1、全国卷II含答案高考文科数学2013 年普通高等学校招生全国统一考试( 1 新课标卷)数学( 文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1已知集合 M x|3x1 ,N 3,2,1,0,1 ,则 MN ( )A 2, 1,0,1 B 3, 2, 1,0C 2,1,0 D 3,2, 12 2 ( )1 iA2 2B2C 2D1设 ,满足约束条件xy10,则 z2x 3y 的最小值是 ()xy10,3x yx3,A7B 6C 5D 34 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b2,B,C,64则 ABC 的面积为 ()A 23+2B 3+1C 23 2D
2、31设椭圆C: x2y2 0)的左、右焦点分别为F1,F2,5a2b2 =1(abP是C上的点,PF2F1 2, PF1 2 30,则 C 的离心率为 ()FFA 3B 1C 1D 36323已知 2,则cos2 ()6sin 234A 1B 1C 1D 263237执行下面的程序框图,如果输入的N 4,那么输出的S()A1+1 1 12 3 41B1+ 131412223C1+ 11112345D1+ 131412541222338设 alog32, b log52, clog23,则 ( )A acb Bbca Ccba Dcab9一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是
3、 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时, 以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ( )10设抛物线 C:y2 4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点若|AF| 3|BF|,则 l 的方程为 ()A yx1 或 y x 1By 3 ( x1) 或 y3 (x 1)33Cy 3 ( x 1)或 y3 (x 1)33Dy 2 ( x1) 或 y2 ( x 1)223 211已知函数 f(x)x ax bxc,下列结论中错误的是 ( )B函数 yf(x)的图像是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点,
4、则 f(x)在区间 (, x0)单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点,则 f(x0) 012若存在正数 x 使 2x(xa) 1 成立,则 a 的取值范围是 ( )A(, ) B(2, )2C(0, ) D(1, )二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 _14已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE BD _.已知正四棱锥OABCD 的体积为3 2,底面边长为3,则以 O 为球152心, OA 为半径的球的表面积为 _16函数 y cos(2x)()的图像向右平移 个单位后,与函数
5、y2 sin 2x 的图像重合,则 _.3三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 (本小题满分 12 分 )已知等差数列 an 的公差不为零, a125,且 a1,a11,a13 成等比数列(1)求 an 的通项公式;(2)求 a1a4a7, a3n 2.318 (本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC A1B1C1 中,D,E 分别是 AB, BB1 的中点(1)证明: BC1平面 A1CD;(2)设 AA1ACCB2,AB 2 2 ,求三棱锥 CA1DE 的体积419 (本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500
6、 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位: t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量, T(单位:元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数;(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率520 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 在 y 轴上截得线段长为 2 3 .(1)求圆心 P 的轨迹方程;x的距离为2 ,求圆 P 的方程(2)若
7、P 点到直线 y22 x21 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x e .(1)求 f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线 y f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围622 (本小题满分 10 分)选修 4 1:几何证明选讲如图, CD 为 ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D, E,F分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BCAE DCAF,B,E,F,C 四点共圆(1)证明: CA 是 ABC 外接圆的直径;(2)若 DBBEEA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值723 (本小题满分 10
8、分)选修 4 4:坐标系与参数方程已知动点 P,Q 都在曲线 C: x 2cos t, (t 为参数 )上,对应参数分别为 ty2sin t与t 2(02),M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程;(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点24 (本小题满分 10 分)选修 4 5:不等式选讲设 a, b,c 均为正数,且 a b c1.证明:(1)abbc ca 1 ;3(2) a2 b2 c2 1.b c a82013 年普通高等学校招生全国统一考试( 1 新课标卷)数学( 文)试题答案解析 :第卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小
9、题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1答案: C解析: 由题意可得, MN 2, 1,0故选 C.2答案: C解析: 21i,2|1i| 2 .1i1i3答案: B解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而目标函数可化为 y2xz,先画出 l0:y 2x ,当 z 最小时,直线在333y 轴上的截距最大,故最优点为图中的点 C,由x 3,x y 1 0,可得 C(3,4),代入目标函数得, zmin2334 6.4答案: B解析: A(BC) 7,6 4 129由正弦定理得ab,sin Asin Bb sin A2sin7则 a1262 ,sin Bsi
10、n6SABC 1 ab sinC12(62)23 1222.5答案: D解析: 如图所示,在 RtPF1F2 中, |F1F2|2c,设|PF2|x,则 |PF1|2x,由 tan 30 | PF2 |x3 ,得 x2 3 c .| F1F2 |2c33而由椭圆定义得, |PF1|PF2|2a3x, a3 x3c , ecc3 .2a3c36答案: A解析: 由半角公式可得, cos24121 cos 21 sin 2123.22267答案: B解析: 由程序框图依次可得,输入 N4,T1, S1, k2;10T1 , S1+ 1 ,k3;22T31 ,S1+ 131 ,k4;222T412,
11、S111241,k5;32332输出 S1131412.2238答案: D解析:log25 log231,log23111 0,即 log23log 2 3log 2 51log35,2log 2 0c a b.9答案: A解析: 如图所示,该四面体在空间直角坐标系 Oxyz 的图像为下图:则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ,故选 A.10答案: C解析: 由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x 1.当直线 l 的斜率大于 0 时,如图所示,过 A,B 两点分别向准线x 1 作垂线,垂足分别为 M,N,则由抛物线定义可得, |AM|AF|,|BN|BF|.11设|AM|AF|3
12、t(t0),|BN|BF|t,|BK|x,而 |GF|2,在 AMK 中,由 | NB | BK | ,得 tx,|AM |AK|3tx4t解得 x2t,则 cosNBK | NB |t1 ,|BK |x2 NBK60,则 GFK60,即直线 AB 的倾斜角为 60.斜率 ktan 60 3 ,故直线方程为 y 3( x1)当直线 l 的斜率小于 0时,如图所示,同理可得直线方程为y3( x1),故选 C.11答案: C解析:若 x0 是 f(x)的极小值点,则 yf(x)的图像大致如下图所示,则在 (,x0)上不单调,故 C 不正确1212答案: D1x解析: 由题意可得, a x(x0)2
13、x令 f(x) x 12,该函数在 (0, )上为增函数,可知 f(x)的值域为 (1, ),故 a 1 时,存在正数 x 使原不等式成立二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13答案: 0.2解析:该事件基本事件空间 (1,2) ,(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) 共有 10 个,记 A“其和为 5”(1,4) ,(2,3) 有 2 个, P(A) 20.2.1014答案: 2解析: 以 AB, AD 为基底,则 AB AD0 ,而 AE1 ABAD,BDAD AB,2AE BD (1AB AD ) (AD A
14、B)122122222 .ABAD22215答案: 2413解析: 如图所示,在正四棱锥 OABCD 中, VOABCD 1 S 正方3形ABCD |OO1| 1 ( 3) 2 |OO1| 3 2 ,3 2 |OO 3 2,|AO6 ,1|1|2222在 RtOO1A 中, OA | OO1 |2|AO1|2 3 266 ,22即 R6 ,S 球4R224.16答案: 56解析: ycos(2x)向右平移个单位得, ycos 2 x22cos(2x ) sin 2x + + =sin 2x , 而 它 与 函 数2 2y sin 2x 的图像重合,令 2x 2x 2k,kZ,3 2 3得5+2
15、k,kZ.6又 , 5.6三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17解: (1)设 an 的公差为 d.14由题意, a112 a1a13,即(a110d)2a1(a112d)于是 d(2a125d)0.又a125,所以 d0(舍去 ),d 2.故an 2n27.(2)令na1 a4a7, a3n 2S.由(1)知 a3n2 6n31,故 a3n 2 是首项为 25,公差为 6 的等差数列从而 Sn n (a1a3n 2) n (6n56) 3n228n.2 218解: (1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点又D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1D
16、F.因为 DF? 平面 A1CD,BC1 平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD.(2)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1CD.由已知 AC CB,D 为 AB 的中点,所以 CDAB.又AA1ABA,于是 CD平面 ABB1A1.由 AA1 AC CB 2, AB2 2 得 ACB 90, CD2 ,A1D6, DE3 ,A1E3,故A1D2DE2A1E2,即 DEA1D.15所以 VCA1DE 116 3 21.3219解: (1)当 X100,130)时, T 500X 300(130X)800X39 000.当X 130,150时, T50013065 000.80
17、0X 39000,100 X 130,所以 T65000,130 X 150.(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.20解: (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r .由题设 y22r2,x23r2.从而 y22x23.故 P 点的轨迹方程为 y2x21.(2)设 P(x0,y0)由已知得 | x0 y0 |2 .22又 P 点在双曲线 y2x21 上,从而得 | x0y0 |1,y12x021.由 x02y021,
18、得 x00,y0x01y01.此时,圆 P 的半径 r 3.由 x02y021, 得 x00,y0x01y01.此时,圆 P 的半径 r3 .故圆 P 的方程为 x2(y1)23 或 x2(y1)23.21解: (1)f(x)的定义域为 (, ),f(x) exx(x2)16当x(,0)或 x(2, )时, f(x)0;当x(0,2)时, f(x)0.所以 f(x)在(,0),(2, )单调递减,在 (0,2)单调递增故当 x0 时, f(x)取得极小值,极小值为 f(0)0;当 x2 时, f(x)取得极大值,极大值为f(2)4e2.(2)设切点为 (t,f(t),则 l 的方程为 yf(t
19、)(xt)f(t)f (t )tt22所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t) tt3 .f (t)t2t2由已知和得 t (,0)(2, )令 h(x) x2 (x0),则当 x(0, )时, h(x)的取值范围为x 2 2, );当 x(, 2)时, h(x)的取值范围是 (, 3)所以当 t(,0)(2, )时, m(t)的取值范围是 (,0) 22 3,)综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是 (,0) 223 ,)请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答, 并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分22解: (1)因为 CD 为 ABC 外接圆的切线,所以 DCB A.由题设知 BCDC ,FAEA
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