步步高高中数学 必修 5 数列打印版 学生.docx
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步步高高中数学必修5数列打印版学生
1.1数列的概念与简单表示方法
（一）
学习目标
1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
答案 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
梳理
（1）按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．
（2）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
知识点二 通项公式
思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？
你是如何猜的？
答案 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
思考2 数列的通项公式an＝f（n）与函数解析式y＝f（x）有什么异同？
答案 如图，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1,2，…，n}）为定义域的函数an＝f（n）当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
知识点三 数列的分类
思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
答案
（1）可以按项数分类；
（2）可以按项的大小变化分类．
梳理
（1）按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
（2）按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，－
，
，－
；
（2）
，2，
，8，
；
（3）9,99,999,9999；
（4）2,0,2,0.
（5）1,0,-1,0,1,0,-1,0
反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．
跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）－
，
，－
，
；
（2）
，
，
，
；
（3）7,77,777,7777.
类型二 数列的通项公式的应用
例2 已知数列{an}的通项公式an＝
，
n∈N*.
（1）写出它的第10项；
（2）判断
是不是该数列中的项．
反思与感悟 在通项公式an＝f（n）中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式为an＝
（n∈N*），那么
是这个数列的第______项．
答案 10
解析 ∵
＝
，
∴n（n＋2）＝10×12，∴n＝10.
跟踪训练3，观察数列1，3，5，7，9，.........2m+1
.........
2m+1是第几项？
1．下列叙述正确的是（ ）
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,1,0,1，…是常数列
D．数列{
}是递增数列
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为（ ）
A．an＝n，n∈N*B．an＝n＋1，n∈N*
C．an＝n＋2，n∈N*D．an＝2n，n∈N*
3．已知数列{an}的通项公式an＝
，n∈N*，则a1＝________；an＋1＝________.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
（1）确定性：
一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
（2）可重复性：
数列中的数可以重复．
（3）有序性：
一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3．14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
1.2数列的概念与简单表示方法
（二）
学习目标
1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．
知识点一 递推公式
思考1
（1）已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＝3an－1＋2（n>1，n∈N*），则a4＝________.
（2）已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1（n∈N*），则a4＝________.
答案
（1）53
（2）3
梳理 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．
思考2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？
答案 通项公式和递推公式都是表示数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项．
知识点二 数列的表示方法
思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
答案 ①通项公式法：
an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．
类型一 数列的函数特性
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．
解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点（如图所示）．
反思与感悟 数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n，且n∈N*，所以善于利用我们熟知的一些基本函数，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的．
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．
答案 55
解析 三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
类型二 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项
例2 设数列{an}满足
写出这个数列的前5项．
引申探究
数列{an}满足a1＝2，an＋1＝
，求a2016.
反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．
跟踪训练2 在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an（n≥1），写出此数列的前6项．
命题角度2 由递推公式求通项
例3
（1）对于任意数列{an}，等式：
a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝an（n≥2，n∈N*）都成立．试根据这一结论，完成问题：
已知数列{an}满足：
a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
（2）若数列{an}中各项均不为零，则有a1·
·
·…·
＝an（n≥2，n∈N*）成立．试根据这一结论，完成问题：
已知数列{an}满足：
a1＝1，
＝
（n≥2，n∈N*），求通项an.
反思与感悟 形如an＋1－an＝f（n）的递推公式，可以利用a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝an（n≥2，n∈N*）求通项公式；形如
＝f（n）的递推公式，可以利用a1·
·
·…·
＝an（n≥2，n∈N*）求通项公式．
跟踪训练3 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？
你能否求出该数列中的第2016项？
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是（ ）
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋（n＋1），n∈N*
D．an＝an－1＋（n－1），n∈N*，n≥2
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0（n∈N*），则此数列的通项an等于（ ）
A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n
3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：
（1）图象法；
（2）列表法；（3）通项公式法；（4）递推公式法．
3．通项公式和递推公式的区别：
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
2.1等差数列
（一）
学习目标
1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
知识点一 等差数列的概念
思考 给出以下三个数列：
（1）0,5,10,15,20；
（2）4,4,4,4，…；
（3）18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
答案 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．
梳理 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
知识点二 等差中项的概念
思考 观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
（1）2,4；
（2）－1,5；（3）a，b；（4）0,0.
答案 插入的数分别为3,2，
，0.
梳理 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项，且A＝
.
知识点三 等差数列的通项公式
思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋（ ）×2.
答案 n－1
梳理 若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.此公式可用累加法证明．
类型一 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
（1）9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
（2）－1,11,23,35，…，12n－13，…；
（3）1,2,1,2，…；
（4）1,2,4,6,8,10，…；
（5）a，a，a，a，a，….
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列（ ）
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
类型二 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
反思与感悟 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1（n≥2，n∈N*），即an＝
，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
类型三 等差数列通项公式的求法及应用
命题角度1 基本量（a，d）
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
反思与感悟 像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．
跟踪训练3
（1）求等差数列8,5,2，…的第20项；
（2）判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
命题角度2 等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
反思与感悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，求2km，4km,8km高度的气温．
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为（ ）
A．2B．3
C．－2D．－3
2．已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于（ ）
A．30°B．60°
C．90°D．120°
3．等差数列{an}中，已知a1＝
，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
（1）an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*）⇔{an}是等差数列；
（2）2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}是等差数列；
（3）an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
2.2等差数列
（二）
学习目标
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
知识点一 等差数列通项公式的推广
思考1 已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋（n－1）d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?
答案 设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋（m－1）d，
变形得a1＝am－（m－1）d，
则an＝a1＋（n－1）d＝am－（m－1）d＋（n－1）d
＝am＋（n－m）d.
思考2 由思考1可得d＝
，d＝
，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
答案 等差数列通项公式可变形为an＝dn＋（a1－d），其图象为一条直线上孤立的一系列点，（1，a1），（n，an），（m，am）都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点（1，a1），（n，an）连线的斜率d＝
.当两点为（n，an），（m，am）时，有d＝
.
梳理 等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋（n－m）d，当n≠m时，d＝
.
知识点二 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？
推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
答案 利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
梳理 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
知识点三 由等差数列衍生的新数列
思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？
若是，公差是多少？
答案 ∵（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）
＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
梳理 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列（c为任一常数）
{c·an}
公差为cd的等差数列（c为任一常数）
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N*）
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列（p，q为常数）
类型一 等差数列推广通项公式的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
解 因为a8＝a2＋（8－2）d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋（n－2）d，所以an＝5＋（n－2）×2＝2n＋1.
反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．
跟踪训练1 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an（n∈N*），若b3＝－2，b10＝12，则a8等于（ ）
A．0B．3C．8D．11
类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
若是，首项和公差分别是多少？
反思与感悟 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．
跟踪训练2 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
类型三 等差数列性质的应用
例3 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
引申探究
1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：
一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于（ ）
A．3B．－6C．4D．－3
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于（ ）
A．32B．－32
C．35D．－35
3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于（ ）
A．3B．－3
C.
D．－
1．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
3.1等差数列前n项和
（一）
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
知识点一 等差数列前n项和公式的推导
思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n，
又Sn＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1，
∴2Sn＝（1＋n）＋[2＋（n－1）]＋…
＋[（n－1）＋2]＋（n＋1），
∴2Sn＝n（n＋1），
∴Sn＝
.
梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＋…＋[a1＋（n－2）d]＋[a1＋（n－1）d]；
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1
＝an＋（an－d）＋（an－2d）＋…＋[an－（n－2）d]＋[an－（n－1）d]．
两式相加，得2Sn＝n（a1＋an），
由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn＝
.
根据等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d，
代入上式可得Sn＝na1＋
d.
知识点二 等差数列前n项和公式的特征
思考1 等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？
答案 S3＝
＝3×
＝3a2＝21.
思考2 我们对等差数列的通项公式变形：
an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋
d吗？
答案 按n的降幂展开Sn＝na1＋
d＝
n2＋（a1－
）n是关于n的二次函数形式，且常数项为0.
梳理 等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形：
（1）Sn＝n·
；
（2）Sn＝
n2＋（a1－
）n；
（3）
＝
n＋（a1－
）（{
}是公差为
的等差数列）．
知识点三 等差数列前n项和公式的性质
思考 如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
答案 （a11＋a12＋…＋a20）－（a1＋a2＋…＋a10）
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