高三数学知识点总结.docx

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高三数学知识点总结

高三数学知识点总结

高中数学知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：

集合A={x|y=lgx}，B={y|y=lgx}，C={（x,y）|y=lgx}，A、B、C中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集Æ的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：

集合A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax=1}

若BÌA，则实数a的值构成的集合为

ì

î1üý）3þ（答：

í-1，0，

3.注意下列性质：

（1）集合{a1，a2，„„，an}的所有子集的个数是2n；

（2）若AÍBÛAIB=A，AUB=B；

（3）德摩根定律：

CU（AUB）=（CUA）I（CUB），CU（AIB）=（CUA）U（CUB）

ax-5

x-a24.你会用补集思想解决问题吗？

（排除法、间接法）如：

已知关于x的不等式

的取值范围。

（∵3ÎM，∴a·3-5

3-a

a·5-5

5-a22<0的解集为M，若3ÎM且5ÏM，求实数a<05öéÞaÎ1，÷U（9，25））ê3øë³0∵5ÏM，∴

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（Ú），“且”（Ù）和“非”（Ø）.

若pÙq为真，当且仅当p、q均为真

若pÚq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若Øp为真，当且仅当p为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。

）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？

映射f：

A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。

）

8.函数的三要素是什么？

如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：

函数y=x（4-x）

lg（x-3）2的定义域是

（答：

（0，2）U（2，3）U（3，4））

10.如何求复合函数的定义域？

如：

函数f（x）的定义域是[a，b]，b>-a>0，则函数F（x）=f（x）+f（-x）的定义域是_____________。

（答：

[a，-a]）

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：

f

令t=（x+1=e+x，求f（x）.x+1，则t³0

2）x∴x=t-1

∴f（t）=et

∴f（x）=e2-1+t-1+x-1（x³0）22x-12

12.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

ìï1+x如：

求函数f（x）=í2ïî-x（x³0）（x<0）

（x<0）的反函数（答：

f-1ìïx-1（x）=íïî--x（x>1））

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f（x）的定义域为A，值域为C，aÎA，bÎC，则f（a）=bÛf-1（b）=a\f-1[f（a）]=f-1（b）=a，ff-1（b）=f（a）=b

14.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（y=f（u），u=j（x），则y=f[j（x）]

（外层）（如：

求y=log1（-x+2x）的单调区间2

2

（设u=-x2+2x，由u>0则0

且log1u¯，u=-（x-1）+1，如图：

22

2当xÎ（0，1]时，u­，又log1u¯，∴y¯

当xÎ[1，2）时，u¯，又log1u¯，∴y­

2

∴„„）

15.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间（a，b））

A.0B.1

2C.2D.3aö÷³03øæ（令f’（x）=3x-a=3çx+èaöæ÷çx-3øè

则x£-

a3

或x³

a3

由已知f（x）在[1，+¥）上为增函数，则∴a的最大值为3）

a3

£1，即a£3

16.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f（x）定义域关于原点对称）

若f（-x）=-f（x）总成立Ûf（x）为奇函数Û函数图象关于原点对称若f（-x）=f（x）总成立Ûf（x）为偶函数Û函数图象关于y轴对称注意如下结论：

（1）在公共定义域内：

两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f（x）是奇函数且定义域中有原点，则f（0）=0。

a·2+a-2

2+1

xx

如：

若f（x）=为奇函数，则实数a=

（∵f（x）为奇函数，xÎR，又0ÎR，∴f（0）=0

a·2+a-2

2+1

00

即=0，∴a=1）

又如：

f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当xÎ（0，1）时，f（x）=求f（x）在（-1，1）上的解析式。

2

x

x

4+1

，

（令xÎ（-1，0），则-xÎ（0，1），f（-x）=

24

-x-x

24

xx-x

-x

+1

又f（x）为奇函数，∴f（x）=-

+1

=-

2

1+4

x

ì2ï-x

ï4+1

又f（0）=0，∴f（x）=í

x

ï2xïî4+1

xÎ（-1，0）x=0xÎ（0，1）

）

17.你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T¹0），在定义域内总有f（x+T）=f（x），则f（x）为周期

函数，T是一个周期。

）

如：

若f（x+a）=-f（x），则（答：

f（x）是周期函数，T=2a为f（x）的一个周期）又如：

若f（x）图象有两条对称轴x=a，x=b（Û）即f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x）则f（x）是周期函数，2a-b为一个周期如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

f（x）与f（-x）的图象关于y轴对称

f（x）与-f（x）的图象关于x轴对称

f（x）与-f（-x）的图象关于原点对称f（x）与f-1（x）的图象关于直线y=x对称f（x）与f（2a-x）的图象关于直线x=a对称f（x）与-f（2a-x）的图象关于点（a，0）对称

y=f（x+a）左移a（a>0）个单位¾®将y=f（x）图象¾¾¾¾¾¾¾¾y=f（x-a）右移a（a>0）个单位

y=f（x+a）+b上移b（b>0）个单位¾®¾¾¾¾¾¾¾¾y=f（x+a）-b下移b（b>0）个单位

注意如下“翻折”变换：

f（x）¾¾®f（x）f（x）¾¾®f（|x|）

如：

f（x）=log2（x+1）

作出y=log2（x+1）及y=log2x+1的图象

y=log2x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：

y=kx+b（k¹0）

（2）反比例函数：

y=的双曲线。

böæ（3）二次函数y=ax+bx+c（a¹0）=açx+÷

è2aø

2

2

kx

（k¹0）推广为y=b+

kx-a

（k¹0）是中心O’（a，b）

+

4ac-b4a

2

图象为抛物线

2

æb4ac-böb

，顶点坐标为ç-÷，对称轴x=-

4a2aè2aø

开口方向：

a>0，向上，函数ymin=

4ac-b4a

2

2

a<0，向下，ymax=

4ac-b4a

应用：

①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程22ax+bx+c=0，D>0时，两根x1、x2为二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴

2的两个交点，也是二次不等式ax+bx+c>0（<0）解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

ìD³0

ïïb2如：

二次方程ax+bx+c=0的两根都大于kÛí->k2aï

ïîf（k）>0

一根大于k，一根小于kÛf（k）<0

（4）指数函数：

y=ax（a>0，a¹1）

（5）对数函数y=logax（a>0，a¹1）

由图象记性质！

（注意底数的限定！

）

ax（a>1）

（6）“对勾函数”y=x+k

x（k>0）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

1

ap20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：

a0=1（a¹0），a-p=

m-m

n（a¹0）an=am（a³0），a=1

am（a>0）

对数运算：

logaM·N=logaM+logaN（M>0，N>0）

logaMN=logM-logN，logaaa

aM=1nlogMa对数恒等式：

alogx=x

对数换底公式：

logab=

21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）logcblogcaÞlogambn=nmlogab

如：

（1）xÎR，f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），证明f（x）为奇函数。

（先令x=y=0Þf（0）=0再令y=-x，„„）

（2）xÎR，f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x）是偶函数。

（先令x=y=-tÞf[（-t）（-t）]=f（t·t）

∴f（-t）+f（-t）=f（t）+f（t）

∴f（-t）=f（t）„„）

（3）证明单调性：

f（x2）=f[（x2-x1）+x2]=„„

22.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。

）

如求下列函数的最值：

（1）y=2x-3+

2x-4

x+3-4x

（2）y=

（3）x>3，y=2x2

x-3

2（4）y=x+4+

（5）y=4x+9

x9-xq，qÎ[0，p]）（设x=3cos，xÎ（0，1]

23.你记得弧度的定义吗？

能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l=a·R，S扇=12l·R=

12a·R）2

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sina=MP，cosa=OM，tana=ATy

TBS

OMAx

如：

若-p

8

又如：

求函数y=1-æpö2cosç-x÷的定义域和值域。

è2ø

（∵1-æpö2cosç-x÷）=1-è2ø2sinx³0

∴sinx£2

2

，如图：

∴2kp-5p

4£x£2kp+p

4（kÎZ），0£y£1+2

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？

并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

x£1，cosx£1sin

y

x

-O

2

y=tgx

对称点为çkæ

èpö，0÷，kÎZø2

é

ëp2x的增区间为ê2kp-y=sin，2kp+pù（kÎZ）2úû

减区间为ê2kp+ëép2，2kp+3pù（kÎZ）ú2û

图象的对称点为（kp，0），对称轴为x=kp+

y=cosx的增区间为[2kp，2kp+p]（kÎZ）p2（kÎZ）

减区间为[2kp+p，2kp+2p]（kÎZ）

图象的对称点为çkp+æ

èpö，0÷，对称轴为x=kp（kÎZ）ø2

y=tanx的增区间为çkp-æ

èp2，kp+pö÷kÎZ2ø

26.正弦型函数y=Asin（wx+j）的图象和性质要熟记。

[或y=Acos（wx+j）]

（1）振幅|A|，周期T=2p

|w|

若f（x0）=±A，则x=x0为对称轴。

若f（x0）=0，则（x0，0）为对称点，反之也对。

（2）五点作图：

令wx+j依次为0，

（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。

（求A、w、j

值）p2，p，3p2，2p，求出x与y，依点

ìw（x1）+j=0ï如图列出íp

ïw（x2）+j=2î

解条件组求w、j值

D正切型函数y=Atan（wx+j），T=p

|w|

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：

cosçx+

（∵p

6ø22ëû3p

2，∴7p

6

6<5p

3，∴x+p

6=5p

4，∴x=13

12p）

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：

函数y=sinx+sin|x|的值域是

（x³0时，y=2sinxÎ[-2，2]，x<0时，y=0，∴yÎ[-2，2]）

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

®ìx’=x+ha=（h，k）

（1）点P（x，y）¾¾¾¾¾¾®P’（x’，y’），则íy’=y+k平移至î

®

（2）曲线f（x，y）=0沿向量a=（h，k）平移后的方程为f（x-h，y-k）=0如：

函数y=2sinç2x-

图象？

（y=2sinç2x-æ

èpöéæ1横坐标伸长到原来的2倍÷-1¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=2sinê2ç4øëè2öpùx÷-ú-1ø4ûæèpö÷-1的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的4ø

p个单位pöæ平移1个单位4¾¾¾®y=2sinx-1¾上=2sinçx-÷-1¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=2sinxèø4左平移

纵坐标缩短到原来的1倍

2¾®y=sinx）¾¾¾¾¾¾¾¾¾

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：

1=sina+cosa=seca-tana=tana·cota=cosa·seca=tan=sinp

2=cos0=„„称为1的代换。

p

2±a”化为a的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，2222p4“k·

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：

cos

9p

æ7pö+tanç-÷+sin（21p）=

è46ø

sina+tanacosa+cota

，则y的值为

又如：

函数y=A.正值或负值

sina+

D.正值

sina

B.负值

2

C.非负值

（y=

cosa+

sina（cosa+1）cosa=>0，∵a¹0）2

cosacosa（sina+1）sina

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

acosb±cosasinb¾¾¾¾®sin2a=2sinacosasin（a±b）=sin

令a=b

令a=b22

co（sa±b）=cosacosbmsinasinb¾¾¾¾®cos2a=cosa-sinatan（a±b）=

tana±tanb1mtana·tanb

=2cosa-1=1-2sinaÞ

2

2

tan2a=

2tana1-tana

2

cosa=

2

1+cos2a2

1-

cos2a

2

sina=

2

a+bcosa=asin

a+bsinj=（a+j），tan

2

2

ba

sina+cosa=

pöæ

2sinça+÷

è4ø

sina+

pöæ

3cosa=2sina+ç÷

è3ø

应用以上公式对三角函数式化简。

（化简要求：

项数最少、函数种类最少，分母中不含

三角函数，能求值，尽可能求值。

）具体方法：

（1）角的变换：

如b=（a+b）-a，

（2）名的变换：

化弦或化切（3）次数的变换：

升、降幂公式

（4）形的变换：

统一函数形式，注意运用代数运算。

如：

已知

sinacosa1-cos2a

=1，tan（a-b）=-

23

，求tan（b-2a）的值。

a+b2böæaæö

=ça-÷-ç-b÷„„èø2øè2

（由已知得：

又tan（b-a）=

sinacosa2sina23

2

=

cosa2sina

=1，∴tana=

12

2

tana（b-a）-tan1+tana（b-a）·tan

-2121=18）

∴tan（b-2a）=tan[（b-a）-a]=

=

31+

32

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？

如何实现边、角转化，而解斜三角形？

·

余弦定理：

a=b+c-2bccosAÞcosA=

222

b+c-a

2bc

222

（应用：

已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。

）ìa=2RsinA

abcï

正弦定理：

===2RÛíb=2RsinB

sinAsinBsinCïc=2RsinC

î

SD=

12

a·bsinC

∵A+B+C=p，∴A+B=p-C

C，si∴sin（A+B）=sin

A+B2

C

=co

2

如DABC中，2sin

（1）求角C；

2

A+B2

+cos2C=1

（2）若a=b+

22

c

2

2

，求cos2A-cos2B的值。

2

（

（1）由已知式得：

1-cos（A+B）+2cosC-1=1

又A+B=p-C，∴2cosC+cosC-1=0∴cosC=

12

或cosC=-1（舍）

p3

2

2

又0

=b+

2

2

（2）由正弦定理及a

2

2

12

2

c得：

p3=34

2

2sinA-2sinB=sinC=sin

2A-1+cos2B=1-cos

34

∴cos2A-cos2B=-3

4）

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：

arcsinxÎ-，，xÎ[-1，1]ê2ú2ûë

反余弦：

arccosxÎ[0，p]，xÎ[-1，1]

反正切：

arctanxÎç-

34.不等式的性质有哪些？

（1）a>b，c>0Þac>bc

c<0Þac

（2）a>b，c>dÞa+c>b+d

（3）a>b>0，c>d>0Þac>bd

（4）a>b>0Þ1

a<1

b，a

1a>1b（5）a>b>0Þan>bn，a>b

（6）|x|0）Û-aaÛx<-a或x>a

如：

若

21a2<1b<0，则下列结论不正确的是（）A.a

D.a

b+b

a>22C.|a|+|b|>|a+b|

答案：

C

35.利用均值不等式：

a+b³2ab（a，bÎR22

++）æa+bö；a+b³2ab；ab£ç÷求最值时，你是否注è2ø2意到“a，bÎR”且“等号成立”时的条件，积（ab）或和（a+b）其中之一为定

值？

（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

a+b

222³a+b

2³ab³a，bÎR）（a+b+2ab

当且仅当a=b时等号成立。

a+b+c³ab+bc+ca（a，bÎR）222

当且仅当a=b=c时取等号。

a>b>0，m>0，n>0，则

b

a

a+m<1

b+n

b

4如：

若x>0，2-3x-的最大值为x

（设y=2-ç3x+æ

è4ö÷£2-2=2-43xø

23

3当且仅当3x=4

x，又x>0，∴x=时，ymax=2-43）

又如：

x+2y=1，则2x+4y的最小值为

（∵2x+22y³22x+2y=221，∴最小值为22）

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如：

证明1+

1

22122+132+„+1n2<2（1++132+„„+1n2<1+11´2

1

n+12´3+„„+1（n-1）n=1+1-1

2+1

2-1

3+„„+1

n-1-

=2-1

n<2）

37.解分式不等式f（x）

g（x）>a（a¹0）的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。

）

38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：

（x+1）（x-1）2（x-2）3<0

39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：

对数或指数的底分a>1或0

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。

）

例如：

解不等式|x-3|-x+1<1

ì

î1üý）2þ（解集为íx|x>

41.会用不等式|a|-|b|£|a±b|£|a|+|b|证明较简单的不等问题

如：

设f（x）=x2-x+13，实数a满足|x-a|<1

求证：

f（x）-f（a）<2（|a|+1）

证明：

|f（x）-f（a）|=|（x2-x+13）-（a2-a+13）|

=|（x-a）（x+a-1）|（Q|x-a|<1）

=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|

£|x|+|a|+1

又|x|-|a|£|x-a|<1，∴|x|<|a|+1

∴f（x）-f（a）<2|a|+2=2（|a|+1）

（按不等号方向放缩）

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？

（可转化为最值问题，或“△”问题）如：

a

a>f（x）恒成立Ûa>f（x）的最大值

a>f（x）能成立Ûa>f（x）的最小值

例如：

对于一切实数x，若x-3+x+2>a恒成立，则a的取值范围是（设u=x-3+x+2，它表示数轴上到两定点-2和3距离之和

umin=3-（-2）=5，∴5>a，即a<5

或者：

x-3+x+2³（x-3）-（x+2）=5，∴a<5）

43.等差数列的定义与性质

定义：

an+1-an=d（d为常数），an=a1+（n-1）d

等差中项：

x，A，y成等差数列Û2A=x+y

前n项和Sn=

（a1+an）n

2

=na1+

n（n-1）2

d

性质：

{an}是等差数列

（1）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；

（2）数列{a2n-1}，{a2n}，{kan+b}仍为等差数列；Sn，S2n-Sn，S3n-S2n„„仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为a-d，a，a+d；（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则

ambm

=S2m-1T2m-1

；

2

（5）{an}为等差数列ÛSn=an+bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

2

Sn的最值可求二次函数Sn=an+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界

项，即：

ìan³0

当a1>0，d<0，解不等式组í可得Sn达到最大值时的n值。

îan+1£0ìan£0

当a1<0，d>0，由í可得Sn达到最小值时的n值。

a³0în+1

如：

等差数列{an}，Sn=18，an+an-1+an-2=3，S3=1，则n=（由an+an-1+an-2=3Þ3an-1=3，∴an-1=1又S3=

（a1+a3）

2

·3=3a2=1，∴a2=

13

∴Sn=

（a1+an）n

2

=

（a2+an-1）·n2

=

æ1ö

ç+1÷nè3ø

2

=18

\n=27）

44.等比数列的定义与性质

定义：

an+1an