全国卷II含答案高考文科数学.docx

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全国卷II含答案高考文科数学

2013年普通高等学校招生全国统一考试（1新课标Ⅱ卷）

数学（文）试题

一、选择题（本大题共12题,共计60分）

1．已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝（）．

A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}

C．{－2，－1,0}D．．{－3，－2，－1}

2．2＝（）．

1i

A．22

B．2

C．2

D．．1

．设，

满足约束条件

x

y

1

0,

则z＝2x－3y的最小值是（

）．

x

y

1

0,

3

xy

x

3,

A．－7

B．－6

C．－5

D．－3

4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B

π，C

π，

6

4

则△ABC的面积为（

）．

A．2

3+2

B．3+1

C．2

32

D．31

．设椭圆

C

：

x2

y2

＞＞

0）

的左、右焦点分别为

F

1，F2，

5

a

2

b

2=1（a

b

P

是

C

上的点，

PF

2⊥F12，∠PF12＝30°，则C的离心率为（

）．

F

F

A．3

B．1

C．1

D．3

6

3

2

3

．已知

α＝2

，则

cos

2

π＝（

）．

6

sin2

3

4

A．1

B．1

C．1

D．2

6

3

2

3

7．执行下面的程序框图，如果输入的

N＝4，那么输出的

S＝

（

）．

A．1+

111

234

1

B．1+1

3

1

4

1

2

2

2

3

C．1+1

1

1

1

2

3

4

5

D．1+1

3

1

4

1

2

5

4

1

2

2

2

3

3

8．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）．

A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b

9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是（1,0,1），

（1,1,0），（0,1,1），（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，

则得到的正视图可以为（）．

10．设抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若

|AF|＝3|BF|，则l的方程为（

）．

A．y＝x－1或y＝－x＋1

B．y＝3（x

1）或y＝

3（x1）

3

3

C．y＝3（x1）或y＝

3（x1）

3

3

D．y＝2（x

1）或y＝

2（x1）

2

2

32

11．已知函数f（x）＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是（）．

B．函数y＝f（x）的图像是中心对称图形

C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0

12．若存在正数x使2x（x－a）＜1成立，则a的取值范围是（）．

A．（－∞，＋∞）B．（－2，＋∞）

2

C．（0，＋∞）D．（－1，＋∞）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．

14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD＝__________.

．已知正四棱锥

O－ABCD的体积为

32

，底面边长为

3，则以O为球

15

2

心，OA为半径的球的表面积为__________．

16．函数y＝cos（2x＋φ）（－π≤φ＜π）的图像向右平移π个单位后，与函数y

2

＝sin2xπ的图像重合，则φ＝__________.

3

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，

a11，a13成等比数列．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求a1＋a4＋a7＋,＋a3n－2.

3

18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

（1）证明：

BC1∥平面A1CD；

（2）设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．

4

19．（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售

出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，

得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售

季度购进了130t该农产品．以X（单位：

t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内

的市场需求量，T（单位：

元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（1）将T表示为X的函数；

（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．

5

20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得

线段长为22在y轴上截得线段长为23.

（1）求圆心P的轨迹方程；

＝

x

的距离为

2，求圆P的方程．

（2）若P点到直线y

2

2－x

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝xe.

（1）求f（x）的极小值和极大值；

（2）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

6

22．（本小题满分10分）选修4—1：

几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．

（1）证明：

CA是△ABC外接圆的直径；

（2）若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面

积的比值．

7

23．（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程

已知动点P，Q都在曲线C：

x2cost,（t为参数）上，对应参数分别为t＝α

y2sint

与t＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．

（1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标

原点．

24．（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

（1）ab＋bc＋ca≤1；

3

（2）a2b2c2≥1.

bca

8

2013年普通高等学校招生全国统一考试（1新课标Ⅱ卷）

数学（文）试题

答案解析:

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．答案：

C

解析：

由题意可得，M∩N＝{－2，－1,0}．故选C.

2．答案：

C

解析：

∵2

＝1－i，∴

2

＝|1－i|＝2.

1

i

1

i

3．答案：

B

解析：

如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而

目标函数可化为y

2

x

z

，先画出l0：

y＝2

x，当z最小时，直线在

3

3

3

y轴上的截距最大，故最优点为图中的点C，由

x3,

xy10,

可得C（3,4），

代入目标函数得，zmin＝2×3－3×4＝－6.

4．答案：

B

解析：

A＝π－（B＋C）＝πππ7π，

6412

9

由正弦定理得

a

b

，

sinA

sinB

bsinA

2sin

7π

则a

12

6

2，

sinB

sin

π

6

∴S△

ABC

＝1absin

C

1

2

（62）

2

31

2

2

2

.

5．答案：

D

解析：

如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，

设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，

由tan30＝°|PF2|

x

3，得x

23c.

|F1F2|

2c

3

3

而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，

∴a

3x

3c，∴e

c

c

3.

2

a

3c

3

6．答案：

A

解析：

由半角公式可得，cos2

π

4

π

1

2

1cos2

1sin2

1

＝

2

3

.

2

2

2

6

7．答案：

B

解析：

由程序框图依次可得，输入N＝4，T＝1，S＝1，k＝2；

10

T

1，S

1+1，k＝3；

2

2

T

3

1，S＝1+1

3

1，k＝4；

2

2

2

T

4

1

2

，S11

1

2

4

1

，k＝5；

3

2

3

3

2

输出S

1

1

3

1

4

1

2

.

2

2

3

8．答案：

D

解析：

∵log25＞log23＞1，∴log23＞1＞

1

＞

1

＞0，即log2

3

log23

log25

＞1＞log3

＞

5＞，∴＞＞

2

log20cab.

9．答案：

A

解析：

如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：

则它在平面zOx的投影即正视图为，故选A.

10．答案：

C

解析：

由题意可得抛物线焦点F（1,0），准线方程为x＝－1.

当直线l的斜率大于0时，如图所示，过A，B两点分别向准线x＝－1作垂线，垂足分别为M，N，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.

11

设|AM|＝|AF|＝3t（t＞0），|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，

在△AMK中，由|NB|

|BK|，得t

x

，

|AM|

|AK|

3t

x

4t

解得x＝2t，则cos∠NBK＝|NB|

t

1，

|BK|

x

2

∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°.

∴斜率k＝tan60＝°3，故直线方程为y＝3（x－1）．

当直线l的斜率小于0

时，如图所示，同理可得直线方程为

y＝

3（x－1），故选C.

11．答案：

C

解析：

若x0是f（x）的极小值点，则y＝f（x）的图像大致如下图所示，则在（－∞，x0）上不单调，故C不正确．

12

12．答案：

D

1

x

解析：

由题意可得，ax

（x＞0）．

2

x

令f（x）＝x1

2

，该函数在（0，＋∞）上为增函数，可知f（x）的值

域为（－1，＋∞），故a＞－1时，存在正数x使原不等式成立．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．答案：

0.2

解析：

该事件基本事件空间Ω＝{（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），

（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）}共有10个，记A＝“其和为5”＝{（1,4），

（2,3）}有2个，∴P（A）＝2

＝0.2.

10

14．答案：

2

解析：

以AB,AD为基底，则ABAD

0，

而AE

1AB

AD，BD

ADAB，

2

∴AEBD（

1

ABAD）（ADAB）

1

2

2

1

22

22

2.

ABAD

2

2

2

15．答案：

24π

13

解析：

如图所示，在正四棱锥O－ABCD中，VO－ABCD＝1×S正方

3

形ABCD·|OO1|＝1×（3）2×|OO1|＝32，

32

∴|OO

＝32

，|AO

＝

6，

1

|

1

|

2

2

2

2

在Rt△OO1A中，OA＝|OO1|2

|AO1|2＝

32

6

6，

2

2

即R

6，

∴S球＝4πR2＝24π.

16．答案：

5π

6

解析：

y＝cos（2x＋φ）向右平移

π

π

个单位得，y

cos2x

2

2

＝

cos（2x－π＋φ）＝sin2xπ++π=sin2xπ，而它与函数

22

ysin2xπ的图像重合，令2x＋φ－π＝2x＋π＋2kπ，k∈Z，

323

得5π+2kπ，k∈Z.

6

又－π≤φ＜π，∴5π.

6

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：

（1）设{an}的公差为d.

14

由题意，a112＝a1a13，

即（a1＋10d）2＝a1（a1＋12d）．于是d（2a1＋25d）＝0.

又a1＝25，所以d＝0（舍去），d＝－2.

故an＝－2n＋27.

（2）

令

n＝a1＋a4

＋a7

＋,＋a3n

－2

S

.

由

（1）知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．

从而Sn＝n（a1＋a3n－2）＝n（－6n＋56）＝－3n2＋28n.

22

18．解：

（1）连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．

又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.

因为DF?

平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.

（2）因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.

由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.

又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.

由AA1＝AC＝CB＝2，AB

22得∠ACB＝90°，CD

2，

A1D6，DE

3，A1E＝3，

故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.

15

所以VC－A1DE＝1

1

632＝1.

3

2

19．解：

（1）当X∈[100,130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X

－39000.

当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.

800X39000,100X130,

所以T

65000,130X150.

（2）由

（1）知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售

季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

20．解：

（1）设P（x，y），圆P的半径为r.

由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.

从而y2＋2＝x2＋3.

故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.

（2）设P（x0，y0）．由已知得|x0y0|

2.

2

2

又P点在双曲线y2－x2＝1上，

从而得|x0

y0|

1,

y1

2

x0

2

1.

由x0

2

y0

2

1,得x0

0,

y0

x0

1

y0

1.

此时，圆P的半径r＝3.

由x0

2

y0

2

1,得x0

0,

y0

x0

1y0

1.

此时，圆P的半径r

3.

故圆P的方程为x2＋（y－1）2＝3或x2＋（y＋1）2＝3.

21．解：

（1）f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝－e－xx（x－2）．①

16

当x∈（－∞，0）或x∈（2，＋∞）时，f′（x）＜0；

当x∈（0,2）时，f′（x）＞0.

所以f（x）在（－∞，0），（2，＋∞）单调递减，在（0,2）单调递增．

故当x＝0时，f（x）取得极小值，极小值为f（0）＝0；

当x＝2时，f（x）取得极大值，极大值为

f

（2）＝4e－2.

（2）设切点为（t，f（t）），

则l的方程为y＝f′（t）（x－t）＋f（t）．

f（t）

t

t

2

2

所以l在x轴上的截距为m（t）＝t

t

3.

f'（t）

t

2

t

2

由已知和①得t∈（－∞，0）∪（2，＋∞）．

令h（x）＝x

2（x≠0），则当x∈（0，＋∞）时，h（x）的取值范围为

x

[22

，＋∞）；

当x∈（－∞，－2）时，h（x）的取值范围是（－∞，－3）．

所以当t∈（－∞，0）∪（2，＋∞）时，m（t）的取值范围是（－∞，0）

∪[2

23，＋∞）．

综上，l在x轴上的截距的取值范围是（－∞，0）∪[2

2

3，＋∞）．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔

在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；

不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．

22．解：

（1）因为CD为△ABC外接圆的切线，

所以∠DCB＝∠A.

由题设知BC

DC，

FA

EA