2a2
代入数据得：
\'T-:
【总结方法】带电粒子在电场中的平衡问题一般是分析带电粒子在电场中所受的力（重
力、库仑力、电场力、弹力、摩擦力等），根据物体平衡条件列出平衡方程解之；带电粒子在电场中的加速一般根据动能定理由电场力做功等于动能变化列方程求解。
变式i:
如图所示，匀强电场方向沿x轴的正方向，场强为E。
在A（d，0）点有一个静止的中
性微粒，由于内部作用，某一时刻突然分裂成两个质量均为m的带电微粒，其中电荷量为q
的微粒1沿y轴负方向运动，经过一段时间到达（0,—d）点。
不计重力和分裂后两微粒间
的作用。
试求：
/
0
AU.f））:
——Si
（1）分裂时两个微粒各自的速度；
（2）当微粒1到达（0,—d）点时，电场力对微粒1做功的瞬时功率；
（3）当微粒1到达（0,—d）点时，两微粒间的距离。
【解析】
（1）设分裂时微粒1的初速度为V1，到达（0，—d）点所用时间为t。
依题意可知微粒1带负电，在电场力的作用下做类平抛运动，得下列方程：
£d
Xd•丄at3
2②
③
V
由①②③解得J..'.-.I④
根号外的负号表示沿y轴的负方向。
设分裂时另一微粒2的速度为V2,根据动量守恒定律二4一〔•」⑤
］鼬Ed
得⑥
（2）当微粒1运动到B（0,—d）点时，速度在x轴方向上的分量为下士，贝y
■■•X'X.⑦
J畑lEd
由③⑦解得‘二'’II：
电场力对它做功的瞬时功率
p•qEvE・为
（3）中性微粒分裂时，根据电荷守恒定律，微粒2带等量的正电荷，所受电场力沿x
1到达B（0,—d）
轴的正方向，在电场力的作用下也做类平抛运动。
根据对称性，当微粒点时，微粒2运动到C（2d,d）点，此时两微粒间的距离是
BC•価兀丽.2血
（二）不计重力的带电粒子在磁场中的运动：
1、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动规律:
1洛伦兹力提供向心力：
qvB=m。
-2於2戲
3周期（与V、r无关）。
vqB2兀“上qB
4角速度公式：
3=—
Tm
一、12P1（洒丫
5动能公式：
Ek=-mv=^=—。
2加加
2、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的几个重要几何关系
1在运动平面内，速度方向的垂线必然经过圆心如图甲所示。
2弦的垂直平分线必然经过圆心，如图乙所示。
3偏向角等于圆心角。
如图丙所示。
4圆心角a等于弦切角B的2倍，如图丁所示。
丁
半径以及偏
根据以上几何关系，可以确定带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的圆心、转角度等。
问题2、带电粒子在有界磁场中的运动问题：
如图所示，MN、PQ是平行金属板，板长为L,两板间距离为d，PQ板带正电，MN板带负电，在PQ板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场。
一个电荷量q、质量为m的带负电粒子以速度vo从MN板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘
飞进磁场，然后又恰好从PQ板的右端飞进电场。
不计粒子重力。
试求：
（1）两金属板间所加电压
U的大小；
（2）
匀强磁场的磁感应强度
B
■
的大小；
KX
冥X
MX
X
XX
M
«X
B
MM-
X
M
KX
K
XM.
X
冨
X
严Pn
-■
【解析】
（1）解法一：
如图所示，设带电粒子在平行金属板匀强电场中运动的时间为t，由类平抛运动可知：
Ltvot
dt-at2
2
m
d（
联立求解①~④式解得:
Tj严J"
ql?
qU丄肿X-mv
解法二：
设带电粒子第一次飞出电场时的速度为v即由动能定理_J
行2mv03d3
2■如2.*U•———
和①③④联立可得•丄"。
（2）解法一：
带电粒子以速度v飞出电场后射入匀强磁场做匀速圆周运动，如上
图所示，由
口Q
qvB—
R
~L
£m——
&Vy
sm（）•—
v
vylat
联立以上有关方程可得〔-”
解法二：
由下列常规方法求解：
1
tan—
cos。
芒
V
心L
SU1（）•—
2R
口Q
q廿E・m—
R
4mvnd
B■—
联立以上有关方程式求解可得：
:
。
【方法总结】本题是比较复杂的题型，涉及到带电粒子先在匀强电场运动后再进入
单边有界磁场中运动的情形，对于在匀强电场中的类平抛运动是容易的，接着进入磁场后粒
子只在磁场力作用下运动，审题时一定要注意题设条件的解读。
对于这类问题解决的办法比
较多，解题时根据自己的熟悉程度及题目要求来灵活选择处理的方法。
变式2:
如图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小Ej.■:
]*「，在x轴上距坐标原点L=0.50m的P处为粒子的入射口，在y轴上安放接收器。
现将一带正电荷的粒子以,#.11'..!
■.的速度从P处射入磁
场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带正电粒子的质量为m,电量为q,不计其重力。
（1）求上述粒子的比荷匚；
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场就可使
其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场
开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
【解析】
（1）设粒子在磁场中的运动半径为r，如图甲所示，依题意M、P连线即为
该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得
72L
r.—
2①
眾收器XXK«X
由洛伦兹力提供粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，可得口/
qvB—
r②
联立①②并代入数据解得
TXX
O——Lj!
乙人射口
2a
T亡
v⑦
联立①⑥⑦并代入数据得
.⑧
（3）如图丙所示，所求的最小矩形是
X沁用
K盖二f0XI-*~A—*T\x
丙人射【1
联立①⑨并代入数据得
S40.25m3
矩形如图丙中MMiPiP（虚线）所示。
（三）带电粒子在复合场中的运动：
1.高中阶段所说的复合场有四种组合形式：
①电场与磁场的组合；②磁场与重力场的组
合；③电场与重力场的组合；④电场、磁场与重力场的组合，每一种又可分为重叠式和分立
式组合。
2.带电粒子所受三种场力的特征
（1）洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平
行时，f洛=0;当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，f洛=qvB。
洛伦兹力的方向垂直于速度
v和磁感应强度B所决定的平面，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。
（2）电场力的大小为qE,方向与电场强度E的方向及带电粒子所带电荷的性质有关。
电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电势差有
关。
（3）重力的大小为mg,方向竖直向下，重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关。
注意：
①微观粒子（如电子、质子、离子）一般都不计重力。
②对带电小球、液滴、金属块等实际的物体，没有特殊交代时，应当考虑其重力。
③对未知名的、题中又未明确交代
的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给物理过程及隐含条件，具体分析后作出符合实
际的判断。
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