A．5B．8C．10D．15
8．（2020·全国（理））的展开式中x3y3的系数为（）
A．5B．10
C．15D．20
9．（2019·全国（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A．B．C．D．
10．（2019·全国（理））（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20D．24
11．（2019·全国（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．B．C．D．
12．（2018·全国（理））的展开式中的系数为
A．10B．20C．40D．80
13．（2017·全国（理））（+）（2-）5的展开式中33的系数为
A．-80B．-40C．40D．80
14．（2017·全国（理））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中的系数为
A．15B．20
C．30D．35
15．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种B．18种C．24种D．36种
16．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种B．18种C．24种D．36种
17．（2021·浙江）已知多项式，则___________，___________.
18．（2020·浙江）设，则________；________．
19．（2019·浙江）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
20．（2017·浙江）已知多项式2=，则=________________，=________.
二、填空题
21．（2020·天津）在的展开式中，的系数是_________．
22．（2020·全国（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
23．（2020·全国（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
24．（2019·天津（理））展开式中的常数项为________.
25．（2019·上海）在的二项展开式中，常数项的值为__________
26．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）
27．（2018·上海）在的二项展开式中，项的系数为.（结果用数值表示）．
28．（2018·浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.（用数字作答）
29．（2018·浙江）二项式的展开式的常数项是___________．
30．（2018·天津（理））在二项式的展开式中，的系数为__________．
31．（2018·全国（理））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
32．（2017·天津（理））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
33．（2017·山东（理））已知的展开式中含有项的系数是54，则n=_____________.
34．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
四、解答题
35．（2019·江苏）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
九、计数原理（答案解析）
1．C
【分析】
采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【解析】
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.故选：
C.
2．C
【解析】
解：
将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：
，共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，故选：
C.
3．C
【分析】
先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【解析】
根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！
种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：
C.
4．C
【分析】
首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【解析】
第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：
C
5．C
【分析】
首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【解析】
展开式的通项公式为：
，
令可得：
，则的系数为：
.
故选：
C.
【小结】
二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：
第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
6．C
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【解析】
首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：
C
【小结】
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
7．C
【分析】
根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足
从开始，利用列举法即可解出．
【解析】
根据题意可知，原位大三和弦满足：
．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：
．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：
C．
【小结】
本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
8．C
【分析】
求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【解析】
展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：
，该项中的系数为，
在中，令，可得：
，该项中的系数为
所以的系数为
故选：
C
【小结】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
9．D
【分析】
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【解析】
两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
【小结】
本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
10．A
【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【解析】
由题意得x3的系数为，故选A．
【小结】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
11．A
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【解析】
由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
【小结】
对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
12．C
【解析】
分析：
写出，然后可得结果
解析：
由题可得
令,则
所以
故选C.
小结：
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
13．C
【解析】
，
由展开式的通项公式可得：
当时，展开式中的系数为；
当时，展开式中的系数为，
则的系数为.
故选C.
14．C
【解析】
因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.
小结:
对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.
15．D
【解析】
4项工作分成3组,可得：
=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：
种．
故选D.
16．D
【解析】
4项工作分成3组,可得：
=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：
种．
故选D.
17．;.
【分析】
根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【解析】
，
，
所以，
，
所以.
故答案为：
.
18．
【分析】
利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【解析】
的通项为，
令，则，故；
.
故答案为：
；.
【点晴】
本题主要考查利用二项式定理求指
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