4．不等式x2－ax－12a2<0（其中a<0）的解集为（ ）
A．（－3a,4a）B．（4a，－3a）
C．（－3,4）D．（2a,6a）
5．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2>b2B．（）a<（）b
C．lg（a－b）>0D.>1
6．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，2]B．[2，＋∞）
C．[3，＋∞）D．（－∞，3]
7．已知函数f（x）＝，则不等式f（x）≥x2的解集是（ ）
A．[－1,1]B．[－2,2]
C．[－2,1]D．[－1,2]
8．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A.>B.＋≤1
C.≥2D.≤
9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为（ ）
A．4B．6
C．8D．10
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ）
A．甲先到教室B．乙先到教室
C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定
11．设M＝，且a＋b＋c＝1（其中a，b，c为正实数），则M的取值范围是（ ）
A.B.
C．[1,8）D．[8，＋∞）
12．函数f（x）＝x2－2x＋，x∈（0,3），则（ ）
A．f（x）有最大值B．f（x）有最小值－1
C．f（x）有最大值1D．f（x）有最小值1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知t>0，则函数y＝的最小值为________________________________．
14．对任意实数x，不等式（a－2）x2－2（a－2）x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．
18．（12分）已知a，b，c∈（0，＋∞）．
求证：
（）·（）·（）≤.
19．（12分）若a<1，解关于x的不等式>1.
20．（12分）求函数y＝的最大值．
21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（2）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？
并求出最小值．
22．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如表所示：
资源
量
耗
消
品
产
甲产品
（每吨）
乙产品
（每吨）
资源限额
（每天）
煤（t）
9
4
360
电力（kw·h）
4
5
200
劳动力（个）
3
10
300
利润（万元）
6
12
问：
每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
第三章 不等式（B）
答案
1．D [∵a<0，－10，ab2<0.
∴ab>a，ab>ab2.
∵a－ab2＝a（1－b2）＝a（1＋b）（1－b）<0，
∴a2．C
3．A [∵M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）
＝（2a2－4a）－（a2－2a－3）＝a2－2a＋3
＝（a－1）2＋2>0.∴M>N.]
4．B [∵x2－ax－12a2<0（a<0）（x－4a）（x＋3a）<04a5．B [取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．故选B.]
6．D [∵x>1，∴x＋＝（x－1）＋＋1≥2＋1＝3.∴a≤3.]
7．A [f（x）≥x2或
或
或
－1≤x≤0或0－1≤x≤1.]
8．D [取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，故选D.]
9．C [可行域如阴影，当直线u＝x＋3y过A（－2，－2）时，u有最小值（－2）＋（－2）×3＝－8；过B（，）时，u有最大值＋3×＝.
∴u＝x＋3y∈[－8，]．∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]
10．B [设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s2t＝，
∴T－2t＝－＝s×＝>0，故选B.]
11．D [M＝＝
＝··≥2·2·2＝8.
∴M≥8，当a＝b＝c＝时取“＝”．]
12．D [∵x∈（0,3），∴x－1∈（－1,2），
∴（x－1）2∈[0,4），
∴f（x）＝（x－1）2＋－1≥2－1＝2－1＝1.
当且仅当（x－1）2＝，且x∈（0,3），
即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f（x）有最小值1.]
13．－2
解析 ∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2.
14．－2解析 当a＝2时，－4<0恒成立，∴a＝2符合．
当a－2≠0时，则a应满足：
解得－2综上所述，－215．5≤a<7
解析 先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．
由图知：
5≤a<7.
16．20
解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为（·4＋4x）万元，·4＋4x≥160，当＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
17．解 ∵（＋）－（a＋b）＝－b＋－a＝＋＝（a2－b2）（－）
＝（a2－b2）＝
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴（a－b）2>0，a－b>0，ab>0，
∴（＋）－（a＋b）>0，
∴＋>a＋b.
18．证明 ∵a，b，c∈（0，＋∞），
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0，
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc>0.
∴≤
即（）·（）·（）≤.
当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．
19．解 不等式>1可化为>0.
∵a<1，∴a－1<0，
故原不等式可化为<0.
故当0当a<0时，原不等式的解集为{x|当a＝0时，原不等式的解集为．
20．解 设t＝，从而x＝t2－2（t≥0），则y＝.
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝≤＝.
当且仅当2t＝，即t＝时等号成立．
即当x＝－时，ymax＝.
21．解
（1）设DN的长为x（x>0）米，则AN＝（x＋2）米
∵＝，∴AM＝，
∴SAMPN＝AN·AM＝，
由SAMPN>32，得>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得：
06，
即DN长的取值范围是（0，）∪（6，＋∞）．
（2）矩形花坛AMPN的面积为
y＝＝＝3x＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3x＝，即x＝2时，
矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．
22．解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．
依题意可得约束条件：
作出可行域如图.
利润目标函数z＝6x＋12y，
由几何意义知，当直线l：
z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组，
得x＝20，y＝24，即M（20,24）．
答 生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．
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