高三数学知识点总结.docx

1、高三数学知识点总结高三数学知识点总结高中数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A=x|y=lgx，B=y|y=lgx，C=(x,y)|y=lgx，A、B、C 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A=x|x2-2x-3=0，B=x|ax=1若BA，则实数a的值构成的集合为1） 3 （答：-1，0，3. 注意下列性质：（1）集合a1，a2，an的所有子集的个数是2n；（2）若ABAIB=A，AUB

2、=B；（3）德摩根定律：CU(AUB)=(CUA)I(CUB)，CU(AIB)=(CUA)U(CUB)ax-5x-a2 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。（3M，a3-53-aa5-55-a220的解集为M，若3M且5M，求实数a -a0，则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定 义域是_。（答：a，-a）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：f令t=(x+1=e+x，求f(x). x+1，则t02)x x=t-1f(t)=etf(x)=e2-1+t-1 +x-1(x0) 22x-1212. 反函数存在的条

3、件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解x；互换x、y；注明定义域）1+x 如：求函数f(x)=2-x(x0)(x0)(x1)）13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设y=f(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf-1(b)=a f-1f(a)=f-1(b)=a，ff-1(b)=f(a)=b14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？（y=f(u)，u=j(x)，则y=fj(x)（外层）（ 如：求y=log1(-x+2x)的单调区间 22（设u=-x2+2x，由u

4、0则0x0)个单位 将y=f(x)图象 y=f(x-a)右移a(a0)个单位y=f(x+a)+b上移b(b0)个单位 y=f(x+a)-b下移b(b0)个单位注意如下“翻折”变换： f(x)f(x)f(x)f(|x|) 如：f(x)=log2(x+1)作出y=log2(x+1)及y=log2x+1的图象 y=log2x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ （1）一次函数：y=kx+b(k0) （2）反比例函数：y=的双曲线。b （3）二次函数y=ax+bx+c(a0)=ax+2a22kx(k0)推广为y=b+kx-a(k0)是中心O(a，b)+4ac-b4a2图象为抛物线2b4ac-

5、bb， 顶点坐标为- ，对称轴x=-4a2a2a开口方向：a0，向上，函数ymin=4ac-b4a22 a0时，两根x1、x2为二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴2的两个交点，也是二次不等式ax+bx+c0(k 2af(k)0 一根大于k，一根小于kf(k)0，a1)（5）对数函数y=logax(a0，a1)由图象记性质！ （注意底数的限定！） ax(a>1) （6）“对勾函数”y=x+kx(k0)利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ 1ap 20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a0=1(a0)，a-p=m-mn(a0) an=am(a0)，a=1am

6、(a0)对数运算：logaMN=logaM+logaN(M0，N0)logaMN=logM-logN，logaaaaM=1nlogM a 对数恒等式：alogx=x对数换底公式：logab=21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法） logcblogcalogambn=nmlogab如：（1）xR，f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x=y=0f(0)=0再令y=-x，）（2）xR，f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，证明f(x)是偶函数。（先令x=y=-tf(-t)(-t)=f(tt)f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)f(-t)

7、=f(t)）（3）证明单调性：f(x2)=f(x2-x1)+x2=22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：（1）y=2x-3+2x-4x+3-4x （2）y=（3）x3，y=2x2x-32 （4）y=x+4+（5）y=4x+9x9-xq，q0，p) (设x=3cos，x(0，123. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l=aR，S扇=12lR= 12aR） 2 24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sina=MP，cosa=OM

8、，tana=AT yT B S O M A x 如：若-p8q0，则sinq，cosq，tanq的大小顺序是又如：求函数y=1-p2cos-x的定义域和值域。 2（1-p2cos-x）=1-22sinx0sinx22，如图： 2kp-5p4x2kp+p4(kZ)，0y1+225. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ x1，cosx1 siny x- O2 y=tgx 对称点为kp，0，kZ 2p2 x的增区间为2kp- y=sin，2kp+p(kZ) 2减区间为2kp+p2，2kp+3p(kZ) 2图象的对称点为(kp，0)，对称轴为x=kp+y

9、=cosx的增区间为2kp，2kp+p(kZ) p2(kZ)减区间为2kp+p，2kp+2p(kZ)图象的对称点为kp+p，0，对称轴为x=kp(kZ) 2y=tanx的增区间为kp-p2，kp+pkZ 226. 正弦型函数y=Asin(wx+j)的图象和性质要熟记。或y=Acos(wx+j) （1）振幅|A|，周期T=2p|w|若f(x0)=A，则x=x0为对称轴。若f(x0)=0，则(x0，0)为对称点，反之也对。（2）五点作图：令wx+j依次为0，（x，y）作图象。（3）根据图象求解析式。（求A、w、j值） p2，p，3p2，2p，求出x与y，依点 w(x1)+j=0 如图列出pw(x2

10、)+j=2解条件组求w、j值D正切型函数y=Atan(wx+j)，T=p|w|27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如：cosx+（pxp23p ，xp，=-，求x值。6223p2，7p6x+p65p3，x+p6=5p4，x=1312p）28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数y=sinx+sin|x|的值域是（x0时，y=2sinx-2，2，x0，a0） 2cosacosa(sina+1)sina31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：acosbcosasinbsin

11、2a=2sinacosa sin(ab)=sin令a=b令a=b22co(sab)=cosacosbmsinasinbcos2a=cosa-sina tan(ab)=tanatanb1mtanatanb=2cosa-1=1-2sina22tan2a=2tana1-tana2cosa= 21+cos2a2 1-cos2a2sina=2 a+bcosa= asina+bsinj=(a+j)，tan22 ba sina+cosa=p2sina+4sina+p3cosa=2sina+3应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法

12、：（1）角的变换：如b=(a+b)-a， （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 如：已知sinacosa1-cos2a=1，tan(a-b)=-23，求tan(b-2a)的值。a+b2ba=a-b 22（由已知得： 又tan(b-a)=sinacosa2sina232=cosa2sina=1，tana=12 2tana(b-a)-tan1+tana(b-a)tan-2121=18）tan(b-2a)=tan(b-a)-a=31+3232. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？余弦定理：a=

13、b+c-2bccosAcosA=222b+c-a2bc222 （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。） a=2RsinAabc正弦定理：=2Rb=2RsinBsinAsinBsinCc=2RsinCSD=12absinCA+B+C=p，A+B=p-CC，si sin(A+B)=sinA+B2C=co2如DABC中，2sin （1）求角C；2A+B2+cos2C=1（2）若a=b+22c22，求cos2A-cos2B的值。2（1）由已知式得：1-cos(A+B)+2cosC-1=1又A+B=p-C，2cosC+cosC-1=0 cosC=12或cosC=-1（舍）p322又0Cb，c0a

14、cbcc0acb，cda+cb+d（3）ab0，cd0acbd（4）ab01a1b，ab1b （5）ab0anbn，ab（6）|x|0)-axaxa如：若21a21b0，则下列结论不正确的是（） A.abB.ab2 2 C.|a|+|b|a+b|答案：C35. 利用均值不等式：a+b2ab(a，bR22+)a+b；a+b2ab；ab求最值时，你是否注 22意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a+b)其中之一为定值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：a+b222a+b2aba，bR) (a+b+2ab当且仅当a=b时等号成立。a+b+cab+bc+ca(a，bR) 222当

15、且仅当a=b=c时取等号。ab0，m0，n0，则bab+ma+m1a+nb+n0，2-3x-的最大值为x（设y=2-3x+42-2=2-43 x233 当且仅当3x=4x，又x0，x=时，ymax=2-43）又如：x+2y=1，则2x+4y的最小值为（2x+22y22x+2y=221，最小值为22）36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明1+122122+132+1n22 （1+132+1n21+1121n+123+1(n-1)n =1+1-12+12-13+1n-1- =2-1n a(a0)的一般步骤是什么？（移项通分，

16、分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 如：(x+1)(x-1)2(x-2)31或0a1讨论40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式|x-3|-x+141.会用不等式|a|-|b|ab|a|+|b|证明较简单的不等问题如：设f(x)=x2-x+13，实数a满足|x-a|1求证：f(x)-f(a)2(|a|+1)证明：|f(x)-f(a)|=|(x2-x+13)-(a2-a+13)|=|(x-a)(x+a-1)|(Q|x-a|1)=|x-a|x

17、+a-1|x+a-1|x|+|a|+1又|x|-|a|x-a|1，|x|a|+1f(x)-f(a)2|a|+2=2(|a|+1)（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题） 如：af(x)恒成立af(x)恒成立af(x)的最大值af(x)能成立af(x)的最小值例如：对于一切实数x，若x-3+x+2a恒成立，则a的取值范围是 （设u=x-3+x+2，它表示数轴上到两定点-2和3距离之和umin =3-(-2)=5，5a，即a5或者：x-3+x+2(x-3)-(x+2)=5，a0，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。an+10an0当a10，由可得Sn达到最小值时的n值。a0n+1如：等差数列an，Sn=18，an+an-1+an-2=3，S3=1，则n= （由an+an-1+an-2=33an-1=3，an-1=1 又S3= (a1+a3)23=3a2=1，a2=13 Sn=(a1+an)n2=(a2+an-1)n2=1+1n32=18n=27）44. 等比数列的定义与性质定义：an+1an