普通高等学校招生全国统一考试文数.docx
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普通高等学校招生全国统一考试文数
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1•答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=gx1},B{x|x2},则AAB=
A.（-1,+x）B.（-乂，2）
C.（-1,2）D.
2.设z=i（2+i）,则z=
3.已知向呈a=（2,3）,b=（3,2）,则|a-b|=
B.2
A.、2
D.50
4•生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机
B.
取岀3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A-3
D.
5•在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：
我的成绩比乙高.
乙丙的成绩比我和甲的都高.
丙：
我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到
低的次序为
A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙
6•设f（x）为奇函数，且当X>0时，f（x）=exi,则当xvO时，f（x）=
a内有无数条直线与B平行
8-若x—4
B.
C.1
D.
9・若抛物线
A.2
B.3
C.410.曲线y=2sinx+cosx在点（n,-D.8
1）处的切线方程为
12.设F为双曲线C:
冷書|（a>0,b>0）的右焦点，0为坐标原点，以OF为直径
ab
的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ=|OF,则C的离心率为
A.B.、3
C.2D.5
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
2x3y60,
13.若
变量x,y满足约束条件Xy30,则Z=3x-y的最大值是.
y2o,
14.我国高
铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车
次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.
99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一•印信的形状多为长方体、正方
体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）•半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体•半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有
个面，其棱长为•（本题第一空2分，第二空3分.）
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题
为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分
17.（12分）
如图，长方体ABCDABGD的底面ABC［是正方形，点E在棱力力上，BELEG.
⑴证明：
BEL平面EBC;
（2）若AE=AE,AB=3,求四棱锥eBBCC的体积.
18.（12分）
已知｛an｝是各项均为正数的等比数列，ai2,a32a216.
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）设bnlog2an,求数列｛bn｝的前门项和.
19.（12分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业,
得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%勺企业比例、产值负增长的企业
比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区
间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：
.748.602.
20.（12分）
已知Fi,F2是椭圆C:
笃爲1（abO）的两个焦点，P为C上一点，0为坐标原点.
ab
（1）若厶P0F2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P,使得PFPF2,且厶RPF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
21.（12分）
已知函数f（x）（x1）lnxx1.证明：
（1）f（x）存在唯一的极值点；
（2）f（x）=O有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
（二）选考题：
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分.
22.［选修牛4:
坐标系与参数方程］（10分）
在极坐标系中，0为极点，点M（o,o）（o0）在曲线c：
4sin±,直线I过点A（4,0）且与OM垂直，垂足为P.
（1）当。
二-时，求。
及I的极坐标方程；
3
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23.［选修4-5:
不等式选讲］（10分）
已知f（x）|xa|x|x2|（xa）.
（1）当a1时，求不等式f（x）O的解集;
2019年普通高等学校招生全国统考试
文科数学•参考答案
1.C
2・D
3.
A
4・B
5.A6・D
7.B
&A
9.
D
10.C
11.B12.A
13・9
14.0.98
15.
3n16.
4
26;、21
17•解：
（1）由已知得BC丄平面ABEA,
BE平面ABEAi,故BiCiBE・
又BEECl,所以BE!
平面EBQ・
（2）由
（1）知/BEE=90°.由题设知RtAABE坐RtAABE,所以
AEBA1EB145,故AE=AB=3,AA2AE6・
作EFBB1,垂足为F,贝yEF!
平面BBGC,且EFAB3・
所以，四棱锥EBBiCiC的体积V136318・
3
18•解：
（1）设an的公比为q,由题设得
2q24q16,即q22q80・
解得q2（舍去）或q・4.
因此an的通项公式为an24n122n1・
（2）由
（1）得bn（2n1）log222n1,因此数列bn的前n项和为13L2n1n2・
19•解：
（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于
40%勺企业频率为也二0.21・
产值负增长的企业频率为一0.02.
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%勺企业比例
为21%产值负增长的企业比例为2%
1
（2）y（0.1020.10240.30530.50140.707）0.30,
100
=0.0296,
S0.02960.02,740.17,
30%17%
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为
F1PF290,PF2
20.解：
⑴连结PFi,由厶POF2为等边三角形可知在△RPF2中，
PFi屁,于是2aPFiPF2Al）c,故C的离心率是e
yy
16,-1,
22
X
y_
1,即cy|16,①
a
b2
X2
c2,②
Z
2
X
乂
1,③
2
b2
由②③及护浒&得护冬，又由①知y2
C
32,故a42•
2
由②③得冷葺c2b2,所以c2b2,从而a2b2c22b2
⑵由题意可知，满足条件的点Ph切存在•当且仅当扣"
当b4-a42时，存在满足条件的点P.所以b4-
a的取值范围为［4迈）・
21•解:
（1）f（x）的定义域为（0,+）.
因为ylnx单调递增，y丄单调递减，所以f（x）单调递增，又f⑴10,
x
f
（2）In2•土」0,故存在唯一Xo（1,2）,使得fx。
0.
22
又当XX。
时,f（x）0,f（x）单调递减;当XX。
时,f（x）0,f（x）单调递增.
因此，f（x）存在唯一的极值点.
（2）由
（1）知fX.f
（1）2,又f*e230,所以f（x）0在心内存
在唯一根X•
由Xo1得11Xo・
又fl11In11190,故丄是f（x）0在O,xo的唯一根.
综上，f（x）O有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
22•解：
（°因为",0在C上,当o-时'04sin32".
由已知得|OP||OA|cos—2・
3
设Q（,）为I上除P的任意一点•在RtAOPQ中，cos3|0P|2,
经检验，点P（2,-）在曲线cos32上.
3
所以，I的极坐标方程为8S-2-
⑵设P（,）,在RtAOAP中，|OP||OA|cos4cos,即4cos
因为P在线段OM上且APOM,故的取值范围是
所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos
23•解：
⑴当a=1时，f（x）=|x1|x+|x2|（x1）・
当x1时，f（x）2（x1）20；当x1时，f（x）0.
所以，不等式f（x）0的解集为（,1）.
⑵因为f（a）=O,所以a1.
当a1,x（⑴时，f（x）=（ax）x+（2x）（xa）=2（ax）（x1）<0.
所以，a的取值范是［1,）・
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