八年级数学第8讲四边形中的动点问题尖子班教师版docx.docx

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8

四边形中的动点问题

满分晋级阶梯

四边形8级

四边形7级四边形中的动点问题

四边形6级特殊图形的旋转与正方形弦图

平移和几何最值问题

春季班春季班春季班

第六讲第七讲第八讲

漫画释义

如法炮制

1

知识互联网

题型切片

题型切片（两个）

对应题目

题

由动点产生的特殊图

例1，例2，例3，练习1，练习2，练习

3；

型

目

例4，例5，例6，例7，练习

4，练习5．

标

由动点产生的函数关系

编写思路

本讲内容主要分为两个题型，题型一为由动点产生的特殊图形，例题主要是从单动点问题过渡到

双动点问题，解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．对于程度比较好的班级，给出了一个拓展版块，补充了线动及形动问题；题型二为由动点产生的函数关系，该版块重点是线段的含参表示，以及自变量的取值范围，请老师在课上进行重点强调．

2

题型一：

由动点产生的特殊图形

思路导航

我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以

静制动，分类讨论，寻找临界点．

典题精练

【例1】已知如图：

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三

y

C

PB

角形时，点P的坐标为．（101中学初三月考）

【解析】3，4、2，4或8，4

ODAx

【例2】在平行四边形

ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从

A、

C两点以相同的速度

1cm/s向C、A运动．

⑴四边形DEBF是平行四边形吗?

请说明理由．

⑵若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间

t为何值时，四边形

DEBF是矩形?

D

C

D

C

F

E

O

O

E

F

A

B

B

A

D

C

D

C

F

E

O

O

E

F

A

B

A

B

【解析】⑴四边形DEBF是平行四边形

理由：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA＝OC，OB＝OD

3

∵E，F两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动

∴AE＝CF

∴OE＝OF

∴BD、EF互相平分

∴四边形DEBF是平行四边形

⑵∵四边形DEBF是平行四边形

∴当BD＝EF时，平行四边形DEBF是矩形

∵BD＝12cm，∴EF＝12cm

∴OE＝OF＝6cm

∵AC＝16cm

∴OA＝OC＝8cm

∴AE＝2cm或AE＝14cm

∵动点的速度是1cm/s

∴t＝2s或t＝14s

【例3】如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）．点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间

为ts0≤t≤4．

⑴求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？

⑵求当t为多少时，PQ所在直线将梯形

OABC分成左右两部分，其中左部分的面积为右部

分面积的一半，求出此时直线

PQ的函数关系式．

【解析】⑴∵ts后，BP=142t

cm，AQ=4tcm．由

y

7

BP=AQ，得14

2t

（s）．

4t，t=

7

3

P

B

∴当t=s时，BP=AQ，又OA∥BC，

C

3

∴四边形PQAB为平行四边形．

O

Q

x

A

⑵∵C点坐标为（

0，2），A点坐标为（16，0），

∴OC=2cm，OA=16cm．

∴S梯形OABC=

1

（OA+BC）·OC=

1

×（16+14）

×2=30（cm2）．

2

2

∵ts后，PC=2tcm，OQ=16

4tcm，

∴S四边形PQOC=

1

164t

2

16

2t．

2t

2

由题意可得S四边形PQOC=10，∴

16

2t

10

，解得t=3s．

此时直线PQ的函数关系式为y

x4．

【探究】四边形中的动态问题

【探究1】单动点问题；

4

【变式1】如图，在矩形OABC中，已知点B的坐标为（9，4），点P是矩形边上的一个动点，

若点E的坐标为（5，0），且△POE是等腰三角形，求点P的坐标？

y

AP2

P1

B

y

P3

P4

ABOECx

OECx

【解析】如图，

34

，

P2

2,4

，

P3

2.5,4

，

P4

9,3.

P1,

【探究2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；

【变式2】如图，矩形

ABCD中，B的坐标为（43，4），一动点P从O出发，以每秒

1个

单位的速度，从点

O出发沿OA向终点A运动，同时动点

Q以每秒2个单位的速度从点

O

出发沿

OB

向终点

B

运动.过点

Q

作

QE⊥OB

，交

AB

于点

E

，连接

PEPQ

.设运动时间为

t

、

秒.求

t

为何值时，

PEOB

.

∥

y

A

E

B

P

Q

O

C

x

16

【解析】PQ=BE时，PE∥OB，此时t.

7

5

【探究3】线动问题，线动问题转化为点动问题；

【变式3】如图，矩形

ABCO中，B的坐标为（4

3，4），一动点P从O出发，以每秒

1个

单位的速度，从点

O出发沿OA向终点A运动，过点P作直线PF⊥OB，交OB于点F；同

时将直线PF以每秒

3个单位向右平移，分别交

AB、OB于点E、Q，连接PE.设运动时间

为t秒.求t为何值时，PE∥OB.

y

A

E

B

P

F

Q

O

C

x

【解析】同上，此时t

16.

7

【探究4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题；

【变式4】如图，直角

Rt△ABO中，A的坐标为（15，53

），斜边中线

AC将这个直角三角形分成了

2

2

两个等腰三角形△

AOC与△ABC（如图所示），将△AOC

沿直线

x轴正方向平移得到

△A1O1C1，当点O1与点C重合时，停止平移。

在平移的过程中，A1O1

与OB交于点D，O1B1

与BC交于点E.设平移距离OO1为x，△A1O1C1与△ABC重叠部分的面积为

y，是否存在

这样的x,使得重叠部分面积等于原△

ABO面积的

1？

若存在，请求出

x的值；若不存在，

4

请说明理由．

y

A

y

A

A

1

P

E

F

O

C

B

x

O

O1

C

C1

B

x

5

【解析】x.

2

6

题型二：

由动点产生的函数关系

典题精练

【例4】⑴如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设

点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于的函数图象如图2所示，则当x9时，

点R应运动到（）

（161期中）

A．N处B．P处C．Q处D．M处

Q

P

y

R

M

N

O

4

9

x

图1

图2

⑵如图，在矩形

ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线

B→C→D作匀

速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（

）

（重庆中考）

D

C

P

A

B

S

S

S

S

3

3

2

1

1

1

O1

3x

O

1

3

xO

3xO

1

3x

A．

B．

C．

D．

【解析】⑴C；⑵B．

【例5】正方形ABCD的边长为2厘米，点E从点A开始沿AB边移动到点B，

点F从点B开始沿BC边移动到点C，点G从点C开始沿CD边移动到点D，点H从点D开始沿DA边移动到点A、它们同时开始移动，且速度均为0.5厘米/秒．设运动的时间为t（秒）

7

G

DC

H

F

AEB

⑴求证：

△HAE≌△EBF；

⑵设四边形EFGH的面积为S（平方厘米），求S与t之间的函数关系式，并写出自变量

t的

取值范围；

【解析】⑴t秒时，AE=0．5t，BF=0．5t，DH=0．5t

∴AE=BF=DH

∵四边形ABCD为正方形

∴∠A=∠B=90°，AD=AB

∴AH=BE=2

0.5t

∴△HAE≌△EBF

⑵由⑴同理可得Rt△HAE，Rt△EBF，Rt△FCG以及Rt△GDH四个三角形两两全等

S4

1

（2

0.5t）

4

1

2

4

0.5t

t

2t

2

2

自变量t的取值范围是0≤t≤4

【例6】如图，已知正方形

ABCD与正方形EFGH的边长分别是

4

2和2

2，它们的中心O1，O2

都在

直线l上，AD∥l，EG在直线l上，l与DC相交于点

M，ME

7

2

2，当正方形EFGH

沿直线

l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形

ABCD也绕O1

以每秒45°顺时针方向开

始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．

（1）在开始运动前，12

；

OO

（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动

3

秒时，正方形

ABCD停止旋转，这时

AE

，O1O2

；

（3）当正方形

ABCD停止旋转后，正方形

EFGH继续向左平移的时间为

x秒，两正方形重叠

部分的面积为

y，求y与x之间的函数表达式．

A

D

H

O1

O2l

M

E

G

B

C

F

【解析】

（1）9．

（2）0，6．

B

B

B

H

H

H

O1

C

O1

O2

l

C

O1O

2

l

O2

A

l

E

A

G

E

GA

E

C

G

F

F

F

D

D

D

图1

图2

图3

（3）当正方形ABCD停止运动后，正方形

EFGH继续向左平移时，与正方形

ABCD重叠部

分的形状也是正方形．重叠部分的面积

y与x之间的函数关系应分四种情况：

①如图1，当0≤x

4时，∵EA

x，

∴y与x之间的函数关系式为

y

x2

．

2

②如图2，当4≤x

8

时，y与x之间的函数关系式为

2

y

2

2

8．

8

③如图3，当8≤x

12时，∵CG12

x，

12

2

x

1x2

12x72．

∴y与x之间的函数关系式为y

2

2

④当x≥12时，y与x之间的函数关系式为y0．

真题赏析

【例7】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点

A在x轴上，点C在y轴上，

OA=10，OC=8．

⑴如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；

①求点E的坐标及折痕

DB的长；

②在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN

4.5，求使四边形BDMN的周长

最短的点M、点N的坐标．

⑵如图2，在OC、CB边上选取适当的点

F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，

记为H点，设OH=x，四边形OHGC的面积为S．求：

S与x之间的函数关系式，并指出

变量x的取值范围．

y

y

G

C

B

C

B

D

F

O

E

A

x

x

O

HA

图1

【解析】⑴①在矩形OABC中，BC=OA=10，BA=OC=8．由折叠可知：

△CBD≌△EBD，

∴BE=BC=10．

在Rt△BAE中，EA=BE2

BA2=6．

OE=OA－AE=4，

∴E（4，0）．

设CD＝x，

∵△CBD≌△EBD，

∴DE=CD=x，OD=8－x．，

在Rt△ODE中，DE2=OD2＋OE2，

∴x2=（8－x）2＋42，

∴x=5．

在Rt△CDB中，BD=

CD2

BC2=55

②要使DB+DM+MN+

BN最短，只需要DM+BN

最短．

将点B（10，8）向左平移4．5个单位长度，得B1（5．5，8），

9

图2

y

B1

CB

D

x

OMENAD1

∴BB1＝4．5

∵MN=4．5，∴BB1∥MN，

∴BNMB1是平行四边形．

∴B1M=BN．

作D关于x轴的对称点D1（0，-3），连接B1D1，

由对称性及两点之间线段最短可知：

B1D1与x轴的交点为所求M点，在x轴上点M的

右侧作MN=4．5，得所求N点．

可求得直线B1D1的解析式为y2x3，

∴M（3，0），N（6，0）．2

⑵过点G作GK⊥OA于K，设CG＝y，

∴OK=CG＝y，GK=OC＝8．

由折叠可知：

△CGF≌△HGF，

∴GH=CG＝y，

∴HK=OK－OH=＝y－x．

在Rt△HKG中，HG2=HK2＋GK2，

∴y2

2

yx82，

y

G

CB

F

x

OHKA

y64x2，

2x

S

1（OHCG）OC

1（x

64x2

）8

6x2

1284≤x≤8．

2

2

2x

x

10

思维拓展训练（选讲）

训练1.

如图，在直角梯形

ABCD中，DC∥AB，A

90，AB

28cm，

DC24cm，AD

4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C

运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一

个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边