QQQ广东中考综合题证明题.docx

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QQQ广东中考综合题证明题

广东中考综合题证明题

一.线段证明题

4.（2012广东梅州8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．

（1）求证：

△ADE∽△BCE；

（2）如果AD2=AE•AC，求证：

CD=CB．

【答案】证明：

（1）∵∠A与∠B都是弧

所对的圆周角，∴∠A=∠B，

又∵∠AED=∠BEC，∴△ADE∽△BCE。

（2）∵AD2=AE•AC，∴

。

又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD。

∴∠AED=∠ADC。

又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°。

∴∠AED=90°。

∴直径AC⊥BD，∴CD=CB。

【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。

【分析】

（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：

△ADE∽△BCE。

（2）由AD2=AE•AC，可得

，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。

9.（深圳2010年招生8分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，

（1）（2分）求证：

MN是半圆的切线，

（2）（3分）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E，交AC于F．

求证：

FD＝FG..

（3）（3分）若△DFG的面积为4.5，且DG＝3，GC＝4，试求△BCG的面积．

【答案】解：

（1）证明：

∵AB是直径，∴∠ACB＝900。

∴∠BAC＋∠ABC＝900。

又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠BAC＋∠MAC＝900。

∴MN⊥AB。

∴MN是半圆的切线。

（2）∵D是弧AC的中点，∴∠CBD＝∠DBA。

∵∠ACB＝900，∴∠DGF＝∠CGB＝900－∠CBD

又∵DE⊥AB，∴∠GDF＝900－∠DBA。

∴∠DGF＝∠GDF。

∴FD＝FG.。

（3）过点F作FH⊥DG于点H，

则由FD＝FG，DG＝3，△DFG的面积为4.5，得HG=1.5，S△FHG＝

。

∵∠GCB＝900，FH⊥DG，∴∠GCB＝∠GHF＝900。

又∵∠CGB＝∠HGF，∴△BCG＝△FHG。

∴

∴

。

【考点】圆切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质。

【分析】

（1）要证MN是半圆的切线，只要证MN⊥AB即可。

由圆周角定理和直角三角形两锐角的关系，经过等量代换，即可证得∠BAC＋∠MAC＝900，从而得证。

（2）由等弧所对圆周角相等的性质，直角三角形两锐角的关系和对顶角相等的性质，可证得∠DGF＝∠GDF，由等腰三角形等角对等边的判定，即可得FD＝FG.。

（3）过点F作FH⊥DG于点H，由等腰三角形三线合一的性质可得HG=1.5，S△FHG＝

。

由相似三角形的性质即可求得△BCG的面积。

6.（2012广东肇庆10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P.求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC；

（3）ABCE=2DPAD．

【答案】证明：

（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。

∵AB=AC，∴D是BC的中点。

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，

∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。

（3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。

∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。

∴∠BAD=∠CBE。

∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。

∴

。

∴

。

∵BC=2BD，∴

，即

。

∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。

∴

。

∴

，即AB•CE=2DP•AD。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】

（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。

（2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。

（3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB•CE=2DP•AD。

7.（2012广东珠海9分）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．

（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；

（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），

（1）中结论还成立吗？

证明你的结论；

（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：

AB=4PD．

【答案】解：

（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC。

（2）

（1）中的结论PO∥BC成立。

理由为：

由折叠可知：

△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。

∴∠A=∠CPO。

又∵∠A与∠PCB都为

所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。

∴∠CPO=∠PCB。

∴PO∥BC。

（3）证明：

∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。

∴∠APO=∠COP。

由折叠可得：

∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。

∴∠A=∠APO=∠AOP。

∴△APO为等边三角形。

∴∠AOP=60°。

又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。

又∵OC=OB，∴△BC为等边三角形。

∴∠COB=60°。

∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。

又∵OP=OC，∴△POC也为等边三角形。

∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。

又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。

在Rt△PCD中，PD=

PC，

又∵PC=OP=

AB，∴PD=

AB，即AB=4PD。

二.角的关系证明题

4.（清远8分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB＝∠C．

（1）求证：

OC∥BD；

（2）若AO＝5，AD＝8，求线段CE的长．

【答案】解：

（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90º。

∵AC与⊙O相切，∴∠CAB＝90º。

∵∠DAB＝∠C，∴∠AOC＝∠B。

∴OC∥BD。

（2）∵AO＝5，∴AB＝10。

又∵AD＝8，∴BD＝

6。

∵O为AB的中点，OC∥BD，∴OE＝3。

∵∠DAB＝∠C，∠AOC＝∠B，∴△AOC∽△DBA。

∴

＝

。

∴

＝

。

∴CO＝

。

∴CE＝CO－OE＝

－3＝

【考点】直径所对的圆周角性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理可得∠AOC＝∠B，再根据同位角相等两直线平行的判定，证得OC∥BD。

（2）要求CE，只要求出CO和OE即可。

一方面OC∥BD，AO=OB，OE是∆ABD的中位线，根据三角形中位线定理OE=

BD，而由已知应用勾股定理可求BD。

另一方面由于△AOC∽△DBA，由相似三角形对应边的比相等可求。

6.（湛江12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求证：

直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：

AE=4：

5，BC=6，求⊙O的直径．

【答案】解：

（1）证明：

连接OD，

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO。

又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°。

∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°。

∴BD⊥OD。

∴BD是⊙O切线。

（2）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90°。

又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C。

∴DE∥BC。

又∵D是AC中点，∴AD=CD。

∴AD：

CD=AE：

BE。

∴AE=BE。

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB。

∴AD：

AE=AC：

AB。

∴AC：

AB=4：

5。

设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，∴BC：

AB=3：

5。

∵BC=6，∴AB=10。

∴AE=

AB=10。

【考点】切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理。

【分析】

（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD。

（2）连接DE，证得∠ADE=90°，∠ADE=∠C，而得DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，而求得。

7.（肇庆10分）已知：

如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。

（1）求证：

∠DAC=∠DBA

（2）求证：

P是线段AF的中点

（3）若⊙O的半径为5，AF=

，求tan∠ABF的值。

【答案】解：

（1）证：

∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA。

∵∠DAC与∠CBD都是弧DC所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD。

∴∠DAC=∠DBA。

（2）∵AB是直径，∴∠DAC=900。

又∵DF⊥AB，∴∠DEB=900。

∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=900。

∴∠ADE=∠ABD=∠DAP。

∴PD=PA。

又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=900，且∠DAC=∠ADE，

∴∠PDF=∠DFA=∠DFP。

∴PD=PF。

∴PA=PF。

即P是线段AF的中点。

（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA，∴△FDA∽△ADB。

∴

。

∴在△ADB中，

。

即tan∠ABF=

。

【考点】同弧所对的圆周角性质，直径所对的圆周角性质，三角形内角和定理，等量代换，相似三角形的判定和性质。

【分析】

（1）利用同弧所对的圆周角相等的性质和角平分线定义可证。

（2）利用直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理，经过等量代换可证。

（3）利用相似三角形的判定和性质可求。

8.（珠海9分）已知：

如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；

点D是

上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且

DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．

（1）求证：

△ABD∽△ADE；

（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，求证：

S△DAF＞S△BAE．

【答案】解：

（1）证明：

连结OD．

∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE。

又∵DE∥BC，∴OD⊥BC。

∴

＝

。

∴∠BAD＝∠EAD。

∵DE∥BC，∴∠BCA＝∠DEA。

又∵∠BDA＝∠BCA，∴∠BDA＝∠DEA。

∴△ABD∽△ADE。

（2）由

（1）△ABD∽△ADE得，

＝

，即AD2＝AB·AE。

设在△ABE中，AE边上的高为h，则：

S△ABE＝

h·AE，且h＜AB．

由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形

∴S△DAF＝

AD2＝AB·AE．∴S△DAF＞S△BAE。

【考点】圆切线的性质，平行的性质，等（同）弧所对圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，点到直线距离的性质，等腰直角三角形的判定和性质。

【分析】

（1）要证△ABD∽△ADE，就要证两组对应角对应相等。

一方面∠BDA和∠DEA与∠BCA都相等，这是因为∠BDA和∠BCA是同弧AB所对的圆周角，是相等的；∠BDA和∠BCA是两平行直线的同位角，也是相等的，所以∠BDA＝∠DEA。

另一方面∠BAD和∠EAD是等弧BD和CD所对的圆周角（可由DE是⊙O的切线证得）。

从而得证。

（2）要证S△DAF＞S△BAE，就要找出两个面积构成的线段间的关系。

一方面设在△ABE中，AE边上的高为h，则：

S△ABE＝

h·AE；另一方面S△DAF＝

AD2，而由

（1）可证得AD2＝AB·AE。

从而根据点到直线的线段中垂直线段最短的性质即h＜AB得证。

6.（深圳2008年8分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：

BD是⊙O的切线．

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，

cos∠BFA＝

，求△ACF的面积．

【答案】解：

（1）证明：

连接BO，

∵AB=AO，BO=AO，∴AB＝AD＝AO。

∴△ABO为等边三角形。

∴∠BAO=∠ABO=60°。

∵AB=AD，∴∠D=∠ABD。

又∠D+∠ABD=∠BAO=60°，∴∠ABD=30°。

∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO。

又∵BO是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线。

（2）∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF。

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°。

在Rt△BFA中，cos∠BFA＝

，∴

。

又∵

＝8，∴

。

【考点】等边三角形的判定和性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质。

【分析】

（1）由等边三角形的判定和性质、三角形外角定理和等腰三角形的性质判断△DOB是直角三角形，则

∠OBD=90°，BD是⊙O的切线。

（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似

比的平方即可求解。

7.（深圳2009年10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：

y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，

点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

【答案】解：

（1）⊙P与x轴相切。

理由如下：

∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），

∴OA=4，OB=8。

由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.。

在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径。

∴⊙P与x轴相切。

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD。

当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E。

∵△PCD为正三角形，∴DE=

CD=

，PD=3，∴PE=

。

∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB。

∴

。

∴

。

∴

。

∴

。

∴

。

当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P（0，－

－8）。

∴k=－

－8，

∴当k=

－8或k=－

－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。

【考点】切线的判定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】

（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出⊙P与x轴的位置关系．

（2）根据正三角形的性质，分圆心P在线段OB上和圆心P在线段OB的延长线上两种情况讨论即可。