第8章 影响线及其应用.docx

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第8章影响线及其应用

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【8.1影响线的概念】【8.2静力法】【8.3机动法】【8.4间接荷载下的影响线】【8.5桁架的影响线】【8.6影响线应用】

本章内容

影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，多跨静定梁的影响线，间接荷载作用下的影响线，利用影响线求量值，连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。

简支梁的绝对最大弯矩和包络图。

目的要求

1.掌握影响线的概念

2.熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。

3.掌握用影响线求量值和最不利荷载位置的确定。

4.掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。

8.1影响线的概念

8.1.1移动荷载作用下内力计算特点

结构反力和内力随荷载作用位置的移动而变化，为此需要研究反力和内力的变化规律及最大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的最不利位置）。

8.1.2研究方法

利用分解和叠加的方法，将多个移动荷载视为单位移动荷载的组合，先研究单位移动荷载作用下的反力和内力变化规律，再根据叠加原理解决多个移动荷载作用下的反力和内力计算问题,以及最不利荷载的位置问题。

8..1.3影响线的定义

当单位移动荷载P=1在结构上移动时，表示某一量值S变化规律的图形，称为该量值S的影响线。

8.1.4影响线绘制

在S影响线中,横标表示P=1移动的路线；竖标表示量值S的大小，正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。

8.1.5.量纲

反力、剪力、轴力的影响线无量纲，弯矩影响线的量纲是长度。

8.2静力法作影响线

8.2.1静力法绘制影响线

用静力法作影响线是指用静力计算的方法列出指定量值S的影响线方程，再据影响线方程绘出S影响线。

其步骤如下：

（1）选定坐标系，将P=1置于任意位置，以自变量x表示P=1的作用位置。

（2）对于静定结构可直接由隔离体的静力平衡条件，求出指定量值S与x之间的函数关系，即影响线方程。

（3）利用影响线方程作影响线。

8.2.2简支梁的影响线

由静力法求出简支梁的影响线如图8-1。

举例8—1

8.2.3伸臂梁的影响线

作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁的对应量值的影响线，然后向伸臂上延伸即得，如图8-2。

伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在截面以内部分上影响线竖标为零。

伸臂梁的MD影响线

举例8—2

8.2.4多跨静定梁的影响线

作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。

（1）基本部分梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。

在铰结点处影响线发生拐折，在滑动联结处左右两线平行。

（2）附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的影响线相同。

如作图8-3（a）示多跨静定梁MK的影响线时，先作伸臂梁HE的MK的影响线，注意到将P=1置于C，D点时产生的MK等于零，所以MK影响线在C，D点竖标为零，在附属梁上联结EF直线、FD直线再延伸至G点即可。

影响线如图8-3（b）所示。

（3）作RC影响线时，在EF范围按伸臂梁反力影响线绘制，在与其相关的基本梁HE范围内RC影响线竖标为零，与其相关的附属梁FG范围RC影响线按直线规律变化，RC影响线在D点竖标为零。

影响线如图8-3（c）所示。

图8-3

举例8—3

8.3机动法作影响线

8.3.1机动法绘制影响线

用机动法作静定结构内力（反力）影响线的理论依据是刚体系的虚功原理，是将作影响线的静力问题转化为作虚位移图的几何问题。

8.3.2机动法作影响线的优点

可迅速的绘出影响线的形状，对有些结构比静力法要方便得多。

举例8—4

8.3.3机动法作内力（反力）影响线步骤

如图8-4所示。

（1）去除与所求量值相应的约束，并代以正向的约束力。

（2）使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位移，由此得到的P=1作用下的位移图即为该量值的影响线。

（3）.基线以上的竖标标正号，以下标负号。

图8-4

虚位移图必须满足支承连接条件，有竖向支承处，不应有竖向位移。

定向连接处左右杆段位移后是互相平行等的。

举例8—5

8.3.4超静定结构的影响线的特点：

用机动法作静定结构和超静定结构内力（反力）影响线的步骤是类似的。

所不同的是，静定结构去掉一个约束后成为几何可变体系，其虚位移图是直线形或折线形；而超静定结构去掉一个约束后仍为几何不变体系，其位移图一般是曲线图形。

也有例外情况，如超静定结构在结点荷载作用下其内力、反力影响线在相邻结点之间仍是直线。

基本部分为超静定的主从结构，基本部分上的内力、反力影响线在其附属部分上按直线规律变化。

8.3.4机动法作多跨静定梁的影响线

举例8—6

8.4间接荷载作用下的影响线

8.4.1间接荷载作用下梁的影响线原理

举例8—7

图8-5

8.4.2.间接荷载作用下梁的影响线要点

对于图8-5所示具有纵横梁的结构系统，不论纵梁受何种荷载，主梁只在结点处受集中力（结点荷载）作用。

作用在纵梁上的荷载、传给主梁的结点荷载都是荷载作用位置x的线性函数，而在线性变形体中，主梁的反力、内力与这些结点荷载成正比关系，所以在结点荷载作用下，不论主梁是静定或超静定，其反力、内力影响线均是折线图形。

8.4.3间接荷载作用下影响线特点

（1）在结点处，间接结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。

（2）相邻结点之间影响线为一直线。

8.4.4结点荷载作用下影响线作法：

（1）以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。

（2）将结点投影到上述影响线上，得到结点处的影响线竖标。

（3）以实线连接相邻结点处的竖标，即得间接荷载作用下该量值的影响线。

图8-5所示主梁的MK、QK、影响线如图8-5（b）（c）所示。

例1作图8-6所示梁RB，QG左，QB左，M1，影响线。

解:

先按多跨静定梁，绘制出各指定量在直接荷载作用下的影响线，如图中虚线所示，再将各结点向影响线作投影，将相邻投影点竖标连成直线。

RB，QG左，QG右，QB左，M1，Q1右影响线如图所示。

注意：

在作结点下左侧截面剪力影响线时，应将结点投影到右直线上，作结点下右侧截面剪力影响线时，应将结点投影到左直线上，如本例的QG，QG右影响线。

图8-6

举例8—8

8.5桁架的影响线

单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应单跨梁相同，故二者的支座反力影响线也完全一样，因此只需要讨论桁架杆件内力的影响线。

作桁架内力影响线与求内力方法相同，不同之处荷载是移动的。

具体作法是：

只需考虑P=1在不同部分移动时，分别写出所求杆件内力的影响线方程，根据方程作影响线。

斜杆：

可先绘出水平或竖向分力的影响线，然后按比例关系求出内力影响线。

间接荷载作用：

因为在桁架中，荷载一般是通过纵梁和横梁而作用在桁架接点上，间接荷载作用下影响线的性质对桁架也适用。

即：

桁架中任一杆件的轴力影响线，在相邻两结点之间为一直线。

桁架影响线原理讲解过程举例8—9

8.6影响线的应用

8.6.1.利用影响线求量值

根据影响线的定义和叠加原理，可利用某量值Z的影响线求得固定荷载作用下该量值S的值为：

式中，yi为集中荷载Pi作用点处S影响线的竖标，在基线以上yi取正。

Pi向下为正；

ωi为均布荷载qi分布范围内S影响线的面积，正的影响线计正面积。

qi向下为正；

8.6.2临界荷载和临界位置及其判定

取荷载组中的某一荷载Pcr位于S影响线的某一顶点，当荷载左、右移动时都会使量值S的增量

减小（或增大），则Pcr位于影响线顶点时，S就会取得极大值（或极小值），称Pcr为一临界荷载。

相应的荷载位置为临界位置。

为影响线各段直线的倾角。

，上升段

为正，如图8-7所示，

为正，

为负。

为影响线一直线段上的荷载的合力。

向下为正。

图8-7图8-8

8.6.3三角形影响线的临界位置判别式

量值S发生极大值的临界条件：

有一集中力位于影响线的某一定点。

如图8-8且

即将Pcr放在影响线的哪一边，哪一边荷载的平均集度就大。

临界荷载可能不止一个，至于那个荷载在影响线的那个顶点上时满足临界条件是不知道的，需要试算。

为了减少试算次数，可先按下述原则估计：

1）使较多的荷载居于影响线范围之内，且居于影响线的较大竖标处。

2）使较大的荷载位于竖标较大的影响线的顶点。

8.6.4最不利荷载位置移动荷载作用下，使某量值达到最大值或最小值的荷载位置。

（1）单个集中荷载作用时的最不利荷载位置：

将荷载作用在影响线的最大竖标或最小竖标处。

如图8-9所示，如荷载P作用在C左侧，产生QC的最小值；如荷载P作用在C右侧，产生QC的最大值。

（2）多个集中荷载作用下确定最不利荷载位置：

先判定各临界位置并计算相应的S的极值，其中与最大值对应的临界位置就是最不利荷载位置。

（3）可以任意布置的均布荷载的最不利位置：

将荷载布满影响线的正号部分或负号部分，如图8-10（a）所示。

图8-9图8-10

（4）一段可移动的均布荷载的最不利位置:

当影响线为三角形时，满足下式的荷载位置即为最不利荷载位置。

式中各值的意义如图8-10（b）所示。

举例8—10

8.6.5.内力包络图

连接各截面内力最大值和最小值的曲线称为内力包络图。

绘制内力包络图的步骤：

1）将梁等分为若干份，绘出各等分点截面的内力影响线，确定相应的最不利荷载位置。

2）求出各等分点截面在恒载和活载共同作用下内力的最大值和最小值。

3）将各等分点截面的最大（最小）内力值按同一比例绘于图上，连成曲线即得内力包络图。

8.6.6.简支梁的绝对最大弯矩

在荷载移动过程中，简支梁中所产生的最大弯矩，称为简支梁的绝对最大弯矩。

即弯矩包络图中的最大竖标所表示的弯矩值。

求简支梁的绝对最大弯矩的步骤。

（1）求出简支梁跨中截面产生最大弯矩时的临界荷载Pcr，并算出此时梁上荷载的合力R及其作用位置。

（2）移动梁上荷载，使Pcr与R的间距的中点对着梁的中点（若有荷载进入或离开梁跨内，需重新计算R及其作用位置），此时Pcr下的截面弯矩就是简支梁的绝对最大弯矩。

（3）荷载位置确定后，用静力平衡条件计算绝对最大弯矩。