广州市一模理科数学试题及答案解析.docx
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广州市一模理科数学试题及答案解析
试卷类型:
A
2013年广州市普通高中毕业班综合测试
(一)
数学(理科)
2013.3
本试卷共4页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:
如果事件相互独立,那么.
线性回归方程中系数计算公式,
其中表示样本均值.
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集,集合,,则
A.B.
C.D.
2.已知,其中是实数,i是虚数单位,则i
A.iB.iC.iD.i
3.已知变量满足约束条件则的最大值为
A.B.C.D.
4.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是
A.B.
C.D.
5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是
A.B.C.D.
6.函数是
A.奇函数且在上单调递增B.奇函数且在上单调递增
C.偶函数且在上单调递增D.偶函数且在上单调递增
7.已知e是自然对数的底数,函数e的零点为,函数
的零点为,则下列不等式中成立的是
A.B.
C.D.
8.如图2,一条河的两岸平行,河的宽度m,
一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.
已知km,水流速度为km/h,若客船行
驶完航程所用最短时间为分钟,则客船在静水中
的速度大小为
A.km/hB.km/h图2
C.km/hD.km/h
二、填空题:
本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)
9.不等式的解集是.
10.d.
11.某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料:
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
根据上表可得回归方程,据此模型估计,该型号机器使用年限为10年时维修费用约万元(结果保留两位小数).
12.已知,函数若函数在上的最大值比最小值大,则的值为.
13.已知经过同一点的N个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分,则,.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中,定点,点在直线上运动,当线段最短时,点的极坐标为.
15.(几何证明选讲选做题)
如图3,是的直径,是的切线,与交于点,
若,,则的长为.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数(其中,,)的最大值为2,最小正周
期为.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数图象上的两点的横坐标依次为,为坐标原点,求△的
面积.
17.(本小题满分12分)
甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,乙,丙做对的概率分别为,(>),且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:
0
1
2
3
(1)求至少有一位学生做对该题的概率;
(2)求,的值;
(3)求的数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图4,在三棱柱中,△是边长为的等边三角形,
平面,,分别是,的中点.
(1)求证:
∥平面;
(2)若为上的动点,当与平面所成最大角的正切值为时,
求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.
19.(本小题满分14分)
已知数列的前项和为,且N.
(1)求数列的通项公式;
(2)若是三个互不相等的正整数,且成等差数列,试判断
是否成等比数列?
并说明理由.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,,点在椭圆上,过点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为,且与交于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在满足的点?
若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知二次函数,关于的不等式
的解集为,其中为非零常数.设.
(1)求的值;
(2)R如何取值时,函数存在极值点,并求出极值点;
(3)若,且,求证:
N.
2013年广州市普通高中毕业班综合测试
(一)
数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:
1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:
本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
D
A
C
A
B
二、填空题:
本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.10.11.12.或13.8,
14.15.
说明:
①第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分.
②第14题的正确答案可以是:
Z.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)
(1)解:
∵的最大值为2,且,∴.……………1分
∵的最小正周期为,∴,得.……………2分
∴.……………3分
(2)解法1:
∵,……………4分
,……………5分
∴.
∴.……………8分
∴.………10分
∴.……………11分
∴△的面积为.
……………12分
解法2:
∵,……………4分
,……………5分
∴.(苏元高考吧:
)
∴.……………8分
∴.……………10分
∴.……………11分
∴△的面积为.
……………12分
解法3:
∵,……………4分
,……………5分
∴.
∴直线的方程为,即.……………7分
∴点到直线的距离为.……………9分
∵,……………11分
∴△的面积为.……………12分
17.(本小题满分12分)
(本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)
解:
设“甲做对”为事件,“乙做对”为事件,“丙做对”为事件,由题意知,
.……………1分
(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的,
所以至少有一位学生做对该题的概率是.…………3分
(2)由题意知,……………4分,……………5分
整理得,.
由,解得,.……………7分
(3)由题意知
,………9分
=,……………10分
∴的数学期望为=.
…………12分
18.(本小题满分14分)
(本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法)
解法一:
(1)证明:
延长交的延长线于点,连接.
∵∥,且,
∴为的中点.……………2分
∵为的中点,
∴∥.……………3分
∵平面,平面,
∴∥平面.……………4分
(2)解:
∵平面,平面,
∴.……………5分
∵△是边长为的等边三角形,是的中点,
∴,.
∵平面,平面,,
∴平面.……………6分
∴为与平面所成的角.……………7分
∵,
在Rt△中,,
∴当最短时,的值最大,则最大.……………8分
∴当时,最大.此时,.
∴.……………9分
∵∥,平面,
∴平面.……………10分
∵平面,平面,
∴,.……………11分
∴为平面与平面所成二面角(锐角).……………12分
在Rt△中,,.…13分
∴平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值为.……………14分
解法二:
(1)证明:
取的中点,连接、.
∵为的中点,
∴∥,且.……………1分
∵∥,且,
∴∥,.……………2分
∴四边形是平行四边形.
∴∥.……………3分
∵平面,平面,
∴∥平面.(苏元高考吧:
)……………4分
(2)解:
∵平面,平面,
∴.……………5分
∵△是边长为的等边三角形,是的中点,
∴,.
∵平面,平面,,
∴平面.……………6分
∴为与平面所成的角.……………7分
∵,
在Rt△中,,
∴当最短时,的值最大,则最大.……………8分
∴当时,最大.此时,.
∴.……………9分
在Rt△中,.
∵Rt△~Rt△,
∴,即.
∴.……………10分
以为原点,与垂直的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,
建立空间直角坐标系.
则,,,.
∴,,.
设平面的法向量为,
由,,
得(苏元高考吧:
)
令,则.
∴平面的一个法向量为.……………12分
∵平面,∴是平面的一个法向量.
∴.……………13分
∴平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值为.……………14分
19.(本小题满分14分)
(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力)
(1)解:
,
∴当时,有解得.……………1分
由,①
得,②……………2分
②-①得:
.③……………3分
以下提供两种方法:
法1:
由③式得:
,
即;……………4分
,……………5分
∵,
∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列.
∴,即.……………6分
当时,,……………7分
又也满足上式,
∴.……………8分
法2:
由③式得:
,
得.④……………4分
当时,,⑤……………5分
⑤-④得:
.……………6分
由,得,
∴.