备战中考数学一轮专题复习学案 全等三角形.docx

备战中考数学一轮专题复习学案 全等三角形.docx

《备战中考数学一轮专题复习学案 全等三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战中考数学一轮专题复习学案 全等三角形.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

备战中考数学一轮专题复习学案全等三角形

备战2019年中考数学一轮专题复习

全等三角形

考点解读：

知　识　点

名师点晴

全等三角形

全等图形

理解全等图形的定义，会识别全等图形

全等三角形的判定

理解并掌握全等三角形的判定方法：

SSS、SAS、ASA、AAS，并会判定两个三角形全等

直角三角形的判定

会利用HL判定两个三角形全等

角平分线

角平分线的性质

理解并掌握角平分线的性质

角平分线的判定

利用角平分线的判定解决有关的实际问题

考点解析：

考点1：

全等三角形的性质

基础知识归纳：

全等三角形的对应边相等，对应角相等

基本方法归纳：

利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题

注意问题归纳：

利用全等三角形的性质时，关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．

【例1】如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x=______度.

解析：

△ABC中，∠A=65°，∠B=55°，

∴∠C=180°-∠A-∠B=60°，

∵两个三角形全等，又∠A=∠A′=65°，AB=A′C′=5cm

∴点C的对应点是B′，

∴∠B′=∠C=60°．

故填60．

【变式1】如图所示，将△ABC沿AC对折，点B与点E重合，则全等的三角形有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

解析：

根据全等三角形的概念可以判定答案为C。

考点2：

全等三角形的判定方法

基础知识归纳：

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．

基本方法归纳：

证明三角形全等的方法有：

SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．

注意问题归纳：

对于特殊的直角三角形，判定它们

全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

【例2】（2018·湖北荆州·3分）已知：

∠AOB，求作：

∠AOB的平分线．作法：

①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　　．

【解答】解：

由作法①知，OM=ON，

由作法②知，CM=CN，

∵OC=OC，

∴△OCM≌△OCN（SSS），

故答案为：

SSS．

【变式2】（2018·云南省昆明·6分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．

求证：

BC=DE．

【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC；

【解答】证明：

（1）∵∠1=∠2，

∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC

∴∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ADE≌△ABC（ASA）

∴BC=DE，

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：

判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等

考点3：

角平分线

基础知识归纳：

角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．

基本方法归纳：

角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．

注意问题归纳：

注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的

性质和判定都是由三角形全等得到的．

【例3】（2018·云南省·6分）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：

△ABC≌△ADC．

【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可．

【解答】证明：

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定、角平分线的定义，掌握三角形全等的SAS定理是解题的关键．

【变式3】（2018•河北）已知：

如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：

点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）

A．作∠APB的平分线PC交AB于点C

B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC

C．取AB中点C，连接PC

D．过点P作PC⊥AB，垂足为C

【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．

【解答】解：

A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；

C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；

D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，

B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；

故选：

B．

【例4】（山东泰安,第13题3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：

①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（　　）

　A．4个B．3个C．2个D．1个

考点：

全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析：

根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．

解答：

解：

∵BF∥AC，

∴∠C=∠CBF，

∵BC平分∠ABF，

∴∠ABC=∠CBF，

∴∠C=∠ABC，

∴AB=AC，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，

在△CDE与△DBF中，

，

∴△CDE≌△DBF，

∴DE=DF，CE=BF，故①正确；

∵AE=2BF，

∴AC=3BF，故④正确．

故选A．

点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．

【变式4】（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．

（1）求证：

△ABE≌△DCE；

（2）当AB=5时，求CD的长．

【分析】

（1）根据AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是对顶角，利用SAS证明△AEB≌△DEC即可．

（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．

【解答】

（1）证明：

在△AEB和△DEC中，

，

∴△AEB≌△DEC（SAS）．

（2）解：

∵△AEB≌△DEC，

∴AB=CD，

∵AB=5，

∴CD=5．

☞真题连接：

一、选择题：

1.（海南，第7题3分）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．AB=DC，AC=DBB．AB=DC，∠ABC=∠DCB

C．BO=CO，∠A=∠DD．AB=DC，∠A=∠D

2.（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A=∠DB．∠ACB=∠DBCC．AC=DBD．AB=DC

3.（2018•安顺）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B=∠CB．AD=AEC．BD=CED．BE=CD

4.（2018•黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙

5.（2018•南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（　　）

A．a+cB．b+cC．a﹣b+cD．a+b﹣c

6.（2018•临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

A．

B．2C．2

D．

二、填空题：

7.（2018•金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　　．

8.（2018•衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　　（只需写一个，不添加辅助线）．

9.（2017黑龙江佳木斯）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件　（只需添加一个即可）　，使得△ABC≌△DEF．

10.（2017•新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：

①∠ABC=∠ADC；

②AC与BD相互平分；

③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；

④四边形ABCD的面积S=

AC•BD．

正确的是　　（填写所有正确结论的序号）

三、计算与解答：

11.（2018•乐山•9分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

BC=BD．

12.（2018•广安•6分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：

AB=EF．

13.（2018·辽宁大连·9分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E.F在AC上，且AF=CE．

求证：

BE=DF．

14.（2018·江苏镇江·6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．

（1）求证：

△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　　°．

15.（2018•哈尔滨）已知：

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．

（1）如图1，求证：

AD=CD；

（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

☞参考答案：

一、选择题：

1.（2015•海南，第7题3分）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．AB=DC，AC=DBB．AB=DC，∠ABC=∠DCB

C．BO=CO，∠A=∠DD．AB=DC，∠A=∠D

分析：

本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．

解答：

解：

根据题意知，BC边为公共边．

A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；

B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；

C、由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；

D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．

故选：

D．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

2.（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A=∠DB．∠ACB=∠DBCC．AC=DBD．AB=DC

【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．

【解答】解：

A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；

D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

故选：

C．

3.（2018•安顺）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B=∠CB．AD=AEC．BD=CED．BE=CD

【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A为公共角，

A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；

B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．

故选：

D．

4.（2018•黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙

【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．

【解答】解：

乙和△ABC全等；理由如下：

在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：

SAS，

所以乙和△ABC全等；

在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：

AAS，

所以丙和△ABC全等；

不能判定甲与△ABC全等；

故选：

B．

5.（2018•南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（　　）

A．a+cB．b+cC．a﹣b+cD．a+b﹣c

【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；

【解答】解：

∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，

∴∠A=∠C，∵AB=CD，

∴△ABF≌△CDE，

∴AF=CE=a，BF=DE=b，

∵EF=c，

∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，

故选：

D．

6.（2018•临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

A．

B．2C．2

D．

【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．

【解答】解：

∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E=∠ADC=90°，

∴∠EBC+∠BCE=90°．

∵∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠EBC=∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE=DC=1，CE=AD=3．

∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2

故选：

B．

二、填空题：

7.（2018•金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　　．

【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．

【解答】解：

添加AC=BC，

∵△ABC的两条高AD，BE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，

∴∠EBC=∠DAC，

在△ADC和△BEC中

，

∴△ADC≌△BEC（AAS），

故答案为：

AC=BC．

8.（2018•衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　　（只需写一个，不添加辅助线）．

【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．

【解答】解：

添加AB=ED，

∵BF=CE，

∴BF+FC=CE+FC，

即BC=EF，

∵AB∥DE，

∴∠B=∠E，

在△ABC和△DEF中

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

故答案为：

AB=ED．

9.（2017黑龙江佳木斯）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件　（只需添加一个即可）　，使得△ABC≌△DEF．

【考点】KB：

全等三角形的判定．

【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．

【解答】解：

∵BC∥EF，

∴∠ABC=∠E，

∵AC∥DF，

∴∠A=∠EDF，

∵在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF，

同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．

故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．

10.（2017•新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：

①∠ABC=∠ADC；

②AC与BD相互平分；

③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；

④四边形ABCD的面积S=

AC•BD．

正确的是　　（填写所有正确结论的序号）

【考点】KD：

全等三角形的判定与性质；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；

②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；

④根据面积和求四边形的面积即可．

【解答】解：

①在△ABC和△ADC中，

∵

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠ABC=∠ADC，

故①结论正确；

②∵△ABC≌△ADC，

∴∠BAC=∠DAC，

∵AB=AD，

∴OB=OD，AC⊥BD，

而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，

故②结论不正确；

③由②可知：

AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，

而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；

故③结论不正确；

④∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=

BD•AO+

BD•CO=

BD•（AO+CO）=

AC•BD．

故④结论正确；

所以正确的有：

①④；

故答案为：

①④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，第1问可以利用等边对等角，由等量加等量和相等来解决．

三、计算与解答：

11.（2018•乐山•9分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

BC=BD．

证明：

∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC

在△ADB和△ACB中，

，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．

12.（2018•广安•6分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：

AB=EF．

【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．

【解答】证明：

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=90°，AD∥BC，（2分）

∴∠EAF=∠BMA，

∵EF⊥AM，

∴∠AFE=90°=∠B，（4分）

在△ABM和△EFA中，

∵

，

∴△ABM≌△EFA（AAS），（5分）

∴AB=EF．（6分）

【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．

13.（2018·辽宁大连·9分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E.F在AC上，且AF=CE．

求证：

BE=DF．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB．

∵AE=CF，∴OE=OF．在△BEO和△DFO中，

，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．

14.（2018·江苏镇江·6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．

（1）求证：

△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　　°．

【解答】

（1）证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°，

∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=

=75°，故答案为：

75．

15.（2018•哈尔滨）已知：

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．

（1）如图1，求证：

AD=CD；

（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

【分析】

（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；

（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．

【解答】解：

（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，

∴∠ADE=∠CGF，

∵AC⊥BD、BF⊥CD，

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，

∴∠DAE=∠GCF，

∴AD=CD；

（2）设DE=a，

则AE=2DE=2a，EG=DE=a，

∴S△ADE=

AE•DE=

•2a•a=a2，

∵BH是△ABE的中线，

∴AH=HE=a，

∵AD=CD、AC⊥BD，

∴CE=AE=2a，

则S△ADC=

AC•DE=

•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；

在△ADE和△BGE中，

∵

，

∴△ADE≌△BGE（ASA），

∴BE=AE=2a，

∴S△ABE=

AE•BE=

•（2a）•2a=2a2，

S△ACE=

CE•BE=

•（2a）•2a=2a2，

S△BHG=

HG•BE=

•（a+a）•2a=2a2，

综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BC