高中数学新学案同步 必修2 人教A版 全国通用版 第二章 点直线平面之间的位置关系211.docx

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高中数学新学案同步必修2人教A版全国通用版第二章点直线平面之间的位置关系211

§2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1　平　面

学习目标

　1.了解平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．

知识点一　平面

思考　几何里的“平面”有边界吗？

用什么图形表示平面？

答案　没有．平行四边形．

梳理　

（1）平面的概念

①平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义．

②几何中的平面的特征：

（2）平面的画法

常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍

一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来

（3）平面的表示方法

①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.

②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.

③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.

知识点二　点、直线、平面之间的关系

思考　直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？

直线和平面呢？

答案　点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．

梳理　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

文字语言

符号语言

图形语言

A在l上

A∈l

A在l外

A∉l

A在α内

A∈α

A在α外

A∉α

l在α内

l⊂α

l在α外

l⊄α

l，m相交于A

l∩m＝A

l，α相交于A

l∩α＝A

α，β相交于l

α∩β＝l

知识点三　平面的基本性质

思考1　直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？

有两个公共点呢？

答案　前者不在，后者在．

思考2　观察图中的三脚架，你能得出什么结论？

答案　不共线的三点可以确定一个平面．

梳理　关于平面基本性质的三个公理

公理

文字语言

图形语言

符号语言

作用

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

①确定直线在平面内的依据

②判定点在平面内

公理2

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α

①确定平面的依据

②判定点线共面

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

①判定两平面相交的依据

②判定点在直线上

1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．（×）

2．空间不同三点确定一个平面．（×）

3．一条直线和一个点确定一个平面．（×）

类型一　图形语言、文字语言、符号语言的相互转换

例1　用符号表示下列语句，并画出图形．

（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.

（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．

考点　平面的概念、画法及表示

题点　自然语言、符号语言与图形语言的互化

解　

（1）用符号表示：

α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．

（2）用符号表示：

A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．

反思与感悟　

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

跟踪训练1　

（1）若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作（　　）

A．A∈b∈βB．A∈b⊂β

C．A⊂b⊂βD．A⊂b∈β

（2）如图所示，用符号语言可表述为（　　）

A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A

B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A

C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n

D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n

考点　平面的概念、画法及表示

题点　自然语言、符号语言与图形语言的互化

答案　

（1）B　

（2）A

类型二　共面问题

例2　如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：

PQ⊂α.

考点　平面的基本性质

题点　线共面问题

证明　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.

引申探究

将本例中的两条平行线改为三条，即求证：

和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．

证明　已知：

a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

求证：

a，b，c和l共面．

证明：

如图，∵a∥b，

∴a与b确定一个平面α.

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.

∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.

∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，

由公理2的推论知：

经过两条相交直线有且只有一个平面，

∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．

反思与感悟　

（1）公理2的推论

推论1：

经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．

推论2：

经过两条相交直线有且只有一个平面．

推论3：

经过两条平行直线有且只有一个平面．

（2）点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2及其推论．解决该类问题通常有三种方法

①纳入平面法：

先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内．

②辅助平面法（平面重合法）：

先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

③反证法．

通常情况下采用第一种方法．

跟踪训练2　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：

直线l1，l2，l3在同一平面内．

考点　平面的基本性质

题点　线共面问题

证明　方法一　（纳入平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.

∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.

∴直线l1，l2，l3在同一平面内．

方法二　（辅助平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，

∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．

类型三　证明共点、共线问题

例3　如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．

求证：

FE，HG，DC三线共点．

考点　平面的基本性质

题点　点共线、线共点、点在线上问题

证明　如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知

HC1∥EB，且HC1＝EB，

∴四边形HC1BE是平行四边形，

∴HE∥C1B.

又C1G＝GC，CF＝BF，

∴GF∥C1B，且GF＝

C1B.

∴GF∥HE，且GF≠HE，

∴HG与EF相交．设交点为K，

∴K∈HG，HG⊂平面D1C1CD，

∴K∈平面D1C1CD.

∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，

∴K∈平面ABCD，

∴K∈（平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC），

∴EF，HG，DC三线共点．

反思与感悟　证明三线共点问题的基本方法

先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点．

跟踪训练3　如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．

（1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上；

（2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．

考点　平面的基本性质

题点　点共线、线共点、点在线上问题

答案　

（1）BD　

（2）AC

解析　

（1）若EH∩FG＝P，

则点P∈平面ABD，P∈平面BCD，

而平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴P∈BD.

（2）若EF∩GH＝Q，则Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，

而平面ABC∩平面ACD＝AC，

∴Q∈AC.

例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：

B，Q，D1三点共线．

考点　平面的基本性质

题点　点共线、线共点、点在线上问题

证明　如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，

∴BD1⊂平面A1BCD1.

同理，BD1⊂平面ABC1D1，

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.

∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1.

又∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1.

∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，

∴B，Q，D1三点共线．

反思与感悟　点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3，解决此类问题常用的方法

（1）首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上．

（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．

跟踪训练4　如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）

A．点AB．点B

C．点C但不过点MD．点C和点M

考点　平面的基本性质

题点　点共线、线共点、点在线上问题

答案　D

解析　∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上.

1．有以下结论：

①平面是处处平的面；

②平面是无限延展的；

③平面的形状是平行四边形；

④一个平面的厚度可以是0.001cm.

其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

考点　平面的概念、面法及表示

题点　平面概念的应用

答案　B

解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选B.

2．若一直线a在平面α内，则正确的作图是（　　）

考点　平面的概念、画法及表示

题点　自然语言、符号语言与图形语言的互化

答案　A

解析　B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交．

3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为（　　）

A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈α

C．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α

考点　平面的概念、画法及表示

题点　自然语言、符号语言与图形语言的互化

答案　B

解析　点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.

4．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（　　）

A．空间中任意三点B．空间中两条直线

C．一条直线和一个点D．两条平行直线

考点　平面的基本性质

题点　确定平面问题

答案　D

5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．

考点　平面的基本性质

题点　点共线、线共点、点在线上问题

答案　P∈直线DE

解析　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.

又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.

1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．

2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．

一、选择题

1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（　　）

考点　平面的概念、画法及表示

题点　自然语言、符号语言与图形语言的互化

答案　D

解析　画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．

2．下列说法中正确的是（　　）

A．三点确定一个平面

B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形

D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点

考点　平面的基本性质

题点　确定平面问题

答案　C

解析　不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C.

3．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（　　）

A．A，B，C，D四点中必有三点共线

B．A，B，C，D四点中不存在三点共线

C．直线AB与CD相交

D．直线AB与CD平行

考点　平面的基本性质

题点　点共线、线共点、点在线上问题

答案　B

解析　两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．

4．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（　　）

A．l⊂αB．l⊄α

C．l∩α＝MD．l∩α＝N

考点　平面的基本性质

题点　线共面问题

答案　A

解析　∵M∈a，a⊂α，

∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.

5．三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．无数

考点　平面的基本性质

题点　确定平面问题

答案　C

解析　在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：

PA，PB，PC相交于一点P，则PA，PB，PC不共面，则PA，PB确定一个平面PAB，PB，PC确定一个平面PBC，PA，PC确定一个平面PAC.故选C.

6．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（　　）

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合

考点　平面的基本性质

题点　平面基本性质的其他简单应用

答案　C

解析　∵A∈α，A∈β，∴A∈（α∩β）．

由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.

故α∩β＝A的写法错误．

7．一条直线和直线外的三点所确定的平面有（　　）

A．1个或3个B．1个或4个

C．1个，3个或4个D．1个，2个或4个

答案　C

解析　若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面．

8．空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是（　　）

A．4B．5C．6D．7

考点　平面的基本性质

题点　确定平面问题

答案　D

解析　可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．

二、填空题

9．若直线l上有两个点在平面α内，则下列说法中正确的序号为________．

①直线l上至少有一个点在平面α外；

②直线l上有无穷多个点在平面α外；

③直线l上所有点都在平面α内；

④直线l上至多有两个点在平面α内

考点　平面的基本性质

题点　线共面问题

答案　③

10．三条平行直线最多能确定的平面的个数为________．

考点　平面的基本性质

题点　确定平面问题

答案　3

解析　当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面．综上最多可确定3个平面．

11．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．

考点　平面的基本性质

题点　确定平面问题

答案　1或4

解析　其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．

12．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．

考点　平面的基本性质

题点　点共线、线共点、点在线上问题

答案　三点共线

解析　∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.

∵l∩α＝O，∴O∈α.

又∵O∈AB⊂β，

∴O∈直线CD，

∴O，C，D三点共线．

三、解答题

13．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：

（1）E，C，D1，F四点共面；

（2）直线CE，D1F，DA三线共点．

考点　平面的基本性质

题点　点共线、线共点、点在线上问题

证明　

（1）如图，连接EF，D1C，A1B.

∵E为AB的中点，F为AA1的中点，

∴EF∥A1B，且EF＝

A1B，

又∵A1B∥D1C，且A1B＝D1C，

∴EF∥D1C，且EF＝

D1C，

∴E，F，D1，C四点共面．

（2）∵EF∥CD1，EF

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，

得P∈平面ABCD.

同理，P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA.

∴CE，D1F，DA三线共点．

四、探究与拓展

14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，求由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”有多少个．

考点　平面的基本性质

题点　平面基本性质的其他简单应用

解　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．

15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．

考点　平面的基本性质

题点　平面基本性质的其他简单应用

解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．

由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，

∵E∈AC，AC⊂平面SAC，

∴E∈平面SAC.

同理，可证E∈平面SBD.

∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.