高考数学数列专题复习通项与前n项和通法.docx

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高考数学数列专题复习通项与前n项和通法

2018年高考数学数列专题复习通项与前n项和通法

1、问题描述

一般地，对数列自身来讲，主要有以下题型：

第一、求数列的通项公式，主要方法有：

（1）利用与的关系；

（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。

第二、求数列的前n项和，主要方法有：

（1）倒序相加法；

（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法。

第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。

这是解决好数列问题的重中之重。

2、智慧笔记

1.证明等差等比数列

①等差数列的证明方法：

（1）定义法：

（常数）

（2）等差中项法：

②等比数列的证明方法：

（1）定义法：

（常数）

（2）等比中项法：

2.通项的求法

①累加法：

数列有形如的递推公式，且的前n项和可求，可利用累加法求。

②累乘法：

数列有形如的递推公式，且的前n项积可求，则利用累乘法求出通项。

③已知通项公式与前n项和关系求通项：

利用和的关系，若给出或可以求出，则可利用，求。

④辅助数列法：

（Ⅰ）递推公式为型【其中，p,q为常数，】方法为：

利用待定系数法将其变形为，再设，则即为以为首项，p为公比的等比数列，求出的通项公式，从而求出；

（Ⅱ）递推公式为型【其中p,q为常数】.方法为：

先在原递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，再应用类型（Ⅰ）的方法解决。

（Ⅲ）递推关系为（其中a,c为常数且）型的数列，取倒数得，当时是等差数列；当时

，令，可利用类型（Ⅰ）的方法解决。

3.典型的求和方法

①分组求和法：

数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式，常见于为等差数列，为等比数列或者和分别是数列的奇数项和偶数想，并满足不同的规律。

②倒序相加法：

讲一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n项和公式的推导即用此方法）。

③错位相减法：

求数列和的前n项和，数列，分别为等差与等比数列，求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q后，向后错一项，与原数列的和做差，即，然后求即可。

注意：

（Ⅰ）等比数列公比为负数的情形；

（Ⅱ）应用等比数列求和公式注意，如果不能确定公比q是否为1，应讨论。

④裂项相消：

将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项。

常见的裂项相消变化有：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）；

（Ⅳ）；

（Ⅴ）；

注意：

（Ⅰ）使用裂项法，应注意正负项相消时削去了哪些项，保留了哪些项；

（Ⅱ）由于数列中每一项均裂成了一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必定相同。

4.几个重要考点

①方程思想：

=等差数列中的“知三求二”问题，即：

已知等差数列之五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个。

②函数思想：

等差数列的前n项的和，（A、B是与n无关的常数），关于n的二次型函数，没有常数项.

③的最大（小）值：

方法一：

不等式组思想：

的最大值⇔,求得n的值再求.的最小值⇔，求得n的值再求.方法二：

利用项的单调性求解.判断哪些项为负数，哪些项为非负数，从而求的最值.方法三：

（函数思想）利用：

由，利用二次函数，数形结合，求得最大（小）值时n的值.

的最大值⇔的最大值。

的最小值⇔的最小值。

方法四：

利用差比或者商比【判定的单调性】

从而判定的单调性.

END

3、智囊例题

【例1】【2014高考湖北文第18题理第18题】已知等差数列满足：

，且、、成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.

【答案】

（1）或.

【解析】

试题分析：

（1）设数列的公差为，根据成等比数列求得的值，从而求得数列的通项公式；

（2）由

（1）中求得的，根据等差数列的求和公式求出，解不等式求出满足条件的的.

【例2】【2014高考湖南卷文第16题】

已知数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】

（1）

（2）

【例3】【2015高考安徽文18】

已知数列是递增的等比数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和.

（Ⅰ）由题设可知，又，可解的或（舍去）由得公比，故.

（Ⅱ）又

所以

.

例4】【2015高考山东理18】

设数列的前n项和为.已知.

（I）求的通项公式；

（II）若数列满足，求的前n项和.

【解析】

所以，

，又适合此式.

【例5】【2013浙江18理文19】

在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.

（1）求;

（2）若,求

【答案】解:

（Ⅰ）由已知得到:

（Ⅱ）由

（1）知,当时,,

①当时,

②当时,

所以,综上所述:

四．智客习题

A组（夯实基础）时间：

30分钟

一、选择题（每题5分，共60分）

1．（2011年福建泰宁调研）已知等比数列{an}中有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝（　　）　　　　　　　　　　　　　　　

A．2B．4C．8D．16

2．（2011年福建泰宁调研）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－n2，则a4＝（　　）

A．－6B．－8C．－12D．－14

3．若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是（　　）

A．公差为2的等差数列B．公差为lg2的等差数列

C．公比为2的等比数列D．公比为lg2的等比数列

4．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，则最大角为（　　）

A．140°B．120°C．100°D．80°

5．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是（　　）

A．3B．4C．5D．6

6.（2011年辽宁）若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为（　　）

A．2B．4C．8D．16

7．（2010年浙江）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝（　　）

A．11B．5C．－8D．－11

8．数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－（2n＋1）x＋＝0的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn＝（　　）

A.B.C.D.

9.（2011年安徽）若数列{an}的通项公式是an＝（－1）n·（3n－2），则a1＋a2＋…a10＝（　　）

A．15B．12C．－12D．－15

10.（2011年四川）数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an（n∈N*），若b3＝－2，b10＝12，则a8＝（　　）

A．0B．3C．8D．11

11.（2010年北京）在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝（　　）

A．9B．10

C．11D．12

12．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝2，若数列也是等比数列，则Sn等于（　　）

A．2nB．3n

C．2n＋1－2D．3n－1

二、填空题（每题5分，共20分）

13.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1，则an＝________.

14.（2010年福建）在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.

15．已知数列an＝则a1＋a100＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝________.

16．（2011年江苏）设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．

B组（能力提升）时间：

20分钟

1.【2015高考湖北文19】

设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．

2.【2014高考大纲理第18题】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.

（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.