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1、全国卷II含答案高考文科数学2013 年普通高等学校招生全国统一考试（ 1 新课标卷）数学( 文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1已知集合 M x|3x1 ，N 3，2，1,0,1 ，则 MN ( )A 2， 1,0,1 B 3， 2， 1,0C 2，1,0 D 3，2， 12 2 ( )1 iA2 2B2C 2D1设 ，满足约束条件xy10,则 z2x 3y 的最小值是 ()xy10,3x yx3,A7B 6C 5D 34 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B，C，64则 ABC 的面积为 ()A 23+2B 3+1C 23 2D

2、31设椭圆C： x2y2 0)的左、右焦点分别为F1，F2，5a2b2 =1(abP是C上的点，PF2F1 2， PF1 2 30，则 C 的离心率为 ()FFA 3B 1C 1D 36323已知 2，则cos2 ()6sin 234A 1B 1C 1D 263237执行下面的程序框图，如果输入的N 4，那么输出的S()A1+1 1 12 3 41B1+ 131412223C1+ 11112345D1+ 131412541222338设 alog32， b log52， clog23，则 ( )A acb Bbca Ccba Dcab9一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是

3、 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时， 以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为 ( )10设抛物线 C：y2 4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF| 3|BF|，则 l 的方程为 ()A yx1 或 y x 1By 3 ( x1) 或 y3 (x 1)33Cy 3 ( x 1)或 y3 (x 1)33Dy 2 ( x1) 或 y2 ( x 1)223 211已知函数 f(x)x ax bxc，下列结论中错误的是 ( )B函数 yf(x)的图像是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点，

4、则 f(x)在区间 (， x0)单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0) 012若存在正数 x 使 2x(xa) 1 成立，则 a 的取值范围是 ( )A(， ) B(2， )2C(0， ) D(1， )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 _14已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE BD _.已知正四棱锥OABCD 的体积为3 2，底面边长为3，则以 O 为球152心， OA 为半径的球的表面积为 _16函数 y cos(2x)()的图像向右平移 个单位后，与函数

5、y2 sin 2x 的图像重合，则 _.3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 (本小题满分 12 分 )已知等差数列 an 的公差不为零， a125，且 a1，a11，a13 成等比数列(1)求 an 的通项公式；(2)求 a1a4a7, a3n 2.318 (本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，D，E 分别是 AB， BB1 的中点(1)证明： BC1平面 A1CD；(2)设 AA1ACCB2，AB 2 2 ，求三棱锥 CA1DE 的体积419 (本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500

6、 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图， 如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位： t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率520 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 在 y 轴上截得线段长为 2 3 .(1)求圆心 P 的轨迹方程；x的距离为2 ，求圆 P 的方程(2)若

7、P 点到直线 y22 x21 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x e .(1)求 f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线 y f(x)的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围622 (本小题满分 10 分)选修 4 1：几何证明选讲如图， CD 为 ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD 于点 D， E，F分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BCAE DCAF，B，E，F，C 四点共圆(1)证明： CA 是 ABC 外接圆的直径；(2)若 DBBEEA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值723 (本小题满分 10

8、分)选修 4 4：坐标系与参数方程已知动点 P，Q 都在曲线 C： x 2cos t, (t 为参数 )上，对应参数分别为 ty2sin t与t 2(02)，M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点24 (本小题满分 10 分)选修 4 5：不等式选讲设 a， b，c 均为正数，且 a b c1.证明：(1)abbc ca 1 ；3(2) a2 b2 c2 1.b c a82013 年普通高等学校招生全国统一考试（ 1 新课标卷）数学( 文)试题答案解析 :第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小

9、题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案： C解析： 由题意可得， MN 2， 1,0故选 C.2答案： C解析： 21i，2|1i| 2 .1i1i3答案： B解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为 y2xz，先画出 l0：y 2x ，当 z 最小时，直线在333y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点 C，由x 3,x y 1 0,可得 C(3,4)，代入目标函数得， zmin2334 6.4答案： B解析： A(BC) 7，6 4 129由正弦定理得ab，sin Asin Bb sin A2sin7则 a1262 ，sin Bsi

10、n6SABC 1 ab sinC12(62)23 1222.5答案： D解析： 如图所示，在 RtPF1F2 中， |F1F2|2c，设|PF2|x，则 |PF1|2x，由 tan 30 | PF2 |x3 ，得 x2 3 c .| F1F2 |2c33而由椭圆定义得， |PF1|PF2|2a3x， a3 x3c ， ecc3 .2a3c36答案： A解析： 由半角公式可得， cos24121 cos 21 sin 2123.22267答案： B解析： 由程序框图依次可得，输入 N4，T1， S1， k2；10T1 ， S1+ 1 ，k3；22T31 ，S1+ 131 ，k4；222T412，

11、S111241，k5；32332输出 S1131412.2238答案： D解析：log25 log231，log23111 0，即 log23log 2 3log 2 51log35，2log 2 0c a b.9答案： A解析： 如图所示，该四面体在空间直角坐标系 Oxyz 的图像为下图：则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ，故选 A.10答案： C解析： 由题意可得抛物线焦点 F(1,0)，准线方程为 x 1.当直线 l 的斜率大于 0 时，如图所示，过 A，B 两点分别向准线x 1 作垂线，垂足分别为 M，N，则由抛物线定义可得， |AM|AF|，|BN|BF|.11设|AM|AF|3

12、t(t0)，|BN|BF|t，|BK|x，而 |GF|2，在 AMK 中，由 | NB | BK | ，得 tx，|AM |AK|3tx4t解得 x2t，则 cosNBK | NB |t1 ，|BK |x2 NBK60，则 GFK60，即直线 AB 的倾斜角为 60.斜率 ktan 60 3 ，故直线方程为 y 3( x1)当直线 l 的斜率小于 0时，如图所示，同理可得直线方程为y3( x1)，故选 C.11答案： C解析：若 x0 是 f(x)的极小值点，则 yf(x)的图像大致如下图所示，则在 (，x0)上不单调，故 C 不正确1212答案： D1x解析： 由题意可得， a x(x0)2

13、x令 f(x) x 12，该函数在 (0， )上为增函数，可知 f(x)的值域为 (1， )，故 a 1 时，存在正数 x 使原不等式成立二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13答案： 0.2解析：该事件基本事件空间 (1,2) ，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5) 共有 10 个，记 A“其和为 5”(1,4) ，(2,3) 有 2 个， P(A) 20.2.1014答案： 2解析： 以 AB, AD 为基底，则 AB AD0 ，而 AE1 ABAD，BDAD AB，2AE BD (1AB AD ) (AD A

14、B)122122222 .ABAD22215答案： 2413解析： 如图所示，在正四棱锥 OABCD 中， VOABCD 1 S 正方3形ABCD |OO1| 1 ( 3) 2 |OO1| 3 2 ，3 2 |OO 3 2，|AO6 ，1|1|2222在 RtOO1A 中， OA | OO1 |2|AO1|2 3 266 ，22即 R6 ，S 球4R224.16答案： 56解析： ycos(2x)向右平移个单位得， ycos 2 x22cos(2x ) sin 2x + + =sin 2x ， 而 它 与 函 数2 2y sin 2x 的图像重合，令 2x 2x 2k，kZ，3 2 3得5+2

15、k，kZ.6又 ， 5.6三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解： (1)设 an 的公差为 d.14由题意， a112 a1a13，即(a110d)2a1(a112d)于是 d(2a125d)0.又a125，所以 d0(舍去 )，d 2.故an 2n27.(2)令na1 a4a7, a3n 2S.由(1)知 a3n2 6n31，故 a3n 2 是首项为 25，公差为 6 的等差数列从而 Sn n (a1a3n 2) n (6n56) 3n228n.2 218解： (1)连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点又D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1D

16、F.因为 DF? 平面 A1CD，BC1 平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1CD.由已知 AC CB，D 为 AB 的中点，所以 CDAB.又AA1ABA，于是 CD平面 ABB1A1.由 AA1 AC CB 2， AB2 2 得 ACB 90， CD2 ，A1D6， DE3 ，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即 DEA1D.15所以 VCA1DE 116 3 21.3219解： (1)当 X100,130)时， T 500X 300(130X)800X39 000.当X 130,150时， T50013065 000.80

17、0X 39000,100 X 130,所以 T65000,130 X 150.(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.20解： (1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r .由题设 y22r2，x23r2.从而 y22x23.故 P 点的轨迹方程为 y2x21.(2)设 P(x0，y0)由已知得 | x0 y0 |2 .22又 P 点在双曲线 y2x21 上，从而得 | x0y0 |1,y12x021.由 x02y021,

18、得 x00,y0x01y01.此时，圆 P 的半径 r 3.由 x02y021, 得 x00,y0x01y01.此时，圆 P 的半径 r3 .故圆 P 的方程为 x2(y1)23 或 x2(y1)23.21解： (1)f(x)的定义域为 (， )，f(x) exx(x2)16当x(，0)或 x(2， )时， f(x)0；当x(0,2)时， f(x)0.所以 f(x)在(，0)，(2， )单调递减，在 (0,2)单调递增故当 x0 时， f(x)取得极小值，极小值为 f(0)0；当 x2 时， f(x)取得极大值，极大值为f(2)4e2.(2)设切点为 (t，f(t)，则 l 的方程为 yf(t

19、)(xt)f(t)f (t )tt22所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t) tt3 .f (t)t2t2由已知和得 t (，0)(2， )令 h(x) x2 (x0)，则当 x(0， )时， h(x)的取值范围为x 2 2， )；当 x(， 2)时， h(x)的取值范围是 (， 3)所以当 t(，0)(2， )时， m(t)的取值范围是 (，0) 22 3，)综上，l 在 x 轴上的截距的取值范围是 (，0) 223 ，)请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答， 并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分22解： (1)因为 CD 为 ABC 外接圆的切线，所以 DCB A.由题设知 BCDC ，FAEA