中考复习方程与不等式专题含答案详解.docx

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中考复习方程与不等式专题含答案详解

方程与不等式专题。

一．选择题（共12小题）

1．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（　　）

A．﹣1B．2C．﹣7D．0

2．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）

A．k＜1且k≠0B．k≠0C．k＜1D．k＞1

3．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（　　）

A．非实数B．正数C．负数D．非正数

4．关于x的分式方程﹣=1有增根，则m的值为（　　）

A．1B．4C．2D．0

5．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（　　）

A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm

6．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%，那么商店在这次交易中（　　）

A．赚了10元B．亏了10元C．赚了20元D．亏了20元

7．已知关于x的方程x﹣=﹣1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（　　）

A．12B．36C．﹣4D．﹣12

8．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（　　）

A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜a＜1C．0＜a＜1D．＜a＜1

9．按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金）中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税，则她的月工资是（　　）

A．6000元B．5500元C．2500元D．2000元

10．分式方程=无解，则m的值为（　　）

A．2B．1C．1或2D．0或2

11．若关于x的分式方程有增根，则k的值是（　　）

A．﹣1B．﹣2C．2D．1

12．已知关于x的不等式组有五个整数解，m的取值范围是（　　）

A．﹣4≤m＜﹣3B．﹣8≤m＜﹣6C．4＜m≤6D．4≤m＜6

二．填空题（共10小题）

13．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是　　．

14．若不等式组无解，则m的取值范围是　　．

15．敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击　　小时后可追上敌军．

16．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为　　．

17．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，则=　　．

18．若不等式组无解，则m的取值范围是　　．

19．一座桥长1200米，一列火车以每秒20米的速度通过这座桥，火车车身长300米，则火车从上桥到离开需要　　秒．

20．若实数a，b满足（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16=0，则a2+b2=　　．

21．方程=x﹣1的根为　　．

22．要使关于x的方程有唯一的解，那么m≠　　．

三．解答题（共6小题）

23．已知方程组的解x、y满足x+y＜1，且m为正数，求m的取值范围．

24．一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，求这件夹克衫的成本是多少元

25．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的

26．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：

（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么

（2）求出原方程组的正确解．

27．阅读理解题：

定义：

如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1①，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．

如果只把i当成代数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！

它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．）

例题1：

i3=i2•i=﹣1•i=﹣i；i4=i3•i=﹣i•i=﹣i2=﹣（﹣1）=1

例题2：

（2+i）+（3﹣4i）=（2+3）+（1﹣4）i=5﹣3i（5+i）×（3﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4i2=15﹣17i+4=19﹣17i

同样我们也可以化简===2i

也可以解方程x2=﹣1，解为x1=i，x2=﹣i．

读完这段文字，请你解答以下问题：

（1）填空：

i5=　　，i6=　　；

（2）计算：

（2+i）2；

（3）在复数范围内解方程：

x2﹣x+1=0．

28．为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．

（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨

（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少最少是多少

方程与不等式专题。

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（　　）

A．﹣1B．2C．﹣7D．0

【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根据x是非负整数得出m所有的m的和．

【解答】解：

∵关于x的不等式组有解，

∴1﹣2m＞m﹣2，

解得m＜1，

由得x=，

∵分式方程有非负整数解，

∴x=是非负整数，

∵m＜1，

∴m=﹣5，﹣2，

∴﹣5﹣2=﹣7，

故选C．

【点评】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m的取值范围以及解分式方程是解题的关键．

2．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）

A．k＜1且k≠0B．k≠0C．k＜1D．k＞1

【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义，令△＞0且二次项系数不为0即可．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

即（﹣6）2﹣4×9k＞0，

解得，k＜1，

∵为一元二次方程，

∴k≠0，

∴k＜1且k≠0．

故选A．

【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

3．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（　　）

A．非实数B．正数C．负数D．非正数

【分析】先根据完全平方公式进行配方得到x2+y2+4x﹣6y+14=（x+2）2+（y﹣3）2+1，然后根据非负数的性质进行证明．

【解答】解：

x2﹣4x+y2﹣6y+13=x2﹣4x+4+y2﹣6y+9

=（x﹣2）2+（y﹣3）2，

∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，

∴（x+2）2+（y﹣3）2≥0，

∴不论x、y取何值，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13的值总是非负数，

故选A．

【点评】本题考查了配方法的应用：

配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2；配方法的关键是：

先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

4．关于x的分式方程﹣=1有增根，则m的值为（　　）

A．1B．4C．2D．0

【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．

【解答】解：

将分式方程﹣=1两边同乘（x﹣1），

得m﹣2﹣2x=x﹣1．

若原分式方程有增根，

则必有x=1，

将x=1代入m﹣2﹣2x=x﹣1，

得m=4．

故选（B）

【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．

5．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（　　）

A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm

【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即大杯的体积=12个小杯的体积，再利用圆柱体的体积公式列方程求解．

【解答】解：

设小杯的高为x，

根据题意得：

π×102×30=π×（10÷2）2•x×12

解得：

x=10

则小杯的高为10cm．

故选C．

【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

6．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%，那么商店在这次交易中（　　）

A．赚了10元B．亏了10元C．赚了20元D．亏了20元

【分析】设第一件衣服的进价为x元，第二件的进价为y元，根据售价﹣成本=利润，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可求出x（y）的值，再将其代入400﹣x﹣y中即可得出结论．

【解答】解：

设第一件衣服的进价为x元，第二件的进价为y元，

根据题意得：

200﹣x=25%x，200﹣y=﹣20%y，

解得：

x=160，y=250，

∴400﹣x﹣y=400﹣160﹣250=﹣10（元）．

答：

商店在这次交易中亏了10元．

故选B．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

7．已知关于x的方程x﹣=﹣1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（　　）

A．12B．36C．﹣4D．﹣12

【分析】利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出a的值，计算即可．

【解答】解：

x﹣=﹣1

去分母，6x﹣4+ax=2x+8﹣6

移项、合并同类项，（4+a）x=6，

x=，

由题意得，a=﹣3、﹣2、﹣1、2，

则符合条件的所有整数a的积是﹣12，

故选：

D．

【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．

8．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（　　）

A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜a＜1C．0＜a＜1D．＜a＜1

【分析】由方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，即可得不等式组，解此不等式组即可求得答案．

【解答】解：

∵方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，

∴，

解得：

0＜a＜1．

故选C．

【点评】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题难度较大，解题的关键是根据题意得到不等式组：

．

9．按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金）中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税，则她的月工资是（　　）

A．6000元B．5500元C．2500元D．2000元

【分析】设小明妈妈某月工资为x元，则应缴个人所得税额为（x﹣3500）元，由税率×税额=税金，建立方程求出其解即可．

【解答】解：

设小明妈妈某月工资为x元，则应缴个人所得税额为（x﹣3500）元，由题意，得

3%×1500+10%（x﹣3500﹣1500）=145，

解得：

x=6000．

答：

小明妈妈的月工资是6000元．

故选A．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，税率×税额=税金的运用，分段计费的计算方法的运用，解答时根据应缴个人所得税145元建立方程是难点．

10．分式方程=无解，则m的值为（　　）

A．2B．1C．1或2D．0或2

【分析】先把分式方程化为整式方程得到（1﹣m）x=﹣1，由于关于x的分式方程=无解，讨论：

x=1或方程（1﹣m）x=﹣1无解，当x=1时，（1﹣m）×1=﹣1，解得m=2，当方程（1﹣m）x=﹣1无解，1﹣m=0，解得m=1．

【解答】解：

把分式方程化为整式方程得到（1﹣m）x=﹣1，

∵关于x的分式方程=无解，

∴x=1或或方程（1﹣m）x=﹣1无解，

当x=1时，（1﹣m）×1=﹣1，解得m=2，

当方程（1﹣m）x=﹣1无解，1﹣m=0，解得m=1．

∴m=1或2，

故选：

C．

【点评】本题考查了分式方程的解：

使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解．也考查了分类讨论的思想．

11．若关于x的分式方程有增根，则k的值是（　　）

A．﹣1B．﹣2C．2D．1

【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣5）=0，得到x=5，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．

【解答】解：

方程两边都乘（x﹣5），

得x﹣6+x﹣5=﹣k，

∵原方程有增根，

∴最简公分母（x﹣5）=0，

解得x=5，

当x=5时，k=1．

故选：

D．

【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：

①让最简公分母为0确定增根；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

12．已知关于x的不等式组有五个整数解，m的取值范围是（　　）

A．﹣4≤m＜﹣3B．﹣8≤m＜﹣6C．4＜m≤6D．4≤m＜6

【分析】此题可先求解不等式组得到关于m的不等式解集，再根据整数解的个数确定m的取值范围．

【解答】解：

，

解①得：

x＞，

解②得：

x≤7，

则不等式组的解集是：

＜x≤7．

不等式组有五个整数解，则一定是7，6，5，4，3，

则2≤＜3．

解得：

则4≤m＜6，

故选：

D．

【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

二．填空题（共10小题）

13．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是　6　．

【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．

【解答】解：

∵点P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0，

又∵y≤2x+6，∴2x+6＞0，即x＞﹣3，所以﹣3＜x＜0，x=﹣1或﹣2，

当x=﹣1时0＜y≤4，y=1，2，3，4；

当x=﹣2时，y≤2，即y=1或2；

综上所述，点P为：

（﹣1，1），（﹣1，2）（﹣1，3），（﹣1，4），（﹣2，1），（﹣2，2）共6个点．

【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求特殊值．

14．若不等式组无解，则m的取值范围是　m＜　．

【分析】先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．

【解答】解：

解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．

【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．

注意：

当符号方向不同，数字相同时（如：

x＞a，x＜a），没有交集也是无解．

求不等式组解集的口诀：

同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

15．敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击　6　小时后可追上敌军．

【分析】设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军；等量关系为：

我军的路程=敌军路程+敌我两军相距14千米；可列出方程，解可得答案．

【解答】解：

设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军．

根据题意得：

7x=4（1+x）+14，

解得：

x=6．

【点评】注意追及问题中的等量关系，不要忘记加上原来相距的距离．

16．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为　﹣4　．

【分析】由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．

【解答】解：

∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，

∴m+n=3，mn=a，

∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，

∴mn﹣（m+n）+1=﹣6

即a﹣3+1=﹣6

解得a=﹣4．

故答案为：

﹣4．

【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：

若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

17．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，则=　﹣或2　．

【分析】当x=y时，容易求解；

当x≠y时，由关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，可知x、y是z2﹣2z﹣6=0的两根，由根与系数的关系，求出x+y与xy的值，再根据=，代入即可求值．

【解答】解：

当x≠y时，

∵x、y满足关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，

∴x、y是z2﹣2z﹣6=0的两根，

∴x+y=2，xy=﹣6，

∴===﹣．

当x，y的值相等时，原式=2．

故答案为：

﹣或2．

【点评】本题容易忽视的情况是x，y可能是同一个值这一个情况．

18．若不等式组无解，则m的取值范围是　m≥8　．

【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分，可利用数轴进行求解．

【解答】解：

x＜8在数轴上表示点8左边的部分，x＞m表示点m右边的部分．当点m在8这点或这点的右边时，两个不等式没有公共部分，即不等式组无解．则m≥8．

故答案为：

m≥8．

【点评】本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值，利用数轴能直观的得到，易于理解．

19．一座桥长1200米，一列火车以每秒20米的速度通过这座桥，火车车身长300米，则火车从上桥到离开需要　75　秒．

【分析】从火车从上桥到离开的路程：

桥长+车身=1200+300=1500米，然后根据时间=路程÷速度列式可得结论．

【解答】解：

设火车从上桥到离开需要x秒，

则20x=1200+300，

x=75（秒），

则火车从上桥到离开需要75秒．

故答案为：

75．

【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．

20．若实数a，b满足（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16=0，则a2+b2=　4　．

【分析】把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的．

【解答】解：

令a2+b2=x，则原方程可化为：

x（x﹣8）+16=0，

∴x2﹣8x+16=0，

即（x﹣4）2=0，

∴x﹣4=0，

解得x=4，

即a2+b2=4，

故答案为：

4．

【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理．

21．方程=x﹣1的根为　4　．

【分析】首先根据二次根式的基本性质得出x的取值范围，将无理方程两边平方取消二次根号，整理得一元二次方程，解一元二次方程，将解代回x的取值范围验算即可得出答案．

【解答】解：

由二次根式性质得：

x+5≥0且x﹣1≥0，

∴x≥1．

将=x﹣1两边平方得：

x+5=x2﹣2x+1，

整理得：

x2﹣3x﹣4=0，

分解因式：

（x﹣4）（x+1）=0，

得：

x1=4，x2=﹣1，

∵x≥1，

∴x=4．

故答案为：

4．

【点评】题目考查了无理方程的求解和二次根式的性质，求解无理方程常用的方法是平方法，不过求出的解一定要带回无理方程进行验算，看是否符合二次根式的性质．

22．要使关于x的方程有唯一的解，那么m≠　3　．

【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得方程的解，根据方程有唯一解，可得答案．

【解答】解：

方程两边都乘以（x﹣3），得

x﹣2（x﹣3）=m

x=6﹣m，

∵分式方程有唯一解，

6﹣m﹣3≠0，

m≠3，

故答案为：

3．

【点评】本题考查了分式方程的解，注意分式方程有解的条件是分母不能为零．

三．解答题（共6小题）

23．已知方程组的解x、y满足x+y＜1，且m为正数，求m的取值范围．

【分析】根据消元法，得出x、y的值，再根据x+y＜1，且m为正数，可得答案．

【解答】解：

①×2﹣②，得3x=1+7m

x=，

把x=代入①得+y=1+3m，

y=，

∵x+y＜1，

m．

∵m＞0，

∴0．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出m的取值范围．

24．一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，求这件夹克衫的成本是多少元

【分析】设这件夹克的成本是x元，则标价就为元，售价就为×元，由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可．

【解答】解：

设这件夹克的成本是x元，由题意，得

x（1+50%）×80%﹣x=28，

解得：

x=140．

答：

这件夹克的成本是140元．

【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．

25．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的

【分析】设运动时间为t秒，表示出PC、QC，再根据三角形的面积公式列出方程，然后根据一元二次方程的解法求解即可．

【解答】解：

设运动时间为t秒，则PC=8﹣，QC=6﹣，

由题意得，（8﹣）（6﹣）=××6×8，

整理得，t2﹣100t+900=0，

解得t1=10，t2=90（舍去），

答：

10秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目信息，准确表示出PC、QC是解题的关键，注意单位要统一．

26．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：

（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么

（2）求出原方程组的正确解．

【分析】

（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；

（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．

【解答】解：

（1）把代入方程组得，，

把代入方程组得，．

所以甲把a看成了1，乙把b看成了3．

（2）∵正确的a=﹣1，b=5，

∴，解得：

．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

27．阅读理解题：

定