小学数学五年级上册应用题经典类型讲解 精品.docx
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小学数学五年级上册应用题经典类型讲解精品
今天我给想给大家探讨的是《小学应用题思维方法》。
应用题是我们小学数学中常见的题目，也是我们把数学知识应用于实际的一个途径。
常见的应用题有文字题目、情景题目、图形题目、算式应用题等等，类型很多。
每一种形式的应用题又分多种类型，比如文字题目中有：
还原问题、行程问题、鸡兔同笼、流水问题、平均数问题、工程问题等等，随着考试的不断发展，特别是奥数理论的发展，近几年又出现了更多更新颖的数学题目，在给我们同学增添数学学习兴趣的同时，也给我们同学增加了不小的难度。
如何解决学习中的这些问题呢？
我认为：
主要是数学思维问题。
从出题老师的角度看，数学题目的发展变化，不是为了难倒同学们，而是为了开发同学们的智力，发展同学们的数学思维，如果我们能够很好的掌握数学的思维方法，任何应用题都会迎刃而解。
我今天就以文字应用题为例，与同学们共同探讨应用题的思维方法。
一． 数学题目的特点：
较为复杂的题目一般会出现两个以上的等量关系，而这些等量关系之间有存在着相互的联系，联系的方式我这里给大家分为三种，即：
递进关系、并列关系和交叉关系。
例如：
甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地，而丙在B地同时出发相向而行，丙遇乙后10分钟和甲相遇。
A、B两地间的路长多少米？
分析与解答：
从图中可以看出，丙和乙相遇后又经过10分钟和甲相遇，10分钟内甲丙两人共行（30＋50）×10=800米。
这800米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。
乙每分钟比甲多行40－30=10米，现在乙比甲多行800米，也就是行了80÷10=80分钟。
因此，AB两地间的路程为（50＋40）×80=7200米。
（递进关系）
一个植树小组植树。
如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。
这个植树小组有多少人？
一共有多少棵树？
由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差14＋4=18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵。
这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差7－5=2棵。
所以植树小组有18÷2=9人，一共有5×9＋14=59棵树。
（并列关系）
有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。
哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。
弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。
哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。
问最初弟弟准备挑多少块？
【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。
只要解一个“和差问题”就知道：
哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。
下面根据题意列表还原：
（交叉关系）
总之，数学题目展示给我们的就是一种或者几种等量关系，解决数学问题就是要我们把数学题目中的等量关系挖掘出来，利用数学知识解决未知量的问题。
我认为，解数学应用题的关键不是知道几个题型，最关键的是我们要懂得数学的思维方法。
二． 应用题的解题思维过程
根据上面所讲的特点，我经过多年对数学应用题题型的钻研，依据小学生的年龄特点，发掘整理出一条解决应用题的途径，在这里分享给大家，希望能给大家以启迪。
我对应用题的分析流程是这样安排的：
1.划分应用题题意层次——2.提炼有效数据（包括未知数据）——3.联系数学基本概念和基本计算建立数据关系模型——4.构思解题步骤——5.书写解题过程——6.数据检验。
例题：
一只小船，第一次顺水航行20千米，又逆水航行3千米，共用了4小时；第二次顺水航行了17．6千米，又逆水航行了3．6千米，也用了4小时。
求船在静水中的速度和水流速度。
应用题有两层意思：
第一次顺水航行20千米，又逆水航行3千米，共用了4小时
第二次顺水航行了17．6千米，又逆水航行了3．6千米，也用了4小时
有效数据：
顺行20千米又逆行3千米共4小时
顺行17.6千米又逆行3.6千米共4小时
数据关系线段图
第一次：
顺行20逆行3
第二次：
顺行17.6逆行3.6
分析：
顺行20－17.6=2.4（千米）逆行3.6－3=0.6（千米）用时相等
联系数学知识：
时间相同时，速度与时间成反比，可得出顺行与逆行的速度关系
分析与解比较两次航行的航程可知：
在相同的时间内，顺水可航行20-17．6=2．4千米，逆水可航行3．6-3=0．6千米。
于是求出在相同时间内顺水航程是逆水航程的2．4÷0．6=4倍。
那么顺水行的航速也就是逆水行的航速的4倍，进而求出顺水与逆水的航速。
顺水航速为每小时：
（20+3×4）÷4=8（千米）
逆水航速为每小时：
8÷4=2（千米）
船在静水中的速度为每小时
（8+2）÷2=5（千米）
水流速度为每小时
（8-2）÷2=3（千米）
即船在静水中的速度为每小时5千米，水流速度为每小时3千米。
例题：
一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队。
每个人都与其余九名选手各赛一盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。
结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分。
那么，甲、乙、丙三队参赛选手的人数各是多少人？
这是一道竞赛题目，题中数据关系较为复杂，但只要我们划分提议层次，就不难看出等量关系
第一句话三个意思：
共10名选手，分为三个队，各队人数不一等
每两人之间各一场比赛，即每人参赛9场
评判规则：
胜一场得1分，平一场两人各得0.5分，负一场0分，向深处思维可知，比赛产生的总分数是不变的
第二句话：
甲对平均4.5分，乙队平均3.6分，丙队平均9分
数据关系列表：
甲乙丙
总分数（）+（）+（）=9+8+7+···+1=45
总平均分45÷10=4.5
各队平均分4.53.69
分析与解:
每人最多9场比赛，所以只有一人得最高分9分，可判断丙队1人；再看甲队平均分等于总平均分，所以，平均时只在乙队与丙队之间进行数据的移补，即丙队高于平总平均分部分补给乙队，因此有等量关系
（9－4.5）÷（4.5－3.6）=5（人）可判断乙队5人
甲队人数：
10―1―5=4（人）
三． 熟练掌握课本中的数学概念、运算法则和常用公式
数学问题的叙述是建立在概念基础上的，因此，熟练的掌握数学基本概念可以使我们迅速捕捉应用题中的数学信息，帮助我们弄清题意。
例：
数的有关概念：
自然数、整数、小数（纯小数、带小数，有限小数、无限小数：
无限不循环小数、无限循环小数，纯循环小数、混循环小数）、分数（真分数、假分数、带分数）、百分数、约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数、互质数、质因数等等
运算法则与常用公式是数学计算的基本方法，不但是计算过程中必须掌握的知识，在分析应用题的过程中也是很好的辅助工具，可以使我们简化思维过程，建立数据之间的逻辑关系。
例：
小学数学基本公式
1、长方形的周长=（长+宽）×2C=（a+b）×22、正方形的周长=边长×4C=4a
3、长方形的面积=长×宽S=ab4、正方形的面积=边长×边长S=a.a=a
5、三角形的面积=底×高÷2S=ah÷26、平行四边形的面积=底×高S=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2S=（a＋b）h÷2
8、直径=半径×2d=2r半径=直径÷2r=d÷2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr
10、圆的面积=圆周率×半径×半径Ѕ=πr
11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2
12、长方体的体积=长×宽×高V=abh
13、正方体的表面积=棱长×棱长×6S=6a
14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a.a.a=a
15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch
16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
S=2πr+2πrh=2π（d÷2）+2π（d÷2）h=2π（C÷2÷π）+Ch
17、圆柱的体积=底面积×高V=ShV=πrh=π（d÷2）h=π（C÷2÷π）h
18、圆锥的体积=底面积×高÷3V=Sh÷3=πrh÷3=π（d÷2）h÷3=π（C÷2÷π）h÷3
19、长方体（正方体、圆柱体）的体
相关联的数量关系
1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a
2、正方体V:
体积a:
棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a
3、长方形C周长S面积a边长周长=（长+宽）×2C=2（a+b）面积=长×宽S=ab
4、长方体V:
体积s:
面积a:
长b:
宽h:
高
（1）表面积（长×宽+长×高+宽×高）×2S=2（ab+ah+bh）
（2）体积=长×宽×高V=abh
5三角形s面积a底h高面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高
6平行四边形s面积a底h高面积=底×高s=ah
7梯形s面积a上底b下底h高面积=（上底+下底）×高÷2s=（a+b）×h÷2
8圆形S面积C周长∏d=直径r=半径
（1）周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r
（2）面积=半径×半径×∏
9圆柱体v:
体积h:
高s;底面积r:
底面半径c:
底面周长
（1）侧面积=底面周长×高
（2）表面积=侧面积+底面积×2（3）体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径
10圆锥体v:
体积h:
高s;底面积r:
底面半径体积=底面积×高÷3
总数÷总份数＝平均数
和差问题
（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数
和倍问题
和÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或者和－小数＝大数）
差倍问题
差÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或小数＋差＝大数）
植树问题
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数－1）株距＝全长÷（株数－1）
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数＋1）株距＝全长÷（株数＋1）
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数
盈亏问题
（盈＋亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数
（大盈－小盈）÷两次分配量之差＝参加分配的份数
（大亏－小亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝（顺流速度＋逆流速度）÷2水流速度＝（顺流速度－逆流速度）÷2
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）
时间单位换算
1世纪=100年1年=12月
大月（31天）有:
1\3\5\7\8\10\12月
小月（30天）的有:
4\6\9\11月
平年2月28天,闰年2月29天
平年全年365天,闰年全年366天
1日=24小时1时=60分
1分=60秒1时=3600秒
例题：
3个相邻偶数的乘积是一个六位数8****2，求这3个偶数。
分析：
由于乘积是一个六位数字，所以这3个相邻的偶数必须是两位数字。
而这3个相邻的偶数的个位数字只能是0，2，4，6，8中相邻的3个，但要使它们的乘积的个位数字为2，这3个相邻偶数的个位数字只能是4，6，7；由于3个100相乘等于一个小的七位数字1000000，所以可以估算出这3个相邻的偶数为94，96，98。
经计算知，要使乘积的第一位数字为8，这3个相邻的偶数只能是94，96，
四． 熟悉一些特殊应用题的解题思路
在小学数学中有许多特殊类型的应用题，这些应用题不是出题人故意的在难为同学们，有很多是从古至今的数学家总结生产、生活中的实际问题提炼出来的解决数学问题的途径，还有一些是现在数学解决问题过程中总结出来的一些解决问题的思维过程，这些途径很值得我们现在学习数学的借鉴，并且这些问题还可以开阔我们的思路。
例题：
老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
分析：
这个问题就是鸡兔同笼问题我们分步来考虑：
①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10=60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：
[6×10-（41+1）÷（6-4）
=18÷2=9（条）
10-9=1（条）
答：
有9条小船，1条大船。
五． 学会数学积累
同学们从三年级就开始写日记了，并且语文老师把日记作为同学们的作业要求，为的是让同学们把语文知识与生活实际结合起来，积累我们的写作素材，更好的学习语文；数学也是一样，需要不断的积累，记数学日记就是一个很好的积累方法，数学日记的素材可以来源于课堂、作业、生活、疑问、新发现等等
指导：
1.记录当节当天当周课堂学习的学习、回顾与反思；
（内含：
课堂印象深刻的教学环节、自己对新知识的理解、数学的学习心得困惑、对某题的独特思考、对知识的回顾等等）
2.记录生活中与数学知识相关的数学现象、数学活动；
3.记录数学有关的名人名言、名人故事；
4.介绍看到、听到、想到的数学知识；
5.编写数学童话、数学相声、数学游戏；
6.坦然与教师交流自己的心里话。
例文：
昨天我去买“香不佬”鸡腿，每3元一只，买了5只，共用了15元。
后来想再买几只送给表弟吧，于是又回头买了4只，又用了12元。
我算了算一共用去27元。
我想用另外的算法检验一下对不对，就想，先买5只，后买4只，共买9只，9个3元是27元。
其实，3╳5+3╳4=15+12=27，就是5个3加上4个3，等于9个3，9╳3=27。
原来3╳5+3╳4=3╳9。
上个星期，我们学习了分数。
分数有分子、分母和分数线，比如：
1/3，3是分母，1是分子，中间一横是分数线。
活中有很多地方都要用到分数，比如：
一本书有三十页，每一页是一本书的1/30。
分数还可以用来加减呢！
比如：
二分之一加二分之一等于二分之二，也就是1。
为什么会这样呢？
如果一个饼把它平均分成两份，每份就是这个饼的1/2，再把这两份拼起来，就是有2个1/2，刚好是一个饼。
分数在加减时，如果分母都是一样的，就不管分母，把分子相加就可以了。
而2/2的分子和分母都一样，就是1了。
我还学会了比分数的大小，老师教了我们口诀：
分子相同比分母，分母大的分数小，分母小的分数大；分母相同比分子，分子大的分数大，分子小的分数小。
老师还提醒我们，写分数时，一般先写分数线，表示平均分的意思，再写分母，最后写分子.
总之，数学的学习不只是解几道题的问题，主要是要学会数学的思维方法，头脑中有了数学思维，并能够灵活运用，数学应用题，以及数学应用于我们的生活都不是难题。
我们在学习数学时，要注意方法的积累，培养自己的数学思维方式，长此下去，数学不但变得容易，而且会很有趣。
应用题是数学能力的综合体验，我们必须熟悉数学知识的各部分内容以及应用，建立清晰的数学思维方法，才能灵活的应对应用题的变化，真正学好数学。
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