七年级数学三角形期中复习及模拟试题一人教实验版知识精讲.docx

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七年级数学三角形期中复习及模拟试题一人教实验版知识精讲

七年级数学三角形、期中复习及模拟试题

（一）人教实验版

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

三角形、期中复习及模拟试题

（一）

教学目的：

1.掌握有关三角形边角的概念，三线的定义和性质，并能简单应用

2.掌握三角形及多边形的内角和与外角和公式，并能简单应用

3.能用所学的知识解决简单的数学计算和证明

知识点讲解：

1.三角形的定义：

注意从三个方面理解：

①三个点不在同一直线上；

②三条线段；

③首尾顺次相接。

表示方法：

用“△”表示三角形，字母按一定顺序排列

2.三角形中“三线”的几种表示法：

（1）三角形的角平分线：

如图所示

a）AD是三角形ABC的平分线；

b）AD平分∠BAC交BC于D；

c）∠BAD＝∠DAC＝

∠BAC。

d）∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC。

（2）三角形的中线：

如图所示

a）AM是ΔABC的中线；

b）AM是ΔABC中BC边上的中线；

c）点M是BC边的中点；

d）BM＝MC。

（3）三角形的高线：

如图所示

a）AD是ΔABC的高；

b）AD是ΔABC中BC边上的高；

c）AD垂直于BC。

垂足为D；

d）∠ADB＝∠ADC＝90°。

3.概念区分：

⑴三角形的角平分线与一个角的平分线的区别和联系。

联系：

都把一个角分成了两个相等的角。

区别：

前者是线段，后者是射线。

⑵三角形的中线和三角形的高均是线段。

⑶三角形的高与三角形一边上的垂线的区别、联系。

联系：

所构成的∠ADC＝∠ADB＝∠EFB＝∠EFC＝90°

区别：

前者是线段AD。

后者是直线EF，不一定过顶点A。

⑷每个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高。

它们都分别相交于一点，三条角平分线的交点、三条中线的交点都在三角形内部。

锐角三角形的三条高线在三角形内，因此交点在三角形内部。

直角三角形的两条高线恰好是它的两条直角边，因此交点在直角顶点上。

钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，交点在三条高线的延长线上。

4.三角形的分类。

三角形按边分为：

按照角分类：

5.三角形三边关系：

三角形两边之和大于第三边；

三角形的两边之差小于第三边。

由于三角形两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边，所以有关系式：

两边差<第三边<两边和，这就是第三边取值范围求解的根据。

6.三角形的内角和定理：

三角形内角和等于180°；直角三角形的两个锐角和等于90°。

7.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于它不相邻的任何一个内角

∵∠ＡＣＤ是外角

∴∠ＡＣＤ＝∠Ａ＋∠Ｂ

∴∠ＡＣＤ＞∠Ａ∠ＡＣＤ＞∠Ｂ

注意：

三角形的一个顶点有两个外角，这两个角互为对顶角，是相等的。

一个三角形的外角有6个。

8.多边形：

1）定义：

由一些线段首尾顺次连接组成的图形，有四边形，五边形等等，我们学习的多边形都是凸多边形。

2）当多边形的各边的长度都相等，各个角都相等时，则这个多边形为正多边形。

3）内角：

多边形的相邻两边组成的角，n边形有n个内角。

外角：

多边形的边与它的邻边的延长线的夹角。

n边形有2n个外角。

4）多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，n边形过一个顶点有（n－3）条对角线，共可以画出

。

5）多边形的内角和：

180°（n－2）。

内角和公式的应用：

已知边数求内角和；已知内角和求边数；已知正多边形，可求每一个内角；已知正多边形的一个内角，可以求边数。

6）多边形的外角和都是360°，其中正多边形的每一个外角为360／n。

它的相邻的内角为180°－360°／n。

【典型例题】

例1.如图：

（1）图中共有_________个三角形；

（2）∠B是ΔABD中__________的对角，又分别是ΔABE、ΔABC中______、________的对角；

（3）∠AEB的对边是________，分别在三角形________中；

（4）AB分别是ΔABE、ΔABD中________，_______的夹边。

分析：

数三角形是初中常见题，其方法很多。

大致规律是：

定一边找另一顶点；或先定一点依次找另两个顶点。

找角的对边、夹边或边的对角、夹角要先找清所需的三角形。

对一个角或一条边的认识不能只局限在一个三角形里，要学会从不同角度认识问题。

解：

（1）6

（2）AD；AE、AC

（3）AB、AD；ΔABE、ΔADE

（4）∠BAE和∠B；∠BAD和∠B

例2.已知：

BM是ΔABC的中线，AB＝5cm，BC＝3cm，ΔABM与ΔBCM周长差是多少？

解：

∵BM是ΔABC的中线，

∴AM＝MC，

ΔABM的周长＝AB＋BM＋MA

ΔBMC的周长＝BC＋BM＋CM

∴ΔABM与ΔBCM周长差即为AB与BC的差

∴ΔABM与ΔBCM周长差是2cm。

例3.如图，填空：

（1）在ΔABC中，BC边上的高是________。

（2）在ΔAEC中，AE边上的高是________。

（3）在ΔFEC中，EC边上的高是________。

（4）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，则ΔAEC面积S＝______.CE＝________.

分析：

在非标准位置的三角形中，运用定义识别直角三角形，钝角三角形的高，利用三角形的面积公式SΔAEC＝

AE×CD＝

CE×AB，可求得CE。

解：

（1）AB

（2）CD（3）FE（4）SΔ＝3cm2CE＝3cm

例4.下列数组中，各数均表示线段的长度，试判断以这些线段为边能否组成三角形？

①9，5，13②7，5，12③6，8，15

④a－4,a,4（a>4）⑤a,a＋4,a＋6（a>0）⑥a,b,a＋b（a>0,b>0）

分析：

只需验证三条线段中最长的线段是否小于其它两条线段之和，或三条线段最短的线段是否大于其它两条线段之差即可。

解：

①∵9＋5>13

∴以9，5，13为边的三条线段能构成三角形

②∵7＋5＝12

∴以7，5，12为边的三条线段不能构成三角形

③∵6＋8<15

∴以6、8、15为边的三条线段不能构成三角形

④∵（a－4）＋4＝a

∴以a－4、a、4为边的三条线段不能构成三角形

⑤∵（a＋6）－（a＋4）＝2且a与2的大小不能确定

∴以a、a＋4、a＋6为边的三条线段不一定能构成三角形

⑥∵a＋b＝a＋b

∴以a、b、a＋b为边的三条线段不能构成三角形。

评注：

三角形三边关系定理与推论不仅说明了三边的大小关系，还可利用此定理作为判断三条线段能否组成三角形的标准：

任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边。

例5.已知等腰三角形两边的和与差分别为16厘米和8厘米，求此等腰三角形的周长。

分析：

求等腰三角形的周长，只要求出其底与腰长即可，这可通过列方程组求解，因为已知的两边不相等，所以这两边不可能都是腰。

解：

设等腰三角形的两边分别为acm、bcm，则有

解得：

a＝12b＝4

∵a＝12>8＝2b

∴根据三角形三边关系定理，等腰三角形的腰只能取a＝12

∴等腰三角形的周长为12＋12＋4＝28（厘米）

评注：

为什么a只能取12呢？

因为如果a取4，则三边分别为4，4，12，而这样的线段不能构成三角形。

例6.如图，AF，AD分别是ΔABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数。

分析：

可按下列顺序来求∠DAF的度数

∠BAC→∠BAD→∠ADF→∠DAF

解：

∵∠B＝36°，∠C＝76°，

∴∠BAC＝180°－∠B－∠C

＝180°－36°－76°

＝68°（三角形的内角和等于180°）

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝

∠BAC＝34°，

∴∠ADF＝∠B＋∠BAD＝70°（三角形的任一外角等于与它不相邻的两内角之和）

∵

∴

∴

例7.填空

1）已知一多边形的边数是12，它的内角和为（）

2）已知一多边形的内角和为1440°，那么它的边数是（）

3）已知一个正多边形，边数是9，它的每一个内角是（）

4）已知正多边形的一个内角为150°，它是一个正（）边形。

解析：

1）利用公式（12－2）180°＝1800°

2）（n－2）180°＝1440°，n＝10

3）因为它是一个正多边形，所以它的每一个角都相等

（9－2）180°／9＝140°

4）设边数为Ｎ，（n－2）180°＝150•n，n＝12

例8.已知一个多边形的每个内角都相等，并且每个内角是与之相邻的外角的度数的5倍，求这个多边形的边数．

分析：

多边形的每一个内角与外角互补，所以设外角的度数为x°，则内角为5x°

5x＋x＝180°，x＝30°

因为外角和是360°，360°／30°＝12

所以边数为12

［期中复习］

1.系统复习各章的知识点；

2.能熟练的进行证明和计算，并解决一些简单的实际问题。

知识点归纳：

一、第五章：

相交线与平行线

1.结合具体情况。

了解邻补角，对顶角的概念，知道对顶角相等:

了解垂线，垂线段等概念，知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义并会度量点到直线的距离。

2.了解平行线的概念，知道平行线公理及其推论，会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线，会识别同位角，内错角，同旁内角，掌握平行线的性质和判定方法，体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

3.通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质，能按照要求作出简单平面图行平移后的图形。

能利用平移进行简单的图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。

4.了解命题的概念，能初步区分命题的题设和结论，理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句，会用这些语句描述简单的图形，会根据描述的语句画出图形:

能结合一些具体内容进行说理，初步养成言之有据的习惯。

5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义；在观察，操作，想象，说理，交流的过程中，发展空间观念，初步形成积极参与数学活动，与他人合作交流的意识，激发学习空间与图形的兴趣。

二、第六章平面直角坐标系

1.通过实例认识有序数对，感受它在确定点的位置中的作用。

2.认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置。

能由点的位置写出点的坐标。

3.能在方格纸上建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用。

4.在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变化，通过研究平移与坐标的关系，使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数问题与几何问题的相互转换。

5.结合实例，了解可以用不同的方式确定物体的地理位置。

三、第七章：

三角形

1.了解与三角形有关的概念和线段（边，高，中线，角平分线），理解三角形两边之和大于第三边，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画出任意三角形的高，中线，角平分线，了解三角形的稳定性。

2.了解与三角形有关的角，（内角，外角），会用平分线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°。

探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

3.了解多边形的有关概念（边，内角，外角，对角线，正多边形）探索并了解多边形的内角和与外角和的公式。

4.通过探索平面图形的镶嵌。

知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

四、第八章二元一次方程组

1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。

2.了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系。

3.了解解二元一次方程组的基本目标，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当解法。

4.通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题，解决问题的能力。

五、第九章不等式与不等式组

1.了解一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系”，体会不等式（组）是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型

2.通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究出一元一次不等式的解法

3.了解解一元一次不等式的基本目标是使不等式逐步转化为

的形式，熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中的化归思想。

4.了解不等式组及其有关概念，会解由一元一次不等式组成的不等式组，并会在数轴上确定出解集

5.通过课题学习，以体育比赛问题为载体，探究实际问题中的不等关系，进一步体会利用不等式解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。

【模拟试题】

［三角形练习］

一、填空题：

1.五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中三条为边长可以构成______个三角形。

2.一个等腰三角形的周长是5，如果其三边长均为整数，则其腰长为_______，底边长为_______。

3.若∠C＝50°，∠B－∠A＝10°，那么∠A＝________，∠B＝_______。

4.若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为________。

5.直角三角形两锐角的平分线的交角是________，与两锐角相邻的两个外角的平分线的交角是_______。

6.在一个十边形中，过它的一个顶点可以作条对角线，过它的所有顶点共有

条对角线。

二、作图题

如图，在ΔABC中，

①画出∠A的平分线AD

②画出ΔBAD的中线BE

③画出ΔACB的边AC上的高和BC上的高

三、计算下列各题

①已知三角形三边分别是a，a－1和a＋1，求a的取值范围。

②等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和21两部分，求三角形底边长。

③如图，已知∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求：

ΔABC各内角的度数。

四、在ΔABC中，若三边分别为a、b、c，且满足a2＋2ab＝c2＋2bc，试判断ΔABC的形状。

五、证明下列各题

①如图，∠ACD是ΔABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E，求证：

∠E＝

∠A。

②已知点P是ΔABC内任意一点，求证：

PA＋PB＋PC>

（AB＋BC＋CA）

［考前模拟］

一、填空题：

1.如下图：

∠1和∠3是一对_______角，∠2和∠3是一对_______角，∠2＋∠3＝_______

2.如下图：

a∥b，且∠1＝60°，则∠2＝_______

3.如下图：

直线AB、CD被EF所截，如果∠1＝120°，∠2＝120°，就可以判定AB∥CD，根据是_____________________；如果∠3＋∠4＝180°，就可以判定AB∥CD，根据是_____________________；如果AB∥CD，那么∠2＝∠4，根据是_____________________

4.把“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________

5.如下图：

三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，则点A到CD的距离是___________；点A到BC的距离是_____________；点C到直线AB的距离是_____________

6.如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，则这两个角的度数分别是__________________________

7.有三条线段3,5,X,则第三边X的范围是

8.点B（a，b）在第四象限，则a0，b0。

9.点C（1，n＋2）在x轴上，则n

10.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝75°，则∠C＝

二、选择题

1.如下图：

直线a、b、c相交，则∠1＋∠2＋∠3的度数为（）

A.120°B.90°C.150°D.180°

2.点到直线的距离是指（）

A.从直线外一点到这条直线的垂线

B.从直线外一点到这条直线的垂线的长度

C.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度

D.从直线外一点到这条直线的垂线段

3.若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据为（）

A.平行公理B.平行公理推论C.等量代换D.平行线的定义

4.如下图：

AB⊥OB，BC⊥OC，OA＝acm，OB＝bcm，OC＝ccm，则a、b、c的大小关系是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

5.平面上三条不同的直线相交，最多能够构成对顶角的对数是（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

6.下列命题中，假命题的个数是（）

①互补的两个角一定不能都是钝角

②邻补角的角平分线互相垂直

③同旁内角的角平分线互相垂直

④同位角的角平分线互相平行

⑤一个角的邻补角一定只有一个

A.1个B.3个C.2个D.以上都不对

7.点M（－3，5.5）到y轴的距离是（）

A.－3B.3C.－5.5D.5.5

8.平面直角坐标系中，将点A（2，－3）通过（）的平移变换，得到点A’（0，4）

A.先向下平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度

B.先向下平移7个单位长度,再向左平移2个单位长度

C.先向上平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度

D.先向上平移7个单位长度,再向左平移2个单位长度

9.下列说法中不正确的是（）

A.已知P（x，y），当y＝0时，点P在x轴上

B.在平移图形的过程中，图形上的各点发生同样的变化

C.若点的横纵坐标乘积为正数，则点必在第一象限

D.平面直角坐标系中的点一定可以用一对有序数对表示出来

10.点M（2a＋1，a－3）在第一、三象限的角平分线上，则（）

A.a＝4B.a＝1C.a＝－3D.a＝－4

三、作图题：

1.已知点P是∠AOB内的一点，过点P作OA的垂线段PC，再过点P作OA的平行线交OB于点D。

2.已知⊿ABC和⊿ABC外一点A′，把⊿ABC平移,使A与A′重合。

四、解答题：

如图，在△ABC中，

求BE的长度。

五、计算：

已知：

如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，∠C＝50°，求∠AEC的度数。

六、证明题：

1.已知：

如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠A＝∠C。

求证：

∠AEB＝∠F。

2.已知：

如图，GD⊥AC，∠AFE＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°。

求证：

BE⊥AC。

3.如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的图形，并求出平移后的三个点的坐标。

4.根据以下条件画出一幅示意图，标出学校和新华书店，科技博物馆，青少年文化宫的位置。

①新华书店：

出校门向东走100米，再向北走100米，

②科技博物馆：

出校门向西走150米，再向北走300米，最后向东走50米

③青少年文化宫：

出校门向南走200米，再向东走100米，最后向南走50米

5.在平面直角坐标系中，A（－3，4），B（－1，－2），O为坐标原点。

求三角形ABO的面积。

6.已知：

如图，AB∥ED，α＝∠A＋∠E，β＝∠B＋∠C＋∠D，试探索α与β的数量关系。

7.10元钱买8角和4角的邮票，共17张，则买8角的和4角的邮票各多少张？

【试题答案】

［三角形练习］

一、1.32.2，13.60°，70°4.100°，60°，20°

5.135°，45°6.10－3＝7；10×7×0.5＝35

二、略

三、①解：

由三角形的最大边小于其他两边之和有a＋1

即a>2

（1）

又三角形的边长应为正值，所以有最小边a－1>0，即a>1

（2）

综合

（1）、

（2）得a>2

②设腰长2x，底边长y，则由题意得

或

解之得x＝4，y＝17（不合题意，舍去），或x＝7，y＝5

③∠FDE＝∠ABC＝64°，∠DEF＝∠BCA＝43°，∠EFD＝∠CAB＝73°。

四、解：

∵a2＋2ab＝c2＋2bc

∴a2－c2＋2ab－2bc＝0

∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0

又∵a＋c＋2b>0

∴a－c＝0，即a＝c

∴ΔABC是等腰三角形。

五、①证明：

∵∠ACD＝∠A＋∠ABC,

CE平分∠ACD

∴∠ECD＝

（∠A＋∠ABC）

又∵∠ECD＝∠E＋∠EBC

∴∠E＋∠EBC＝

（∠A＋∠ABC）

∵BE平分∠ABC

∴∠EBC＝

∠ABC，∴∠E＝

∠A。

②证明：

在ΔPAB中，

∴PA＋PB>AB

（1）

在ΔPAC中，PA＋PC>AC

（2）

在ΔPBC中，PB＋PC>BC（3）

（1）＋

（2）＋（3）

2PA＋2PB＋2PC>AB＋BC＋AC

即PA＋PB＋PC>

（AB＋BC＋AC）

∴得证。

［考前模拟］

一、填空题

1.对顶，邻补180°

2.120°

3.同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等

4.如果有两个角是对顶角，那么它们相等

5.ADACCD

6.10°10°或42°138°

7.2

8.><

9.－2

10.85°

二、选择

1.D2.C3.B4.A5.D6.A7.B8.D9.C10.D

三、

1.2.

四、解：

五、解：

六、1.

2.

3.（图略）

A1（1，1）B1（-2，-4）C1（3，-2）

4.

（1）规定校门为原点

（2）定x，y正方向为正东，正北方向

（3）1：

10000为比例尺

图略

5.过点A做AE//y轴

AF//X轴

过点B作GD//x轴交AE的延长线于点G

6.连接BD

7.解：

设买8角邮票X张，4角邮票Y张

答：

买8角邮票8张。

4角邮票9张。