江苏省南通基地高考数学密卷10理.docx
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江苏省南通基地高考数学密卷10理
江苏省南通基地2018年高考数学密卷(10)理
第Ⅰ卷(必做题,共160分)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.集合,,则▲.
2.在复平面内,复数-3+i和1-i对应的点间的距离
为▲.
3.用系统抽样方法从名学生中抽取容量为的样本,
将名学生随机地编号为,按编号顺序平均
分为个组.若第组中用抽签的方法确定抽出的号码
为,则第组抽取的号码为▲.
4.幂函数的单调增区间为▲.
5.执行右边的程序框图,若p=14,则输出的n的值
为▲.
6.在矩形中中,,在上任取
一点,则△ABP的最大边是的概率
为▲.
7.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l:
y=2+10,且它的一个焦点在直线l上,则双曲线C的方程为▲.
8.设是首项为正数的等比数列,公比为,则“”是“对任意的正整数,
”的▲条件.
(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”之一)
9.已知正三棱柱的所有棱长都为3,则该棱柱外接球的表面积为▲.
10.定义在区间上的函数的图象与的图象的交点横坐标为,则的值为▲.
11.已知函数若函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点,则实数m的取值范围是▲.
12.如图,已知正方形的边长是2,是的中点,
是以为直径的半圆上任意一点,则的
取值范围是▲.
13.已知正数满足,则的最小值为▲.
14.已知等差数列的首项,若数列恰有6项落在区间内,则公差的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,.
(1)求的值;
(2)求c的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,
PC⊥底面ABCD,E为PB上一点,F为PO的中点.
(1)若PD∥平面ACE,求证:
E为PB的中点;
(2)若AB=PC,求证:
CF⊥平面PBD.
17.(本小题满分14分
已知椭圆:
的右准线的方程为,左、右两个焦点
分别为,.
(1)求椭圆的方程;
(2)过两点分别作两条平行直线和交椭圆于两点(均在
轴上方),且等于椭圆的短轴的长,
求直线的方程.
18.(本小题满分16分)
如图,圆柱体木材的横截面半径为1dm,从该木材中截取一段圆柱体,再加工制作成
直四棱柱,该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形,分别内接于圆柱的上、下底面,下底面圆的圆心在梯形内部,∥,60°,,设.
(1)求梯形的面积;
(2)当取何值时,四棱柱的体积最大?
并求出最大值.
(注:
木材的长度足够长)
19.(本小题满分16分)
已知数列的首项(),其前项和为,设().
(1)若,,且数列是公差为3的等差数列,求;
(2)设数列的前项和为,满足.
①求数列的通项公式;
②若对且,不等式恒成立,求a的
取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知函数,(,).
(1)当时,
①若函数与在处的切线均为,求的值;
②若曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围;
(2)当时,设,若函数存在两个不同的零点
求证:
.
2018年高考模拟试卷(10)
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答.
A.[选修41:
几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,圆的半径与互相垂直,为圆上一点,直线与圆交于另一点
,与直线交于点,过点的切线
交线段于点.求证:
.
B.[选修42:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵,.若矩阵满足,求矩阵的特征值
和相应的特征向量.
C.[选修44:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,设P为曲线C:
上任意一点,求点P到直线l:
的最大距离.
D.[选修45:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知,且,求证:
≥.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,已知定点,动点分别在轴,轴上移动,延长至点,
使得,且.
(1)求动点的轨迹;
(2)过点任作一条直线与相交于,
过点作轴的平行线与直线相交于点
(为坐标原点).求证:
动点在定直线上.
23.(本小题满分10分)
已知数列是公差为的等差数列.在的每相邻两项之间插入这两项的算术
平均数,得到新数列,这样的操作叫做该数列的1次“”扩展.连续次“”
扩展,得到新数列.例如:
数列1,2,3第1次“”扩展后得到数列1,,
2,,3;第2次“”扩展后得到数列1,,,,2,,,,3.
(1)求证:
为等差数列,并求其公差;
(2)已知等差数列共有项,且.若的所有项的和为,求使成立的的取值集合.
2018年高考模拟试卷(10)参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】391
4.【答案】
5.【答案】4
【解析】当时,,此时不成立.
6.【答案】
【解析】设,当时,,
所以所求概率为:
.
7.【答案】
【解析】由双曲线的渐近线方程可知;又由题意,那么,双曲线方程为.
8.【答案】必要不充分
【解析】由,因为,所以要使,必须
,即,所以“”是“”的必要不充分条件.
9.【答案】
【解析】如图,外接球的球心为上下底面中心连线的
中点,连结,,所以三角形为直角三角形,
,,所以,
所以该棱柱外接球的表面积为.
10.【答案】
【解析】令,即,所以,
因为,所以,即,从而.
11.【答案】
【解析】依题意,即
记函数结合函数图象知,.
12.【答案】
【解析】以为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,则,
.设,,所以,其中,
且.由于,所以,所以
.
13.【答案】
【解析】,令,
则,记,由得,.
经检验,当时,,所以的最小值为.
14.【答案】
【解析】设等差数列的公差为,则由,由数列恰有6项落在区间内,得即令,
则时,
该不等式表示的区域为如图所示的四边形内部,及其边、(不含顶点、),其中,,,.,,此时,,,即,,公差的取值范围是.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本小题满分14分)
解:
(1)在△ABC中,因为,,,
由正弦定理得,,……2分
于是,即,……4分
又,所以.……6分
(2)由
(1)知,,
则,,……10分
在△ABC中,因为,,所以.
则
.……12分
由正弦定理得,.……14分
16.(本小题满分14分)
【证】
(1)连接,
因为PD//平面ACE,面,面面,
所以PD//OE.……3分
因为四边形ABCD是正方形知,所以为中点,
所以E为PB的中点.……6分
(2)在四棱锥P-ABCD中,AB=PC,
因为四边形ABCD是正方形,所以,
所以.
因为F为PO中点,所以.……8分
又因为PC⊥底面ABCD,底面ABCD,
所以PC⊥BD.……10分
而四边形ABCD是正方形,所以,
因为平面,,
所以平面,……12分
因为平面,所以.
因为平面,,
所以CF⊥平面PBD.……14分
17.(本小题满分14分)
解:
(1)由题设,,,……3分
得,,
故椭圆方程为.……6分
(2)连结BO并延长交椭圆E于D,则易证,
所以.
因为,
所以,所以三点共线.……8分
当轴时,不合题意;
当CD不与轴垂直时,设,
代入椭圆方程并化简得,……10分
设,
则,所以.
又,
所以,得,……13分
所以直线的方程为.……14分
18.(本小题满分16分)
【解】
(1)由条件可得,,
所以梯形的高.
又,,……3分
所以梯形的面积
……5分
().……8分
(2)设四棱柱的体积为,因为,
所以.……10分
设,因为,所以,
所以,.
由,……12分
令,得,
与的变化情况列表如下:
0
↗
极大值
↘
由上表知,在时取得极大值,即为最大值,且最大值.
……15分
答:
当时,四棱柱的体积取最大值为.16分
19.(本小题满分16分)
解:
(1)由条件知,即,……2分
所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列,且公差均为3.
由,,所以,即,
所以,.
所以.……5分
(2)①由,得(),
由于符合上式,所以(),……7分
所以.
所以,即,
所以数列为等比数列,且公比为,
因为,所以().……10分
②不等式即为,
由于,所以不等式即为.
当是奇数时,,,
所以,
即对且恒成立,
所以,解得.……13分
当为偶数时,,,
由,得对且恒成立,
所以,解得,
因为,所以a的取值范围是.……16分
19.(本小题满分16分)
20.(本小题满分16分)
解:
(1)当时,,所以,.
①由题意,切线的斜率,即,所以.……2分
②设函数,.
“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有
一个零点”.
求导,得.
(ⅰ)当时,由,得,所以函数在单调递减.
因为,所以函数有且仅有一个零点1,符合题意.……5分
(ⅱ)当时,,
当变化时,与的变化情况列表如下:
0
↗
极大值
↘
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,.
注意到,且,
若,则,所以函数有且仅有一个零点1,符合题意.
若,取,,
所以函数存在两个零点,一个为1,另一个在,与题意不符.
若,取,
由于,
所以函数存在两个零点,一个为1,另一个在,与题意不符.
综上,曲线与有且仅有一个公共点时,的取值范围是
或.……9分
(2)当时,.
因为,所以,
即.
令,则,
当时,,当时,,
所以在上递增,在上递减,
所以在处有极大值,所以.
令,,……12分
则,
所以在上单调递增,从而,
所以,
而在上递减,且,
所以,即.……16分
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4—1:
几何证明选讲](本小题满分10分)
【证】连结,则,
因为,所以.……2分
因为,所以,
因为,所以,
所以,……6分
所以.
因为是圆的切线段,所以,
所以.……10分
B.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
解:
设,由,即,
得解得所以.……5分
设,
令,得,.
当时,,取;
当时,,取.……10分
C.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
解:
以极点为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系.
因为,所以,……2分
将其化为普通方程,得
y60.……4分
将曲线C:
化为普通方程,得2y24.……6分
所以圆心到直线l:
y60的距离d3.……8分
所以P到直线l的最大距离为d25.……10分
D.[选修4-5:
不等式选讲](本小题满分10分)
【证】因为,且,
所以
……5分
≥,
所以≥.……10分
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.
22.(本小题满分10分)
(1)解:
设,,.
由,得,即.……2分
因为,所以,所以.
所以动点的轨迹为抛物线,其方程为.……5分
(2)证:
设直线的方程为,代入,得,
设,,则有.
直线的方程为;直线的方程为,所以交点.7分
设,注意到及,
则有,
因此动点在定直线()上.……10分
23.(本小题满分10分)
(1)证:
①当时,与的算术平均数为,
则为常数,
所以当时,数列为等差数列,且公差.……2分
②假设当时,数列为等差数列,且公差,
则当时,
数列中相邻两项与的算术平均数为,
由,
知数列中任意相邻两项的差为常数,
所以当时,数列为等差数列,且公差.
由①②可知,为等差数列,且公差.……5分
(2)解:
(方法一)由已知可知,设数列的项数为,
则,且,
所以,
所以,即.
所以
.……7分
则.
令,
则.
由可知,,,
所以,所以在上单调递增.
又因为,
所以使成立的的集合为.……10分
(方法二)
同上可得,
令,
则
,
则单调递增,以下同上.……10分