北师大版高中数学必修二学同步教学案 立体几何初步 平行关系.docx

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北师大版高中数学必修二学同步教学案立体几何初步平行关系

§5　平行关系

5．1　平行关系的判定

（一）

【课时目标】　1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．

1．直线与平面平行的定义：

直线与平面无公共点．

2．直线与平面平行的判定定理：

__________一条直线与______________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为________________________．

一、选择题

1．以下说法（其中a，b表示直线，α表示平面）

①若a∥b，bα，则a∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α；

④若a∥α，bα，则a∥b．

其中正确说法的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（　　）

A．b∥αB．b与α相交

C．bαD．b∥α或b与α相交

3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（　　）

A．平行B．相交

C．平行或相交D．ABα

4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（　　）

A．平行B．相交C．在内D．不能确定

5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（　　）

A．不存在B．只能作出一个

C．能作出无数个D．以上都有可能

6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（　　）

A．4条B．6条C．8条D．12条

二、填空题

7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．

8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：

（1）与直线AB平行的平面是______________；

（2）与直线AA1平行的平面是______________；

（3）与直线AD平行的平面是______________．

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是_______________________________________________________________．

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．

求证：

EF∥平面BDD1B1．

11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．

求证：

EF∥平面PBC．

能力提升

12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．（写出所有符合要求的图形序号）

13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．（用两种方法证明）

直线与平面平行的判定方法

（1）利用定义：

证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．

（2）利用直线和平面平行的判定定理：

a

α，a∥b，bα，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．

§5　平行关系

5．1　平行关系的判定

（一）

答案

知识梳理

2．平面外　此平面内　a

α，bα，且a∥b⇒a∥α

作业设计

1．A　[①aα也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③aα也可能成立；④a，b还有可能异面．]

2．D　3．C　4．A　5．D

6．D

　[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]

7．无数

8．

（1）平面A1C1和平面DC1　

（2）平面BC1和平面DC1　（3）平面B1C和平面A1C1

9．平行

解析　设BD的中点为F，则EF∥BD1．

10．证明　取D1B1的中点O，

连接OF，OB．

∵OF綊

B1C1，BE綊

B1C1，

∴OF綊BE．

∴四边形OFEB是平行四边形，

∴EF∥BO．

∵EF

平面BDD1B1，

BO平面BDD1B1，

∴EF∥平面BDD1B1．

11．证明　连接AF延长交BC于G，

连接PG．

在▱ABCD中，

易证△BFG∽△DFA．

∴

＝

＝

，

∴EF∥PG．

而EF

平面PBC，

PG平面PBC，

∴EF∥平面PBC．

12．①③

13．证明　方法一　如图

（1）所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN．

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，

∴AE＝BD．

又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．

又∵PM∥AB∥QN，∴

＝

，

＝

．

∴PM綊QN．

∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．

又MN平面BCE，PQ

平面BCE，

∴PQ∥平面BCE．

方法二　如图

（2）所示，连接AQ并延长交BC（或其延长线）于K，连接EK．

∵KB∥AD，∴

＝

．

∵AP＝DQ，AE＝BD，

∴BQ＝PE．

∴

＝

．∴

＝

．∴PQ∥EK．

又PQ

面BCE，EK面BCE，

∴PQ∥面BCE．

5．1　平行关系的判定

（二）

【课时目标】　1．理解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题．

1．平面α与平面β平行是指两平面______公共点．若α∥β，直线aα，则a与β的位置关系为________．

2．定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

一、选择题

1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出（　　）

A．0个B．1个

C．0个或1个D．1个或2个

2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是（　　）

A．α内有无数条直线平行于β

B．α内不共线三点到β的距离相等

C．l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β

D．l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

3．给出下列结论，正确的有（　　）

①平行于同一条直线的两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行；

③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；

④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A

α，则（　　）

A．α∥平面ABC

B．△ABC中至少有一边平行于α

C．△ABC中至多有两边平行于α

D．△ABC中只可能有一边与α相交

5．两个平面平行的条件是（　　）

A．一个平面内一条直线平行于另一个平面

B．一个平面内两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面

D．两个平面都平行于同一条直线

6．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（　　）

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

二、填空题

7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为________．

8．有下列几个命题：

①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；

②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γ∥β；

③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；

④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________（填序号）．

9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：

平面EFG∥平面BDD1B1．

11．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．

（1）求证平面MNG∥平面ACD；

（2）求S△MNG∶S△ADC．

能力提升

12．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．

求证：

平面A1BD1∥平面AC1D．

13．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

判定或证明面面平行的方法

（1）面面平行的定义；

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

5．1　平行关系的判定

（二）答案

知识梳理

1．无　a∥β

作业设计

1．C　2．D　3．B　4．B

5．C　6．A

7．b∥β或bβ

8．③

解析　①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．

9．M∈线段FH

解析　∵HN∥BD，HF∥DD1，

HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，

∴平面NHF∥平面B1BDD1，

故线段FH上任意点M与N连接，

有MN∥平面B1BDD1．

10．证明　如图所示，连接SB，SD，

∵F、G分别是DC、SC的中点，

∴FG∥SD．

又∵SD平面BDD1B1，

FG

平面BDD1B1，

∴直线FG∥平面BDD1B1．

同理可证EG∥平面BDD1B1，

又∵EG平面EFG，

FG平面EFG，

EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1．

11．

（1）证明　

（1）连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．

∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，

则有

＝

＝

＝2，

且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．

连接PF，FH，PH，有MN∥PF．

又PF平面ACD，MN

平面ACD，

∴MN∥平面ACD．

同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，

∴平面MNG∥平面ACD．

（2）解　由

（1）可知

＝

＝

，

∴MG＝

PH．

又PH＝

AD，

∴MG＝

AD．

同理NG＝

AC，MN＝

CD．

∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．

∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．

12．

证明　连接A1C交AC1于点E，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴E是A1C的中点，连接ED，

∵A1B∥平面AC1D，

ED平面AC1D，

∴A1B与ED没有交点，

又∵ED平面A1BC，A1B平面A1BC，

∴ED∥A1B．

∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．

又∵D1是B1C1的中点，

∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，

∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．

又A1D1∩BD1＝D1，

∴平面A1BD1∥平面AC1D．

13．解　当Q为CC1的中点时，

平面D1BQ∥平面PAO．

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

∴QB∥PA．

∵P、O为DD1、DB的中点，

∴D1B∥PO．

∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO．

5．2　平行关系的性质

（一）

【课时目标】　1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．

直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，那么

________________________________________________________．

（1）符号语言描述：

________________．

（2）性质定理的作用：

可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法．

一、选择题

1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面（　　）

A．只有一个B．至多有两个

C．不一定有D．有无数个

2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．以上均可能

3．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（　　）

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．平行和异面

5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线（　　）

A．至少有一条B．至多有一条

C．有且只有一条D．没有

6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是（　　）

A．l1平行于l3，且l2平行于l3

B．l1平行于l3，且l2不平行于l3

C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3

D．l1不平行于l3，但l2平行于l3

二、填空题

7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：

①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：

______________．（用序号表示）

8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．

9．已知（如图）A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______________．

三、解答题

10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，

求证：

AP∥GH．

11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．

求证：

CD∥平面EFGH．

能力提升

12．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．

13．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．

（1）求证：

BC∥l；

（2）MN与平面PAD是否平行？

试证明你的结论．

直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：

．

5．2　平行关系的性质

（一）答案

知识梳理

过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行　

（1）

⇒a∥b

作业设计

1．C　2．D

3．C　[∵截面PQMN为正方形，

∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．

又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ面ABC，

∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．

故有选项A、B、D正确，C错误．]

4．A　[∵E、F分别是AA1、BB1的中点，

∴EF∥AB．

又AB

平面EFGH，EF平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH．

又AB平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，

∴AB∥GH．]

5．B　[设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则直线b过点P．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．]

6．A　[∵l1∥l2，l2γ，l1

γ，

∴l1∥γ．

又l1β，β∩γ＝l3，

∴l1∥l3

∴l1∥l3∥l2．]

7．①②⇒③（或①③⇒②）

解析　设过m的平面β与α交于l．

∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，

∵n

α，lα，∴n∥α．

8．

a

解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，

∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝

，

故PQ＝

＝

DP＝

．

9．平行四边形

解析　平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，

得EF∥CD；

同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．

∴GH∥EF，EG∥FH．

∴四边形EFGH是平行四边形．

10．解　如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，

∵ABCD是平行四边形，

∴O是AC中点，又M是PC的中点，

∴AP∥OM．

根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．

∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，

根据直线和平面平行的性质定理，

∴PA∥GH．

11．证明　∵四边形EFGH为平行四边形，

∴EF∥GH．

又GH平面BCD，EF

平面BCD．

∴EF∥平面BCD．

而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF平面ACD，

∴EF∥CD．

而EF平面EFGH，CD

平面EFGH，

∴CD∥平面EFGH．

12．m∶n

解析　∵AC∥平面EFGH，

∴EF∥AC，GH∥AC，

∴EF＝HG＝m·

，同理EH＝FG＝n·

．

∵EFGH是菱形，∴m·

＝n·

，

∴AE∶EB＝m∶n．

13．

（1）证明　因为BC∥AD，AD平面PAD，

BC

平面PAD，所以BC∥平面PAD．

又平面PAD∩平面PBC＝l，BC平面PBC，

所以BC∥l．

（2）解　MN∥平面PAD．

证明如下：

如图所示，取DC的中点Q．

连接MQ、NQ．

因为N为PC中点，

所以NQ∥PD．

因为PD平面PAD，NQ

平面PAD，

所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．

又NQ平面MNQ，MQ平面MNQ，

NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．

所以MN∥平面PAD．

5．2　平行关系的性质

（二）

【课时目标】　1．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．

平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．

（1）符号表示为：

⇒a∥b．

（2）性质定理的作用：

利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线．

（3）面面平行的其他性质：

①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即

⇒______，可用来证明线面平行；

②夹在两个平行平面间的平行线段相等；

③平行于同一平面的两个平面平行．

一、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合

B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行

C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行

D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行

2．设平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在惟一一条与a平行的直线

3．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（　　）

A．2∶25B．4∶25C．2∶5D．4∶5

4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是（　　）

①

⇒a∥b;②

⇒a∥b；

③

⇒α∥β；④

⇒α∥β；

⑤

⇒α∥a;⑥

⇒a∥α．

A．④⑥B．②③⑥

C．②③⑤⑥D．②③

5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C（　　）

A．不共面

B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面

C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D．不论A、B如何移动，都共面

6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为（　　）

A．16B．24或

C．14D．20

二、填空题

7．分别在两个平行平面的两个三角形，

（1）若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；

（2）若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．

8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F．已知AB＝6，

＝

，则AC＝________．

三、解答题

10．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：

EF∥平面ABCD．

11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．

求证：

N为AC的中点．

能力提升

12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？

并证明你的结论．

13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1