最优控制习题及参考问题详解.docx

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最优控制习题及参考问题详解

最优控制习题及参考答案

习题1求通过x（0）=1，x

（1）=2，使下列性能指标为极值的曲线：

tf

J=∫

（x2+1）dt

t0

解：

由已知条件知：

t0=0，tf=1

d

由欧拉方程得：

（2x）=0

dt

x=C1

x=C1t+C2

将x（0）=1，x

（1）=2代入，有：

C2=1，C1=1

得极值轨线：

x*（t）=t+1

习题2求性能指标：

J=∫

1

（x2+1）dt

0

在边界条件x（0）=0，x

（1）是自由情况下的极值曲线。

12

解：

由上题得：

x*（t）=Ct+C

x*（t）

x

由x（0）=0得：

C2=0

0

∂L

由

∂x

t=tf

=2x（tf）=2C1t=t=0t

f

01

于是：

x*（t）=0

【分析讨论】对于任意的x（0）=x0，x

（1）自由。

2010

有：

C=x，C=0，即：

x*（t）=x

其几何意义：

x

（1）自由意味着终点在虚线上任意点。

习题3已知系统的状态方程为：

x1（t）=x2（t），x2（t）=u（t）

边界条件为：

x1（0）=x2（0）=1，x1（3）=x2（3）=0，

31

∫

试求使性能指标J=

0

u2（t）dt2

取极小值的最优控制u*（t）以及最优轨线x*（t）。

⎡x⎤

解：

由已知条件知：

f=⎢2⎥

⎢⎣u⎥⎦

Hamiton函数：

H=L+λTf

H=1u2+λx

+λu

⎧λ=0

⎩λ=−λ

由协态方程：

⎨1

21

2122

⎧λ=C①

得：

⎨11

⎩λ2=−C1t+C2②

∂H

由控制方程：

∂u

=u+λ2=0

得：

u=−λ2=C1t−C2③

由状态方程：

x2=u=C1t−C2

得：

x（t）=1Ct2−Ct+C④

22

由状态方程：

x1=x2

123

得：

x（t）=1Ct3−1Ct2+Ct+C⑤

161

2234

⎡1⎤

⎡0⎤

将x（0）=⎢⎥，x（3）=⎢0⎥代入④，⑤,

⎣1⎦⎣⎦

10

联立解得：

C1=

由③、④、⑤式得：

u*（t）=10t−2

9

，C2=2，C3=C4=19

1

x*（t）=

5t3−t2+t+1

27

x*（t）=5t2−2t+1

29

习题4已知系统状态方程及初始条件为

x=u，

x（0）=1

试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

1

∫

J=

0

解：

H=x2e2t+u2e2t+λu

⎪

⎧x=u

列方程：

⎨λ=−2xe2t

⎩

⎪2e2tu+λ=0

（x2+u2）e2tdt

①

②

③

由③得，u

代入①得，

x

1e−2tλ④

=−

2

1e−2tλ

=−

2

x1e−2tλ

e−2tλ

=−+

2

将②，③代入，并考虑到u=x

x

1e−2t（−2xe2t）+e−2t（−2e2tx）2

=−

整理可得：

x+2x−x=0

特征方程：

s2+2s−1=0

s1=−1+

2，s2=−1−2

12

于是得：

x*（t）=Ces1t+Ces2t

）=u=

λ*（t③−2e2t①−2e2tx

λ*（t）=−2e2t

（C1s1e

s1t+Cses2t）

22

s2

由x（0）=1，得：

C1+C2=1⑤

s1

由λ（tf）=λ

（1）=0得：

C1s1e

+C2s2e=0⑥

⑤、⑥联立，可得C1、C2

求导

代回原方程可得x*→u*

（略）

习题5求使系统：

x1=x2，x2=u

由初始状态x1（0）=x2（0）=0

出发，在tf

=1时转移到目标集

1

x1

（1）+x2

（1）=1，并使性能指标J=∫

1

u2（t）dt

20

为最小值的最优控制u*（t）及相应的最优轨线x*（t）。

解：

本题f（i），L（i）与习题3同，故H（i）相同→方程同→通解同

⎧λ1=C1，λ2=−C1t+C2

⎪

⎪x=1Ct3−1Ct2+Ct+C

⎨

有：

⎪

1612234

⎪x=1Ct2−Ct+C

⎪22

⎪

123

⎩u=C1t−C2

⎡0⎤

x（0）=⎢⎥

⎣0⎦

由，有：

C3=C4=0①

由x1

（1）+x2

（1）=1，有：

1C

–1C

+1C−C=1

6122

212

2C−3C=1②

3122

∂ϕ∂ψT

由λ

（1）=+⋅γ=0，ψ=x1+x2−1

∂x∂x

⎡1⎤

有：

λ

（1）=⎢⎥γ=0⇒λ

（1）=λ

（1）

⎢⎣1⎥⎦12

于是：

C1=−C1+C2

2C1=C2③

36

②、③联立，得：

C1=-、C2=-

77

于是：

u*=−3t+6

77

x*=−1t3+3t2

1147

x*=−3t2+6t

2147

习题6已知一阶系统：

x（t）=−x（t）+u（t），x（0）=3

f

（１）试确定最优控制u*（t），使系统在t=2时转移到x

（2）=0，并使性

能泛函

∫

2

J=（1+u2）dt=min

0

ff

（２）如果使系统转移到x（t）=0的终端时间t自由，问u*（t）应如何确定？

解：

H=1+u2+λu−λx

⎪

⎧x=−x+u

列方程：

⎨λ=λ

⎩

⎪2u+λ=0

1

由协态方程得：

λ=Cet①

1t

由控制方程：

u

=−C1e②

−t

2

①tf

1t

代入状态方程：

x=−x−C1e

2

=2，x

（2）=0

⇒x（t）=C2e

–

1Cet

41

C

⎧−1C=3

⎪241

⎨

⎪Ce−2−1Ce2=0

⎩⎪241

12

解得：

C1=4，

e−1

3e4

C2=4

e−1

代入②得：

u*（t）=−

②x（tf）=2，tf自由

6et

e4−1

C

⎧−1C=3

⎪241

⎪

⎪

Ce−tf

–

1Cetf=0

4

⎨21

⎪

⎪H（tf）=0

⎪

⎩

解得：

C1=

40−6=0.325

u*（t）=−0.162et

习题7设系统状态方程及初始条件为

x（t）=u（t），x（0）=1

试确定最优控制u*（t），使性能指标

1tf2

f∫

J=t+

20

udt

为极小，其中终端时间tf未定，

x（tf）=0。

解：

H=1u2+λu

2

由协态方程得：

λ=0

→λ=C1①

由控制方程：

u+λ=0

→u=−C1②

由状态方程：

x=u=−C1

⇒x（t）=−C1t+C2③

由始端：

x（0）=1

→C2=1

由末端：

x（tf）=0

→−C1tf+1=0④

∂ϕ

考虑到：

H（tf）=−

t

–

∂ψ

t

⋅γ=−1

∂f∂f

12

有：

u+λu=−1

2

1C2−C2=−1⇒C2=2

2111

C1=±2⑤

当C1=

2时，代入④

有：

tf

=1=1

C12

当C1=−

2时，代入④

有：

tf

=1=−1，不合题意，故有C=2

1

C12

最优控制

u*=−2

习题8设系统状态方程及初始条件为

x1（t）=x2（t），x1（0）=2

性能指标为

x2（t）=u（t），

J=1∫tfu2dt

x2（0）=1

20

要求达到x（tf）=0，试求：

（1）tf

=5时的最优控制u*（t）；

f

（2）t自由时的最优控制u*（t）；解：

本题f（i），L（i），H（i）与前同，故有

⎧

⎪λ1=C1

⎪

⎪λ2=−C1t+C2

⎪x=1Ct3−1Ct2+Ct+C

6

⎨11

⎪

2234

⎪x=1Ct2−Ct+C

⎪22

⎪

123

⎪⎩u=C1t−C2

⎡2⎤

⎡0⎤

⎪

⎧C4=2

⎪C3=1

⎪12525

①由x（0）=⎢⎥

x（5）=⎢0⎥，得：

⎨

C1−

C2+5C3+C4=0

⎣1⎦

⎣⎦⎪62

⎪25

C

−5C+C=0

⎪123

⎩2

联立得：

C1=0.432，C2=1.28，

⇒u*

=0.432t−1.28

②tf自由

⎧

⎪C=1

⎪4

⎪C3=2

⎪

1Ct3−1Ct2+Ct

+C=0

6

⎨1f

⎪

22f3f4

⎪1Ct2−Ct

+C=0

⎪21f

⎪

2f3

⎪⎩H（tf）=0

联立有：

C2t2−2Ct

+2=0，无论C为何值，t均无实解。

2f2f2f

习题9给定二阶系统

x（t）=x（t）+1，x（0）=−1

12414

1

x2（t）=u（t），

1

x2（0）=−

4

控制约束为u（t）≤，要求最优控制u*（t），使系统在t=t

2f

并使

时转移到x（tf）=0，

其中tf自由。

∫

tf

J=u2（t）dt=min

0

解：

H=u2+λx

+1λ

+λu

12412

⎧−1λλ≤1

⎪222

⎪

本题属最小能量问题，因此：

u*（t）=⎪−1

λ>1

2

⎨2

⎪

⎪1λ

<−1

2

⎪2

⎩

⎧⎪λ=0→λ=C

由协态方程：

⎨111

21212

⎪⎩λ=−λ→λ=−Ct+C

λ2是t的直线函数。

当u*（t）=−1λ

=1Ct−1C

时（试取）

222122

x（t）=1Ct2−1Ct+C

241

223

x（t）=

1Ct3−1Ct2+1t+Ct+C

1121

42434

1

由始端条件→C3=C4=

4

由末端条件→

1Ct3−1Ct

2+1t

+1=0

121f

42f

2f4

1Ct2−1Ct

+1=0

41f

22f4

另：

H（tf）=0

1

联立解得：

C1=，C2=0，t=3

9f

于是，λ

1t⎧λ2=1时，t<0

2=−⎨

9⎩λ2

=−1时，t=9

在t从0→3段，λ2

≤1满足条件。

故，u*

=−

1λ=1t

2218

1

01234t

习题10设二阶系统

x1（t）=−x1（t）+u（t），x1（0）=1

x2（t）=x1（t），

x2（0）=0

控制约束为u（t）≤1，当系统终端自由时，求最优控制u*（t），使性能指标

J=2x1

（1）+x2

（1）

取极小值，并求最优轨线x*（t）。

解：

由题意，f

⎡−x1+u⎤

=，

ϕ=x

+x,

L=0，⇒

H=λu−λx

+λx

⎢⎥12

11121

⎣x1⎦

⎨−1

由控制方程可得：

u*=⎧+1

⎩

λ1<0

λ1>0

⎧λ

=λ−λ

⇒λ=Cet+C

由协态方程可得：

⎨

112121

⎩λ2=0

∂ϕ⎡2⎤

⇒λ2=C1

由λ（t

）==⎢⎥

⇒C=1，C

=e−1

f

∂x（tf）

⎣1⎦12

⎧λ=et−1+1→在t>0的围λ>1

⇒⎨11

故：

u*=−1

t∈[0,1]

⎩λ2=1

若需计算最优轨线，只需把u*=−1代入状态方程，可得：

⎧x*（t）=2e−t−1

⎪1

⎨

x*（t）=−2e−t−t+2

⎩⎪2

习题11设系统状态方程为

x1（t）=x2（t），x1（0）=x10

∫

性能指标为J=1

20

x2（t）=u（t），

∞

1

（4x2+u2）dt

x2（0）=x20

试用调节器方法确定最优控制u*（t）。

⎡01⎤

解：

由已知条件得：

A=⎢⎥

⎣00⎦

⎡0⎤

，B=⎢⎥，

⎣1⎦

⎡40⎤

Q=⎢⎥

⎣00⎦

，R=1

⎢10⎥

∵[BAB]=⎡01⎤

⎣⎦

∴可控——最优解存在

考虑到

Q=⎡40⎤=⎡2⎤[20]=DTD，故

⎢00⎥⎢0⎥

⎣⎦⎣⎦

D=[20]

⎡D⎤⎡20⎤

∵⎢⎥=⎢⎥

⎣DA⎦⎣02⎦

∴闭环系统渐近稳定

由Riccati方程ATP+PA−PBR−1BTP+Q=0，有

⎡00⎤⎡P1

P2⎤+⎡P1

P2⎤⎡01⎤−⎡P1

P2⎤⎡0⎤[01]⎡P1

P2⎤+⎡40⎤=0

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎣10⎦⎣P2

P3⎦⎣P2

P3⎦⎣00⎦

⎣P2

P3⎦⎣1⎦

⎣P2

P3⎦

⎣00⎦

22

⎧−P2+4=0→P

=±2（取+2舍−2）

⎪

展开得：

⎨P1−P2P3=0→P1=±4（由正定舍−4）

⎪2P−P2=0→P2=2P

→P=±2

⎩23323

⎡42⎤

故P=⎢⎥

⎣22⎦

于是，u*=−R−1BTPx=−2x

–

2x

12

12

即：

u*（t）=−2x（t）−2x（t）