
(1)=2,f(4)=f(0)=0,f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=2+02+0=0,f
(1)+f
(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f
(1)+f
(2)=2+0=2,故:
C.
12.(5分)(2018?
新Ⅱ)已知F1,F2是C:
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左点,点P在A且斜率的直上,△PF1F2等腰三角形,∠F1F2P=120°,C的离心率()
A.B.C.D.
【剖析】求得直线AP的方程:
依据题意求得P点坐标,代入直线方程,即可求得椭圆的离心率.【解答】解:
由题意可知:
A(﹣a,0),F1(﹣c,0),F2(c,0),
直线AP的方程为:
y=
(x+a),
由∠FFP=120°,|PF
2
|=|F
F|=2c,则P(2c,
c),
1
2
1
2
代入直线AP:
c=(2c+a),整理得:
a=4c,
∴题意的离心率
e=
=.
应选:
D.
二、填空题:
此题共4小题,每题13.(5分)(2018?
新课标Ⅱ)曲线
5分,共20分。
y=2ln(x+1)在点(
0,0)处的切线方程为
y=2x
.
【剖析】欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在义即可求出切线的斜率.进而问题解决.【解答】解:
∵y=2ln(x+1),
x=0处的导函数值,再联合导数的几何意
∴y′=
,
当x=0时,y′=2,∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.故答案为:
y=2x.14.(5分)(2018?
新课标Ⅱ)若x,y知足拘束条件,则z=x+y的最大值为9.【剖析】由拘束条件作出可行域,数形联合获得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:
由x,y知足拘束条件作出可行域如图,化目标函数z=x+y为y=﹣x+z,由图可知,当直线y=﹣x+z过A时,z获得最大值,
由
,解得
A(5,4),
目标函数有最大值,为故答案为:
9.
z=9.
15.(5分)(2018?
新课标Ⅱ)已知
sin
α+cosβ=l,cosα+sin
β=0,则
sin
(α+β)=
.
【剖析】把已知等式两边平方化简可得2sin(α+β)=﹣1,可得结果.
2+2(sin
αcosβ+cosαsin
β)=1,再利用两角和差的正弦公式化简为
【解答】解:
sinα+cosβ=l,两边平方可得:
sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1,①,cosα+sinβ=0,两边平方可得:
cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0,②,由①+②得:
2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,即2+2sin(α+β)=1,∴2sin(α+β)=﹣1.
sin(α+β)=.故答案:
.
16.(5分)(2018?
新Ⅱ)已知的点
S,母SA,SB所成角的余弦
,SA与底面所成角
45°,若△SAB的面5
,的面
40
π
.
【剖析】利用已知条件求出的母,利用直与平面所成角求解底面半径,而后求解的面.
【解答】解:
的点
S,母SA,SB所成角的余弦
,可得sin∠AMB=
=.
△SAB的面
5
,
可得
sin∠AMB=5
,即
×
=5
,即SA=4
.
SA与底面所成角
45°,可得的底面半径:
=2.
的面:
π=40
π.
故答案:
40
π.
三、解答:
共
70分。
解答写出文字明、明程或演算步。
第
17~21必考,每个考生都必
作答。
第
22、23考,考生根要求作答。
(一
)必考:
共
60分。
17.(12分)(2018?
新Ⅱ)
Sn等差数列{an}的前n和,已知a1=7,S3=15.
1)求{an}的通公式;2)求Sn,并求Sn的最小.【剖析】
(1)依据a1=7,S3=15,可得a1=7,3a1+3d=15,求出等差数列{an}的公差,而后求出an即可;
(2)由a1=7,d=2,an=2n9,得Sn===n28n=(n4)216,由此可求出Sn以
及Sn的最小.【解答】解:
(1)∵等差数列{an}中,a1=7,S3=15,a1=7,3a1+3d=15,解得a1=7,d=2,an=7+2(n1)=2n9;2)∵a1=7,d=2,an=2n9,
∴Sn=
=
=n28n=(n4)216,
∴当n=4,前n的和Sn获得最小16.
18.(12分)(2018?
新Ⅱ)如是某地域2000年至2016年境基施投
y(位:
元)的折.
了地域
2018年的境基施投,成立了
y与量
t的两个性回模型.依据
2000年至
2016年的数据(量
t的挨次1,2,⋯,17)成立模型①:
=;依据2010年至2016年
的数据(量
t的挨次1,2,⋯,7)成立模型②:
.
(1)分利用两个模型,求地域2018年的境基施投的;2)你用哪个模型获得的更靠谱?
并明原因.
【剖析】
(1)依据模型①算
t=19
的,依据模型②算
t=9
的即可;
(2)从体数据和
2000
年到
2009
年增幅度以及
2010年到
2016
年增的幅度比,
即可得出模型②的更靠谱些.
【解答】解:
(1)依据模型①:
=﹣,
计算t=19时,=﹣
×;
利用这个模型,求出该地域
2018
年的环境基础设备投资额的展望值是
亿元;
依据模型②:
,
计算t=9时,
×;.
利用这个模型,求该地域
2018
年的环境基础设备投资额的展望值是
亿元;
(2)模型②获得的展望值更靠谱;
因为从整体数据看,该地域从
2000年到2016年的环境基础设备投资额是逐年上涨的,
而从2000年到2009年间递加的幅度较小些,
从2010年到2016年间递加的幅度较大些,
因此,利用模型②的展望值更靠谱些.
2
19.(12分)(2018?
新课标Ⅱ)设抛物线C:
y=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线
l与
C交于
A,
B两点,|AB|=8
.
(1)求l的方程;2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
【剖析】
(1)方法一:
设直线AB的方程,代入抛物线方程,依据抛物线的焦点弦公式即可求得得直线l的方程;
k的值,即可求
方法二:
依据抛物线的焦点弦公式
|AB|=
,求得直线
AB的倾斜角,即可求得直线
l的斜率,求得直线
l
的方程;2)依据过A,B分别向准线l作垂线,依据抛物线的定义即可求得半径,依据中点坐标公式,即可求得圆心,求得圆的方程.【解答】解:
(1)方法一:
抛物线C:
y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不知足;设直线AB的方程为:
y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
,整理得:
k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,则
x1+x2=
,x1x2=1,
由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得:
k2=1,则k=1,∴直线l的方程y=x﹣1;方法二:
抛物线C:
y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式|AB|===8,解得:
sin2θ=,
∴θ=
,则直线的斜率
k=1,
∴直线l的方程y=x﹣1;2ABx=1
A1B1
AB
D
DDD1
l
D
则|DD1|=(|AA1|+|BB1|)
由抛物线的定义可知:
|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|以AB为直径的圆与x=﹣1相切,且该圆的圆心为由
(1)可知:
x1+x2=6,y1+y2=x1+x2﹣2=4,
,则r=|DD1|=4,AB的中点D,
则D(3,2),
过点
A,B且与
C的准线相切的圆的方程(
x﹣3)2+(y﹣2)2=16..
20.(12分)(2018?
新课标Ⅱ)如图,在三棱锥
P﹣ABC中,AB=BC=2
,PA=PB=PC=AC=4,O
为
AC的中点.
1)证明:
PO⊥平面ABC;2)若点M在棱BC上,且二面角M﹣PA﹣C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.【剖析】
(1)利用线面垂直的判断定理证明PO⊥AC,PO⊥OB即可;2)依据二面角的大小求出平面PAM的法向量,利用向量法即可获得结论.【解答】解:
(1)证明:
∵AB=BC=2,O是AC的中点,BO⊥AC,且BO=2,又PA=PC=PB=AC=2,∴PO⊥AC,PO=2,222
则PB=PO+BO,则PO⊥OB,∵OB∩AC=O,∴PO⊥平面ABC;
(2)成立以O坐标原点,OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
A(0,﹣2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),=(﹣2,2,0),设=λ=(﹣2λ,2λ,0),0<λ<1则=﹣=(﹣2λ,2λ,0)﹣(﹣2,﹣2,0)=(2﹣2λ,2λ+2,0),则平面PAC的法向量为=(1,0,0),设平面MPA的法向量为=(x,y,z),则=(0,﹣2,﹣2),则?
=﹣2y﹣2z=0,?
=(2﹣2λ)x+(2λ+2)y=0
令z=1,则y=﹣
,x=
,
即=(
,﹣
,1),
∵二面角M﹣PA﹣C为30°,
∴cos30°=|
=
,
即=,解得λ=或λ=3(舍),
则平面MPA的法向量=(2
,﹣
,1),
=(0,2,﹣2),
PC与平面