裂区和条区试验的方差分析.docx
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裂区和条区试验的方差分析
裂区和条区试验的方差分析
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裂区和条区试验的方差分析
1裂区试验的设计方法
在有些多因素随机区组试验设计中,由于情况特殊，我们不能在区组内将所有处理完全随机排列，这些情况导致了随机区组设计的一些推广设计,如裂区设计和条区设计.裂区设计的原理是这样，区组包含一定数目的主小区，主小区又被划分成若干个次级小区.这样一个因素或几个因素的各水平首先配置给主小区，然后另外的一个因子或几个因子配置给次级小区.
【例1】牧场试验中的裂区设计。
试验因素有两个,一是牧草品种Ｂ:
B１、B2、B3,B4、B5、B６,另一个是放牧吃草方式Ａ:
Ａ1、A2。
牧草可以在各区组内随机配置来种植，但放牧吃草方式却需要一大片土地,因为小了不够畜群吃。
这样我们采取下列设计方式：
在试验设计中，把A1、A２占的区称为主小区,A称为主区因素,把每一个主小区分为6个子区（裂区或副小区），把６个品种随机配置进去，因而把品种B叫子区因素或副因素。
这种试验设计为二裂式裂区试验。
可以看出,在随机区组试验设计中,所有处理AiBj是在一个区组内随机配置的，而在裂区试验中，副因素是在主小区内随机配置的。
在生物科学和农林科学试验中,采用裂区试验设计的例子是不少的,譬如对某作物既要比较几种施肥法，又要比较几种灌溉法，以及这两个因素的交互作用。
各种施肥法可以在较小的副小区田上配置，但各种灌溉法需在较大的主小区上配置。
又如播种期和品种试验，适宜的方法是把同一播期的各品种种在一起,即播种期为主因素，安排在主小区上,而品种为副因素，应随机安排在副小区上。
如果副小区（裂区）内再划分小区,称为再裂区,在其中安排副副因素C，这种安排主因素（A）、副因素（Ｂ）和副副因素（Ｃ）的试验设计称为三裂式裂区试验。
裂区设计的主要优点在于：
ａ．田间实施比较方便；b.能利用原有的试验地及试验材料,进行深一步的研究；ｃ.某个因子可获得较高的精确度。
但裂区设计的还存在如下主要缺点：
a．资料的统计分析比较复杂，不易掌握;b．次要因子的精确度较低。
另外要注意，裂区的面积大小同一般随机区组设计时小区面积相同,不能太小。
２裂区试验的方差分析
２.1二裂式裂区试验的方差分析
设主因素A有a个水平,副因素B有ｂ个水平，有ｒ个区组,则AiBj在第k个区组的观察值为xijｋ。
二裂式裂区试验的方差分析特点表现在变异来源上分主区部分和副区部分,各有各的误差和相应的自由度。
具体见表1。
表1 二裂式裂区试验变异来源和自由度分解
表1反映了二裂式裂区试验在方差分析上与二因素完全随机区组试验的区别:
ｆe为二因素完全随机区组试验的误差自由度，把fｅ分解为
和
是因为每一主小区都包含一套副因素处理的特点而引起的。
二裂式裂区试验的线性统计模型为:
其中αｉ为主区因素Ａi的主效应,γk为区组k的主效应，δｉk为Aｉ与区组k的交互效应，为主区误差;βj为副区因素Ｂj的主效应,（αβ）ij为Ａi与Bｊ的交互效应，εijｋ为副区误差。
δｉｋ间相互独立且均服从N（0，
）,δijｋ间相互独立且均服从N（0,
）。
下面用具体实例说明二裂式裂区试验的分析方法。
【例2】设有一小麦中耕次数（A）和施肥量（B）试验,主处理为Ａ，分A1、Ａ2、A33个水平,副处理为B,分B1、B2、Ｂ3、Ｂ44个水平,裂区设计，重复３次（r=3）,副区计产面积66m2，其田间排列和产量（ｋg）如下：
试作方差分析。
将xijk整理成区组和处理AiBｊ的双向表２、A和B的双向表３。
表2 区组和处理双向表
主因素Ａ
副因素B
区组
Tｉj.
Ｔi..
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A１
B1
29
28
3２
８９
B2
37
3２
31
1０0
B3
18
14
17
49
B4
17
１6
１5
48
Ｔ１．k
101
90
95
286
A2
B1
２8
29
25
82
B２
31
2８
2９
8８
B3
１3
13
1０
36
B4
１3
12
12
３7
Ｔ2.k
８5
８２
7６
243
A3
B1
30
27
2６
8３
B2
３1
28
31
９０
B３
1５
14
11
４0
Ｂ4
16
1５
13
44
Ｔ3．k
92
８4
81
257
Ｔ..k
２79
256
2５２
786（T…）
表３A和B的双向表
以上两表中,T．.k为区组ｋ的和,平均值为
;Tｉj．为AiBj的和，平均值为
；Ti..为Aｉ的和,平均值为
；Ｔ.j.为Bｊ的和,平均值为
；Tｉ.k为Ai主小区和,平均值为
；T…为总和,平均值为
。
各参数的最小二乘估计为:
由上述参数估计结果及计算偏差平方和的口诀可计算主副区各变因的平方和。
由模型（3－５-1）及参数估计易证总变异可分解成６个变因之和:
①主区偏差平方和计算:
事实上主区方差分析是单因素A的随机区组设计的方差分析。
其总变异ＳSTａ是区组与Ａ处理组合AiRk的处理偏差平方和：
② 副区偏差平方和计算：
由以上计算可得到平方和及相应自由度的分解:
由式（3-5-４）可得到各平方和的均方,如ＭSA=ＳSＡ／fＡ等。
与二因素随机区组试验一样,由A、B的固定还是随机假设,可得到EＭS。
这样就形成二裂式裂区试验的方差分析模式表3－5-4。
表3-５-４给出了正确进行Ｆ检验所必需的依据。
由表３-５－4可见，在随机模型和A固定、B随机的混合模型中,如果交互项显著,则对Ｈ0：
和H0：
难以作出直接检验。
这时需对有关项的均方相加以作近似检验。
例如在随机模型中，为检验H０：
，可先将A和eｂ项相加得
再将A×B和ea项相加得
于是,由F = MS1/MS2可检验H0
:
。
其自由度估计为：
小麦中耕次数（A）和施肥量（B）的试验属固定模型,其方差分析结果见表3-5-5。
表3-5-5中，ea是主区误差,ｅb为副区误差。
当选用固定模型时,ea可用以检验区组间和主处理（A）水平间均方的显著性;eb可用以检验副处理（B）水平间和A×Ｂ均方的显著性。
由表3-５-5得到：
区组间、Ａ因素水平间有显著差异,Ｂ因素水平间有极显著差异，但A×B互作不存在。
由此说明:
（1）本试验的区组在控制土壤肥力上有显著效果，从而显著地减小了误差;
（2）不同的中耕次数间有显著差异；（3）不同的施肥量间有极显著差异;（4）中耕的效应不因施肥量多少而异，施肥量的效应也不因中耕次数多少而异。
下面进行多重比较：
①中耕次数间的多重比较
用SＳＲ法,
比较结果:
②施肥量间的多重比较
用SＳR法，
比较结果：
③处理均值间的比较
由于A×B不显著,说明A与B的作用是相互独立的,所以不需再作比较。
如果Ａ×B显著，则需对处理均值进行多重比较。
由裂区试验的特点，对处理均值进行多重比较时，分两种情况:
固定Aｉ对不同Bj作多重比较时,
;固定Ｂj对不同的Ai进行多重比较时，
。
重比较结果说明,中耕次数A１极显著地优于Ａ2，显著地优于A2、A3;施肥量Ｂ2极显著地优于B1,B1极显著地优于B３、B4。
由于A×B不显著,故最优处理必为A1B2。
2．2三裂式裂区试验的方差分析
三裂式裂区试验为三因素试验，考察的因素有A、B、C三个分别具有ａ、ｂ、c个水平。
A为主区因素,B为裂区因素,Ｃ为再裂区因素。
试验按区组重复r次。
每一区组内分ａ个主小区,随机安排Ａ１、Ａ２、…、Aａ；每一主小区分b个裂区，随机安排B1、Ｂ2、…、Ｂb；每一裂区分ｃ个再裂区，随机安排Ｃ1、Ｃ２、…、Cc。
处理AiBjＣk共有abc个。
处理AｉBｊCk在区组l中观察值为xijｋl,共有观察值aｂcr个。
方差分析的模型为：
其中，αi+γl+ （ε1）ij为主区效应分析部分，αi为Ai的主效应，γl为区组ｌ的主效应,（ε１）ｉｊ为主区的随机误差,服从
实际上（ε１）ij为Ai和区组ｌ的交互效应；βj + （αβ）ij+（ε２）ijl为裂区分析部分,βj为Bｊ的主效应，（αβ）iｊ为Ai与Bj的交互效应,（ε2）iｊl为裂区的误差，服从
实际上为主区内的Ｂｊ与区组l的交互作用；θｋ+（αθ）ik+ （βθ）ｊk ＋（αβθ）ijk+（ε3）iｊkｌ为再裂区分析部分,θk为Ck的主效应,（αθ）ik是Ai与Cｋ的交互效应,（βθ）jk是Bｊ与Ck的交互效应，（αβθ）iｊｋ是Ai、Bj和Ck间的交互效应，（ε3）ijkｌ是再裂区的随机误差,亦是ＡiBj内的Ｃk和区组l的交互效应,它服从
。
参数估计、平方和计算和试验因素的抽样值定随例题再说。
三裂式裂区试验的方差分析模式见表3-５-6。
表中未列混合模型，可参照三因素随机区组试验EMＳ写出。
关于表３-5-6有如下几点说明:
１.
可通过
检验,
可通过
来检验,如果都不显著,则试验变为三因素随机区组试验分析,这时SSe=
＋
＋
，ｆｅ=
+
＋
=（aｂc－1）（r-1）。
2.如果
、
经检验都显著,必须严格按表3-5－6分析。
如果是固定模型，在多重比较时有关的均数标准差为：
【例３】一位药物研究员研究一种特定类型的抗生素胶囊的吸收时间。
主区因素是A1、Ａ2、Ａ3三位实验师,裂区因素是B1、B2和Ｂ3三种剂量，再裂区因素是C1、C2、C3和Ｃ4四种胶囊糖衣厚度。
研究员决定做两次重复，并且每天只能做一次重复。
因而天是区组.进行实验时,给每一位实验师分配一个单元抗生素，由他来实施三种剂量和四种糖衣厚度的试验。
所得数据如表3-5-7所示。
平方和计算:
用固定模型分析,得方差分析表３-5-１4。
方差分析表明：
在抗生素胶囊再裂区试验中,实验师间和做试验的日子间均无显著差异。
然而,在剂量和糖衣厚度上是极为显著的，且实验师与糖衣厚度、剂量与糖衣厚度的交互作用是极为显著的，因而必须进行多重比较,再作进一步的结论。
我们仅作裂区上的多重比较，即进行同Aｉ下的BｊCk间的比较。
用ＳSR法，
的值如表3-5-15所示。
比较结果为:
（1）固定A1
（2）固定A2
（3）固定Ａ3
3条区试验的设计与分析
在多因素随机区组试验中,由于实际上的需要，可以变为裂区试验（裂区、再裂区等），亦可以根据需要衍生为条区试验。
如两因素A与B的随机区组试验,A需要较大的小区面积，而B可以在区组内随机配置,这时可采用裂区设计。
如果Ａ与B都希望有较大的面积,方便于实施,这时可先把区组按纵向划分为a个条形小区,随机安排A1、A2、…、Aa，然后再把区组按横向区分为b个条形小区，随机安排Ｂ1、B2、…、Bb，这种设计方式叫随机区组式的条区设计。
条区设计亦是从裂区设计演变而来,即Ａ与B互为主、副因素,因为Aｉ的纵小条形区内随机排列了Ｂ1、B２、…、Bb,Bj的横小条形区内,随机安排了A1、A2、…、Aa。
下面用例题说明其分析特点。
【例3－５-4】设一水稻移栽期和施用绿肥的两因素试验,移栽期（A）有三个水平：
Ａ１=７月16日，Ａ2＝ ８月1６日,Ａ３= 9月1６日；施用绿肥（B）有三个水平:
B1 ＝黄花苜蓿,B2=苕子，B３= 不施绿肥。
由于移栽期和施用绿肥都希望各自连成一片,故采用条区设计。
A、B均为随机区组式排列，六个重复的田间排列与试验产量（ｋg/４0ｍ２）结果列于表３－５-1６中。
从数据看,条区设计试验和二因素随机区组试验一样都有ａｂr个观察值,然而由于二者设计思想不一样，模型不一样，因而在变因效应上有所区别,方差分析的方法也就有了区别。
为此将二者的区别列于表３-5-17中。
由表３-5－1７可看出以下几点;
①从误差上看，由于随机区组与条区设计间有
因而条区设计没有随机区组试验分析的精确度高。
②从条区设计内部看,分析A、B和A×B的误差是不一样的。
③ 随机区组试验和条区设计在ＳＳA、SSB和ＳSA×B上的计算是完全一样的，区别在于
下面仅列出条区设计的方差分析结果（表3-5－18），具体计算就省略了。
在Ｆ检验中，移栽期用区组×移栽期（ea）进行检验；施肥种类用区组×施肥种类（eｂ）检验，移栽期×施肥种类则用剩余误差（ｅc）检验。
其结果两个因素的主效应均极显著，而互作并不显著。
此只需比较各因素主效应间的差异。
最佳的移栽期及最佳的施肥种类组合为最佳的处理组。
下面进行小区平均数间的多重比较（SＳR法），各种情况下的标准差公式为：
本例只需做A处理及Ｂ处理的比较。
检验结果列于表３－5-19及表3-5-２0。
结果表明,8月１６日移栽最佳；黄花苜蓿效果最好；两者的组合A2Ｂ1为试验中最佳处理组合。
参考文献：
袁志发、贠海燕，2007,试验设计与分析（第二版），北京，中国农业出版社,124~１38。
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