二次函数压轴题专题分类训练.docx

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二次函数压轴题专题分类训练

题型一：

面积问题

中考二次函数压轴题专题分类训练

【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝9S△CAB，

8

若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.y

C

B

D

1

O1Ax

图2

【变式练习】

1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C

的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

y

B

AOx

2.如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y

轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；yD

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，C

△EFK的面积最大？

并求出最大面积．GE

A

FOBx

3.

2

如图，已知：

直线yx3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax+bx+c经过A、

B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y

x3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，

求出点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？

如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

题型二：

构造直角三角形

2

【例2】如图，已知抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90o的点P的坐标．

E

【变式练习】

1．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交

于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点

D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线

y=a（x1）2c（a

0）与x轴交于A、B两点（点A

在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为ykx3,与x

轴的交点为N，且COS∠BCO＝3

10。

10

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）在此抛物线上是否存在异于点直角边的直角三角形？

若存在，求出点

（3）过点A作x轴的垂线，交直线

C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以

P的坐标：

若不存在，请说明理由；

NC为一条

MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线

与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度位长度?

?

向下最多可平移多少个单

y

1

O

1

x

2

3.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x+x﹣1）的图象交于点A（1，k）

和点B（﹣1，﹣k）．

（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值

4.如图

（1），抛物线

y

x2

x4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点

E的

直线y

xb与抛物线交于点B、C.

（1）求点A的坐标；

（2）当b=0时（如图

（2），系还成立吗，为什么？

ABE与

ACE的面积大小关系如何？

当

b

4时，上述关

（3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.

yy

C

C

E

E

B

O

x

O

x

B

A

A

图

（1）图

（2）

第26题

题型三：

构造等腰三角形

【例3】如图，已知抛物线y

ax2bx

3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上是否存在一点Q使得△ACQ为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三

角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式练习】

1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别

2

是方程x﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点

（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

2.如图，抛物线

y

ax25ax

4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴

上，点C在y轴上，且AC=BC．

（1）写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（2）探究：

若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

△PAB是等腰三角

y

CB

1

A

01x

3.已知抛物线

yax2

bxc（a

0）顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，

y）向直线y

5

作垂线，垂足为M，连FM（如图）.

4

（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x＝1上有一点

3

F（1,），求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证

4

明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.

题型四：

构造相似三角形

【例4】如图，已知抛物线经过

（1）求抛物线的解析式；

A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（2）若点D在抛物线上，点

四边形，求点D的坐标；

E在抛物线的对称轴上，且

A、O、D、E为顶点的四边形是平行

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使

得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？

若存在，求出点

由．

P的坐标；若不存在，请说明理

【变式练习】

1.如图，已知抛物线经过

A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？

若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，

使得以A、P、M为顶点的三角形与△

不存在，请说明理由．

OAC相似？

若存在，请求出符合条件的点

P的坐标；若

2.如图，二次函数的图象经过点D（0，7

9

3），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截

得的线段AB的长为6.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【例5】如图，已知抛物线y=错误！

未找到引用源。

x2-错误！

未找到引用源。

（b+1）x+错误！

未找到引用源。

（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【变式练习】

1.如图，平面直角坐标系

xOy中，已知点A（2，3），线段AB垂直于y轴，垂足为B，将

线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D．

（1）试求出点

（2）试求经过

D的坐标；

A、B、D三点的抛物线的表达式，

y

并写出其顶点E的坐标；

（3）在

（2）中所求抛物线的对称轴上找点以点A、E、F为顶点的三角形与

F，使得

△ACD相似．

B

A

1

O

1

x

（图7）

2．已知直线

y

1x

2

1与x轴交于点A，与y轴交于点

B，将△AOB绕点O顺时针旋转90，

使点A落在点C，点B落在点D，抛物线

y

ax2bxc过点A、D、C，其对称轴与直线AB

交于点P，

（1）求抛物线的表达式；

（2）求∠POC的正切值；

（3）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点

坐标。

y

M的

1

O

1

x

3．如图，二次函数y=ax2

+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，

﹣2），过A，C画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；

②若⊙M的半径为

，求点M的坐标．

题型五：

构造梯形

【例6】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为（4,0），点C

的坐标为

（0，

2），直线y

2

x与边BC相交于点D．

3

（1）求点D的坐标；

（2）抛物线y

ax2

bxc经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；

（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？

若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式练习】

1.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－（a＋1）x与直线y＝kx的一个公共点为A（4，8）．

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交

（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；

（3）记

（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N

的坐标及梯形AOMN的面积．

2.已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点

P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点

P的坐标；

（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度

由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线

到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△

间为t秒，求S关于t的函数关系式．

P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为

MN对折，得

S，运动时

3.如图1，二次函数

y

x2

pxq（p

0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（0，－1），△ABC的面积为

5．

4

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点

的取值范围；

M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△

ABC的外接圆有公共点，求

m

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

题型六：

构造平行四边形

【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

【变式练习】

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点

2

A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax+bx+c（a，b，c为常数，

且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

（1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不

平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．

2.

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4,0）、B（0,－4）、C（2,0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、

Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

3.

2

如图，抛物线y=ax+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，﹣3）．点

C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=

﹣x+m过点C，交y轴于D点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

【例8】已知平面直角坐标系

xOy（如图1），一次函数

y

3x

4

3的图像与

y轴交于点A，

点M在正比例函数

y

3

x的图像上，且

MO＝MA．二次函数

2

2

y＝x

＋bx＋c的图像经过点

A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函

数的图像上，点D在一次函数

y

3x

4

3的图像上，且四边形

ABCD是菱形，求点C的坐标．

【变式练习】

1.将抛物线c1：

y

（1）请直接写出抛物线

3x2

3沿x轴翻折，得到抛物线

c2，如图1所示．

c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交

点从左到右依次为A、B；将抛物线

点为N，与x轴的交点从左到右依次为

c2向右也平移

D、E．

m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？

若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

题型七：

线段最值问题

【例9】如图，抛物线y=

x+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

2

（1）求抛物线的解析式及顶点

D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

【变式练习】

1.如图，已知抛物线

y＝ax＋bx＋c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于

2

B（1，0）、C（5，

0）两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点

E），再到达抛物线

的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点

坐标，并求出这个最短总路径的长．

A．求使点P运动的总路径最短的点

E、点F的

y

A

OB

C

x

2

2.如图13，抛物线y=ax＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其

中B点的坐标为（3,0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点

E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若

直线PQ为抛物线的对称轴，点

G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H

四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理

由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点

T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN

∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，

说明理由.

【能力提升】

1.已知,如图11,二次函数

yax22ax

3a（a

0）图象的顶点为H,与x轴交于A、B两

点（B在A点右侧）,点H、B关于直线l:

y3x

3

3

对称.

（1）求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;

（2）求二次函数解析式;

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HNNMMK和的最小值.

yy

ll

HH

KK

AOBx

AOBx

图11

备用图

2.如图．在直角坐标系中，已知点A（0．1．），B（4．4）．将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）抛物线上一动点P．设点P到x轴的距离为

d1，点P到点A的距离为

d2，试说明

d2d11；

（3）在

（2）的条件下，请探究当点P位于何处时．△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。

【例10】如图，已知直线

y1x

2

1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线

12

yxbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）。

2

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标。

【变式练习】

1．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（﹣1，0），B

（﹣l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c

经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|