高三数学知识点总结.docx
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高三数学知识点总结
高三数学知识点总结
高中数学知识点总结
1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如:
集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx},C={(x,y)|y=lgx},A、B、C中元素各表示什么?
2.进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集Æ的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如:
集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax=1}
若BÌA,则实数a的值构成的集合为
ì
î1üý)3þ(答:
í-1,0,
3.注意下列性质:
(1)集合{a1,a2,„„,an}的所有子集的个数是2n;
(2)若AÍBÛAIB=A,AUB=B;
(3)德摩根定律:
CU(AUB)=(CUA)I(CUB),CU(AIB)=(CUA)U(CUB)
ax-5
x-a24.你会用补集思想解决问题吗?
(排除法、间接法)如:
已知关于x的不等式
的取值范围。
(∵3ÎM,∴a·3-5
3-a
a·5-5
5-a22<0的解集为M,若3ÎM且5ÏM,求实数a<05öéÞaÎ1,÷U(9,25))ê3øë³0∵5ÏM,∴
5.可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(Ú),“且”(Ù)和“非”(Ø).
若pÙq为真,当且仅当p、q均为真
若pÚq为真,当且仅当p、q至少有一个为真
若Øp为真,当且仅当p为假
6.命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。
)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7.对映射的概念了解吗?
映射f:
A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。
)
8.函数的三要素是什么?
如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9.求函数的定义域有哪些常见类型?
例:
函数y=x(4-x)
lg(x-3)2的定义域是
(答:
(0,2)U(2,3)U(3,4))
10.如何求复合函数的定义域?
如:
函数f(x)的定义域是[a,b],b>-a>0,则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定义域是_____________。
(答:
[a,-a])
11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
如:
f
令t=(x+1=e+x,求f(x).x+1,则t³0
2)x∴x=t-1
∴f(t)=et
∴f(x)=e2-1+t-1+x-1(x³0)22x-12
12.反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
ìï1+x如:
求函数f(x)=í2ïî-x(x³0)(x<0)
(x<0)的反函数(答:
f-1ìïx-1(x)=íïî--x(x>1))
13.反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,aÎA,bÎC,则f(a)=bÛf-1(b)=a\f-1[f(a)]=f-1(b)=a,ff-1(b)=f(a)=b
14.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
(y=f(u),u=j(x),则y=f[j(x)]
(外层)(如:
求y=log1(-x+2x)的单调区间2
2
(设u=-x2+2x,由u>0则0且log1u¯,u=-(x-1)+1,如图:
22
2当xÎ(0,1]时,u,又log1u¯,∴y¯
当xÎ[1,2)时,u¯,又log1u¯,∴y
2
∴„„)
15.如何利用导数判断函数的单调性?
在区间(a,b))
A.0B.1
2C.2D.3aö÷³03øæ(令f’(x)=3x-a=3çx+èaöæ÷çx-3øè
则x£-
a3
或x³
a3
由已知f(x)在[1,+¥)上为增函数,则∴a的最大值为3)
a3
£1,即a£3
16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
若f(-x)=-f(x)总成立Ûf(x)为奇函数Û函数图象关于原点对称若f(-x)=f(x)总成立Ûf(x)为偶函数Û函数图象关于y轴对称注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)=0。
a·2+a-2
2+1
xx
如:
若f(x)=为奇函数,则实数a=
(∵f(x)为奇函数,xÎR,又0ÎR,∴f(0)=0
a·2+a-2
2+1
00
即=0,∴a=1)
又如:
f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数,当xÎ(0,1)时,f(x)=求f(x)在(-1,1)上的解析式。
2
x
x
4+1
,
(令xÎ(-1,0),则-xÎ(0,1),f(-x)=
24
-x-x
24
xx-x
-x
+1
又f(x)为奇函数,∴f(x)=-
+1
=-
2
1+4
x
ì2ï-x
ï4+1
又f(0)=0,∴f(x)=í
x
ï2xïî4+1
xÎ(-1,0)x=0xÎ(0,1)
)
17.你熟悉周期函数的定义吗?
(若存在实数T(T¹0),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期
函数,T是一个周期。
)
如:
若f(x+a)=-f(x),则(答:
f(x)是周期函数,T=2a为f(x)的一个周期)又如:
若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(Û)即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)则f(x)是周期函数,2a-b为一个周期如:
18.你掌握常用的图象变换了吗?
f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称
f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称
f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称f(x)与f-1(x)的图象关于直线y=x对称f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称
y=f(x+a)左移a(a>0)个单位¾®将y=f(x)图象¾¾¾¾¾¾¾¾y=f(x-a)右移a(a>0)个单位
y=f(x+a)+b上移b(b>0)个单位¾®¾¾¾¾¾¾¾¾y=f(x+a)-b下移b(b>0)个单位
注意如下“翻折”变换:
f(x)¾¾®f(x)f(x)¾¾®f(|x|)
如:
f(x)=log2(x+1)
作出y=log2(x+1)及y=log2x+1的图象
y=log2x
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(1)一次函数:
y=kx+b(k¹0)
(2)反比例函数:
y=的双曲线。
böæ(3)二次函数y=ax+bx+c(a¹0)=açx+÷
è2aø
2
2
kx
(k¹0)推广为y=b+
kx-a
(k¹0)是中心O’(a,b)
+
4ac-b4a
2
图象为抛物线
2
æb4ac-böb
,顶点坐标为ç-÷,对称轴x=-
4a2aè2aø
开口方向:
a>0,向上,函数ymin=
4ac-b4a
2
2
a<0,向下,ymax=
4ac-b4a
应用:
①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程22ax+bx+c=0,D>0时,两根x1、x2为二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴
2的两个交点,也是二次不等式ax+bx+c>0(<0)解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
ìD³0
ïïb2如:
二次方程ax+bx+c=0的两根都大于kÛí->k2aï
ïîf(k)>0
一根大于k,一根小于kÛf(k)<0
(4)指数函数:
y=ax(a>0,a¹1)
(5)对数函数y=logax(a>0,a¹1)
由图象记性质!
(注意底数的限定!
)
ax(a>1)
(6)“对勾函数”y=x+k
x(k>0)
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
1
ap20.你在基本运算上常出现错误吗?
指数运算:
a0=1(a¹0),a-p=
m-m
n(a¹0)an=am(a³0),a=1
am(a>0)
对数运算:
logaM·N=logaM+logaN(M>0,N>0)
logaMN=logM-logN,logaaa
aM=1nlogMa对数恒等式:
alogx=x
对数换底公式:
logab=
21.如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)logcblogcaÞlogambn=nmlogab
如:
(1)xÎR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。
(先令x=y=0Þf(0)=0再令y=-x,„„)
(2)xÎR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。
(先令x=y=-tÞf[(-t)(-t)]=f(t·t)
∴f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)
∴f(-t)=f(t)„„)
(3)证明单调性:
f(x2)=f[(x2-x1)+x2]=„„
22.掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。
)
如求下列函数的最值:
(1)y=2x-3+
2x-4
x+3-4x
(2)y=
(3)x>3,y=2x2
x-3
2(4)y=x+4+
(5)y=4x+9
x9-xq,qÎ[0,p])(设x=3cos,xÎ(0,1]
23.你记得弧度的定义吗?
能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
(l=a·R,S扇=12l·R=
12a·R)2
24.熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义
sina=MP,cosa=OM,tana=ATy
TBS
OMAx
如:
若-p
8又如:
求函数y=1-æpö2cosç-x÷的定义域和值域。
è2ø
(∵1-æpö2cosç-x÷)=1-è2ø2sinx³0
∴sinx£2
2
,如图:
∴2kp-5p
4£x£2kp+p
4(kÎZ),0£y£1+2
25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?
并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?
x£1,cosx£1sin
y
x
-O
2
y=tgx
对称点为çkæ
èpö,0÷,kÎZø2
é
ëp2x的增区间为ê2kp-y=sin,2kp+pù(kÎZ)2úû
减区间为ê2kp+ëép2,2kp+3pù(kÎZ)ú2û
图象的对称点为(kp,0),对称轴为x=kp+
y=cosx的增区间为[2kp,2kp+p](kÎZ)p2(kÎZ)
减区间为[2kp+p,2kp+2p](kÎZ)
图象的对称点为çkp+æ
èpö,0÷,对称轴为x=kp(kÎZ)ø2
y=tanx的增区间为çkp-æ
èp2,kp+pö÷kÎZ2ø
26.正弦型函数y=Asin(wx+j)的图象和性质要熟记。
[或y=Acos(wx+j)]
(1)振幅|A|,周期T=2p
|w|
若f(x0)=±A,则x=x0为对称轴。
若f(x0)=0,则(x0,0)为对称点,反之也对。
(2)五点作图:
令wx+j依次为0,
(x,y)作图象。
(3)根据图象求解析式。
(求A、w、j
值)p2,p,3p2,2p,求出x与y,依点
ìw(x1)+j=0ï如图列出íp
ïw(x2)+j=2î
解条件组求w、j值
D正切型函数y=Atan(wx+j),T=p
|w|
27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。
如:
cosçx+
(∵p6ø22ëû3p
2,∴7p
66<5p
3,∴x+p
6=5p
4,∴x=13
12p)
28.在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?
如:
函数y=sinx+sin|x|的值域是
(x³0时,y=2sinxÎ[-2,2],x<0时,y=0,∴yÎ[-2,2])
29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?
(平移变换、伸缩变换)
平移公式:
®ìx’=x+ha=(h,k)
(1)点P(x,y)¾¾¾¾¾¾®P’(x’,y’),则íy’=y+k平移至î
®
(2)曲线f(x,y)=0沿向量a=(h,k)平移后的方程为f(x-h,y-k)=0如:
函数y=2sinç2x-
图象?
(y=2sinç2x-æ
èpöéæ1横坐标伸长到原来的2倍÷-1¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=2sinê2ç4øëè2öpùx÷-ú-1ø4ûæèpö÷-1的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的4ø
p个单位pöæ平移1个单位4¾¾¾®y=2sinx-1¾上=2sinçx-÷-1¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=2sinxèø4左平移
纵坐标缩短到原来的1倍
2¾®y=sinx)¾¾¾¾¾¾¾¾¾
30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
如:
1=sina+cosa=seca-tana=tana·cota=cosa·seca=tan=sinp
2=cos0=„„称为1的代换。
p
2±a”化为a的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”,2222p4“k·
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
如:
cos
9p
æ7pö+tanç-÷+sin(21p)=
è46ø
sina+tanacosa+cota
,则y的值为
又如:
函数y=A.正值或负值
sina+
D.正值
sina
B.负值
2
C.非负值
(y=
cosa+
sina(cosa+1)cosa=>0,∵a¹0)2
cosacosa(sina+1)sina
31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:
acosb±cosasinb¾¾¾¾®sin2a=2sinacosasin(a±b)=sin
令a=b
令a=b22
co(sa±b)=cosacosbmsinasinb¾¾¾¾®cos2a=cosa-sinatan(a±b)=
tana±tanb1mtana·tanb
=2cosa-1=1-2sinaÞ
2
2
tan2a=
2tana1-tana
2
cosa=
2
1+cos2a2
1-
cos2a
2
sina=
2
a+bcosa=asin
a+bsinj=(a+j),tan
2
2
ba
sina+cosa=
pöæ
2sinça+÷
è4ø
sina+
pöæ
3cosa=2sina+ç÷
è3ø
应用以上公式对三角函数式化简。
(化简要求:
项数最少、函数种类最少,分母中不含
三角函数,能求值,尽可能求值。
)具体方法:
(1)角的变换:
如b=(a+b)-a,
(2)名的变换:
化弦或化切(3)次数的变换:
升、降幂公式
(4)形的变换:
统一函数形式,注意运用代数运算。
如:
已知
sinacosa1-cos2a
=1,tan(a-b)=-
23
,求tan(b-2a)的值。
a+b2böæaæö
=ça-÷-ç-b÷„„èø2øè2
(由已知得:
又tan(b-a)=
sinacosa2sina23
2
=
cosa2sina
=1,∴tana=
12
2
tana(b-a)-tan1+tana(b-a)·tan
-2121=18)
∴tan(b-2a)=tan[(b-a)-a]=
=
31+
32
32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?
如何实现边、角转化,而解斜三角形?
·
余弦定理:
a=b+c-2bccosAÞcosA=
222
b+c-a
2bc
222
(应用:
已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。
)ìa=2RsinA
abcï
正弦定理:
===2RÛíb=2RsinB
sinAsinBsinCïc=2RsinC
î
SD=
12
a·bsinC
∵A+B+C=p,∴A+B=p-C
C,si∴sin(A+B)=sin
A+B2
C
=co
2
如DABC中,2sin
(1)求角C;
2
A+B2
+cos2C=1
(2)若a=b+
22
c
2
2
,求cos2A-cos2B的值。
2
(
(1)由已知式得:
1-cos(A+B)+2cosC-1=1
又A+B=p-C,∴2cosC+cosC-1=0∴cosC=
12
或cosC=-1(舍)
p3
2
2
又0=b+
2
2
(2)由正弦定理及a
2
2
12
2
c得:
p3=34
2
2sinA-2sinB=sinC=sin
2A-1+cos2B=1-cos
34
∴cos2A-cos2B=-3
4)
33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。
反正弦:
arcsinxÎ-,,xÎ[-1,1]ê2ú2ûë
反余弦:
arccosxÎ[0,p],xÎ[-1,1]
反正切:
arctanxÎç-
34.不等式的性质有哪些?
(1)a>b,c>0Þac>bc
c<0Þac(2)a>b,c>dÞa+c>b+d
(3)a>b>0,c>d>0Þac>bd
(4)a>b>0Þ1
a<1
b,a
1a>1b(5)a>b>0Þan>bn,a>b
(6)|x|0)Û-aaÛx<-a或x>a
如:
若
21a2<1b<0,则下列结论不正确的是()A.aD.a
b+b
a>22C.|a|+|b|>|a+b|
答案:
C
35.利用均值不等式:
a+b³2ab(a,bÎR22
++)æa+bö;a+b³2ab;ab£ç÷求最值时,你是否注è2ø2意到“a,bÎR”且“等号成立”时的条件,积(ab)或和(a+b)其中之一为定
值?
(一正、二定、三相等)
注意如下结论:
a+b
222³a+b
2³ab³a,bÎR)(a+b+2ab
当且仅当a=b时等号成立。
a+b+c³ab+bc+ca(a,bÎR)222
当且仅当a=b=c时取等号。
a>b>0,m>0,n>0,则
b
a
a+m<1b+nb
4如:
若x>0,2-3x-的最大值为x
(设y=2-ç3x+æ
è4ö÷£2-2=2-43xø
23
3当且仅当3x=4
x,又x>0,∴x=时,ymax=2-43)
又如:
x+2y=1,则2x+4y的最小值为
(∵2x+22y³22x+2y=221,∴最小值为22)
36.不等式证明的基本方法都掌握了吗?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)
并注意简单放缩法的应用。
如:
证明1+
1
22122+132+„+1n2<2(1++132+„„+1n2<1+11´2
1
n+12´3+„„+1(n-1)n=1+1-1
2+1
2-1
3+„„+1
n-1-
=2-1
n<2)
37.解分式不等式f(x)
g(x)>a(a¹0)的一般步骤是什么?
(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。
)
38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始
如:
(x+1)(x-1)2(x-2)3<0
39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如:
对数或指数的底分a>1或040.对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。
)
例如:
解不等式|x-3|-x+1<1
ì
î1üý)2þ(解集为íx|x>
41.会用不等式|a|-|b|£|a±b|£|a|+|b|证明较简单的不等问题
如:
设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1
求证:
f(x)-f(a)<2(|a|+1)
证明:
|f(x)-f(a)|=|(x2-x+13)-(a2-a+13)|
=|(x-a)(x+a-1)|(Q|x-a|<1)
=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|
£|x|+|a|+1
又|x|-|a|£|x-a|<1,∴|x|<|a|+1
∴f(x)-f(a)<2|a|+2=2(|a|+1)
(按不等号方向放缩)
42.不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?
(可转化为最值问题,或“△”问题)如:
aa>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值
a>f(x)能成立Ûa>f(x)的最小值
例如:
对于一切实数x,若x-3+x+2>a恒成立,则a的取值范围是(设u=x-3+x+2,它表示数轴上到两定点-2和3距离之和
umin=3-(-2)=5,∴5>a,即a<5
或者:
x-3+x+2³(x-3)-(x+2)=5,∴a<5)
43.等差数列的定义与性质
定义:
an+1-an=d(d为常数),an=a1+(n-1)d
等差中项:
x,A,y成等差数列Û2A=x+y
前n项和Sn=
(a1+an)n
2
=na1+
n(n-1)2
d
性质:
{an}是等差数列
(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
(2)数列{a2n-1},{a2n},{kan+b}仍为等差数列;Sn,S2n-Sn,S3n-S2n„„仍为等差数列;
(3)若三个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d;(4)若an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和,则
ambm
=S2m-1T2m-1
;
2
(5){an}为等差数列ÛSn=an+bn(a,b为常数,是关于n的常数项为
0的二次函数)
2
Sn的最值可求二次函数Sn=an+bn的最值;或者求出{an}中的正、负分界
项,即:
ìan³0
当a1>0,d<0,解不等式组í可得Sn达到最大值时的n值。
îan+1£0ìan£0
当a1<0,d>0,由í可得Sn达到最小值时的n值。
a³0în+1
如:
等差数列{an},Sn=18,an+an-1+an-2=3,S3=1,则n=(由an+an-1+an-2=3Þ3an-1=3,∴an-1=1又S3=
(a1+a3)
2
·3=3a2=1,∴a2=
13
∴Sn=
(a1+an)n
2
=
(a2+an-1)·n2
=
æ1ö
ç+1÷nè3ø
2
=18
\n=27)
44.等比数列的定义与性质
定义:
an+1an