高考数学填空题答题技巧精编.docx

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高考数学填空题答题技巧精编

高考数学填空题答题技巧精编

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数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写||出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的||类型一般可分为：

完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题.这说明了填空题||是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现.因||此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理||的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还||要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确||地解答填空题的基本要求

数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计||算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切||实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。

求解填空题的基本策略是要在“准”、“||巧”、“快”上下功夫。

常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等||价转化法等。

一、直接法

这是解填空题的基本方法，||它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推||理、运算等过程，直接得到结果。

例1设其中i，j为互相垂直的单||位向量，又，则实数m=。

解：

∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单||位向量，故可得∴。

例2已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是。

解：

，由复合函数的增减性可||知，在上为增函数，∴，∴。

例3现时盛行的足球||彩票，其规则如下：

全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：

胜、平、负，13||长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖||的概率为。

解：

由题设，此人猜中某一场||的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故||某人全部猜中即获得特等奖的概率为。

二、特殊化法

当填空题||的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定||值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结||果。

例4在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。

若a、||b、c成等差数列，则。

解：

特殊化：

令，则△ABC为直角三角||形，，从而所求值为。

例5过抛物线的焦点F作一直线交抛物线||交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则。

分析：

此抛物线开口向||上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当||k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：

尽管P||F、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以||针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

解：

设k=0，||因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线||方程得，∴，从而。

例6求值。

分||析：

题目中“求值”二字提供了这样信息：

答案为一定值，于是||不妨令，得结果为。

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若||能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题||，得出正确的结果。

例7如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围||是。

解：

根据不等式解集的几何意义，作函数和

函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取

值范围是。

例8求值。

解：

，

构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而

所以可得结果为。

例9已知实数x、y满足，则的最大值是。

解：

可看作是过点P（x，||y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，||当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。

四、等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解||决的问题，从而得出正确的结果。

例10不等式的解集为（4，b），则a=，b=。

解：

设，则原不等式可转||化为：

∴a0，且2与是方程的两根，由此可得：

。

例1||1不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取||值范围是。

解：

题设条件等价于点（0，1）在||圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。

例12函数单调递减区间为。

解：

易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果||为。

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方||法，是快速准确地解数学填空题的关键。

数学怎样解填空题

【考点梳理】

一、题型特点

填空题和选择题同属客观性试题，||它们有许多共同特点：

其形态短小精悍，考查目标集中，||答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等||。

不过填空题和选择题也有质的区别。

首先，表现为填空题没有备选项。

因此，解答||时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考||和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对||率，也许这就是一个重要的原因。

其次，填空题的结构，往往是在一||个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下||空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。

在对题目的阅读理解上，较之选择题||，有时会显得较为费劲。

当然并非常常如此，这将取决于命题者||对试题的设计意图。

填空题与解答题比较，同属提供||型的试题，但也有本质的区别。

首先，解答题应答时，考生不仅要提供出||最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步||骤，提供合理、合法的说明。

填空题则无此要求，只要填写结果||，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。

其次，试题内涵，||解答题比起填空题要丰富得多。

填空题的考点少，目标集中，否则，试题的||区分度差,课前预习，其考试信度和效度都难以得到保证||。

这是因为：

填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于||答错的考生便难以知道其出错的真正原因。

有的可能是一窍不通，入手就错了，||有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷||上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。

对于解答题，则||不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论||，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解||答题命题的自由度，较之填空题大得多。

由此可见，填空题这种题型介于选择题||与解答题这两种题型之间，而且确实是一种独立的题型，有其固||有的特点。

二、考查功能

1.填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。

同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样||要群体效应。

但是，由于填空题的应答速度难以追上选择题的应答速度，因此在题量||的使用上，难免又要受到制约。

从这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范||围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题||的功能要弱于选择题。

不过，在考查的深入程度方面，填空||题要优于选择题。

作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念||（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几||乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有||虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。

但与解答题相比其考查的深度还是差得多。

就计||算和推理来说，填空题始终都是控制在低层次上的。

||

2.填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析||能力。

在高考数学考试中，由于受到考试时间和试卷篇幅的限制，在权衡各种题型的||利弊和考查功能的互补时，填空题由于其特点和功能||的限制，往往被放在较轻的位置上，题量不多。

三、思想方法

同选择题一样，填空题||也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。

解题的基本策||略是：

巧做。

解题的基本方法一般有：

直接求解法，图像法和特殊化法（特殊||值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法||，特殊方程法，特殊模型法）等。

【例题解析】

一、直接求解法?

?

直接从题设条||件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算||、判断得到结论的方法，称之为直接求解法。

它是解填空题的常用的基本方法。

使用直接||法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简||捷的解法。

例1已知数列{an}、{bn}都是等差||数列，a1=0、b1=-4，用Sk、S′k、分别表示数列{an}、{bn}||的前k项和（k是正整数），若Sk+S′k=0，则ak+bk的值为。

解法一直接应用等差数列求和公式Sk=，得+=0，又a1+b||1=-4,∴ak+bk=4。

法二由题意可取k=2||（注意：

k≠1，为什么?

），于是有a1+a2+b1+b2=0，因而a2+||b2=4,即ak+bk=4。

例2乒乓球队的10名队员中有||3名主力队员，派5名参加比赛。

3名主力队员要安排在第一、三、五位置||，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出||场安排共有种（用数字作答）。

解三名主力队员的排法有种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有种排法，故共有||排法数A33A72=252种。

例3如图14-1，E、||F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1||的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是（要求：

把可能||的图的序号都填上）。

解正方体共有3组对面，分别考察如下：

||

（1）四边形BFD1E在左右一组面上的射影||是图③。

因为B点、F点在面AD1上的射影分别是||A点、E点。

（2）四边形BFD1E在上下及前后两组面上的射影是图②。

因为||D1点、E点、F点在面AC上的射影分别是D点、AD的中点、BC的中点;B点||、E点、F点在面DC1上的射影分别是C点、DD1的中点、CC1的中点。

故本题||答案为②③。

例4已知抛物线的焦点坐标为F（2,1），准||线方程为2x+y=0，则其顶点坐标为。

解过焦点||F（2,1）作准线的垂线段，由解几知识可得||抛物线顶点为垂线段的中点。

又由于准线的斜率k=-2,||kOF=，∴O为垂足，从而易得OF的中点，即顶点||为（1,）。

例5老师给出一个函数y=f||（x），四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：

甲：

对于x∈||R，都有f（1+x）=f（1-x）乙：

在（-∞||,0上函数递减

丙：

在（0,+∞）上函数递增丁：

f（0）不是函数的最小值

如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数。

解由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条||件，写出符合条件的一个函数即可。

例如同时具备条件||甲、乙、丁的一个函数为y=（x-1）2。

例6若-=1，则sin2θ的值等于。

解由-=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ①

令sin2θ=t，则①式两边平方整理得t2+4t-4||=0，解之得t=2-2。

例7已知z1=3+4i,z2=-2-||5i,则arg（）=。

解将z1=3+4i,z2=-2-5i代入整理||得=3i，故arg（）=。

例8若（+）n展开式中的第5项为常数，则n=。

解由Tr+1=Cnr（）n-r（）r=Cnr2rx及题意可知，当r=4时，||n-3r=0，∴n=12。

二、图像法?

?

借助图形||的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。

文氏图、三角函数线、函||数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。

例9若关于x||的方程=k（x-2）有两个不等实根，则实数k的取值范围是||。

解令y1=,y2=k（x-2）,由图14-3可知kAB

例10已知两||点M（0,1）,N（10,1），给出下列||直线方程

①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x||-y-4=0;④4x-y-14=0。

在直线||上存在点P满足|MP|=|NP|+6的所有直线||方程的序号是。

解由|MP|=|NP|||+6可知，点P的轨迹是以M（0，1），N（10，1）为焦点，实轴||长为6的双曲线的右支，其方程为-=1，||（x5）。

本题实质上可转化为考察所给直线与双曲线的右支有无交||点的问题，结合图形判断，易得②③直线与双曲线的右支有交点。

例11点P（x,||y）是曲线C：

（θ为参数，0≤θπ）上任意一点，则的取值范围是。

解曲||线C的普通方程为（x+2）2+y2=1（y≥0），则||可视为P点与原点O连线的斜率，结合图形1||4-4判断易得的取值范围是[-，0]。

三、特殊化法?

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当填空题的||结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的||参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数||列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。

1.特殊值法

例12设a1，则logab,logba,logabb的大小关||系是。

解考虑到三个数的大小关系是确||定的，不妨令a=4,b=2，则logab=,logba=2,logabb||=,

∴logabb

2.特殊函数法

例13如果函数||f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+||t）=f（2-t），那么f

（1）,f

（2）,f（4）的大小||关系是。

解由于f（2+t）=f（2-t），故知f（x）的对称轴||是x=2。

可取特殊函数f（x）=（x-2）2,即可求得f

（1）=1,f

（2）=||0,f（4）=4。

∴f

（2）

3.特殊角法

例14cos2α+cos2（||α+120°）+cos2（α+240°）的值为。

解本题的隐含条件是||式子的值为定值，即与α无关，故可令α=0°，计算得上式值为。

例15已知等差||数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列||，则的值是。

解考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n||，又易知它满足题设条件，于是=。

5.图形特殊位置法

例16已知SA||，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与||平面SAC所成的二面角为。

解取SA=SB=||SC，将问题置于正四面体中研究，不难得平面SAB与平面SAC所成的二面角||为arccos。

6.特殊点法

例17椭圆+=1的焦点为||F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2||为钝角时，点P横坐标的取值范围是。

解设P（||x,y），则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此||可得点P的横坐标x=±，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0;||点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-

7.特殊方程法

例18直线l过抛物线y2=a（x+1）（a0）的焦||点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=。

解∵抛物线y2=a（x+1）与抛物线y2=ax具有相同的||垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程y2=ax替换一般||方程y2=a（x+1）求解，而a值不变。

由通径长公式得a=4。

||

8.特殊模型法

例19已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;

②若n⊥α，n⊥β，则α∥β;

③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β;

④若nα，mα，且n∥β,m∥β，则α∥β;

⑤若m,n为异面直线，n∈α，||n∥β，m∈β,m∥α,则α∥β;

则其中正确的命题是。

（把你认为正确的命题序号都填上）

解依题意可构造正方体AC1，如图||14-5，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是②⑤。

四、构造法?

?

在解||题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解||题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。

例20如图14-6，点P在正方形ABCD所在的平面||外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与||BD所成角的度数为。

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑||板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于||扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,||可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环||保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生||的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗||?

解根据题意可将上图补形成一正方体，在正||方体中易求得为60°。

与当今“教师”一称||最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯||安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋||元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为||“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，||“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比||之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与||其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。