级数学模型课程设计题目汇总.docx
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级数学模型课程设计题目汇总
一、选课问题
某同学考虑下学期的选课，其中必修课只有一门（2学分），可供选修的限定选修课（限选课）有8门，任意选修课（任选课）有10门。
由于有些课程之间相互关联，所以可能在选修某门课程时必须同时选修其他某门课程，课程信息见下表：
限选课课号
1
2
3
4
5
6
7
8
学分
5
5
4
4
3
3
3
2
同时选修要求
1
2
任选课课号
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
学分
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
同时选修要求
8
6
4
5
7
6
按学校规定，学生每个学期选修的总学分数不能少于20学分，因此该同学必须在上述18门课中至少选修18个学分，学校还规定学生每学期选修任选课的比例不能少于所修总学分（包括2个必修学分）的1/6,也不能超过所修总学分的1/3。
学院也规定，课号为5，6，7，8的课程必须至少选一门。
试问：
1）为了达到学校和院系的规定，该同学下学期最少应该选几门课？
应该选哪几门课？
2）若考虑在选修最少学分的情况下，该同学最多可以选修几门课？
选哪几门？
3）若考虑到选修时课程能否如愿选上的问题，请多准备几套选择方案。
已知课程限选人数为1，2，3，4限选人数最多，5，6，7，8次之，13、17、18限选人数最少。
请考虑选课时的先后顺序（先选者先录，人满停选）。
二、西部地区农村建设规划问题
在我国西北部某些干旱地区，水资源量不足是发展农牧业生产的主要限制因素之一。
紧密配合国家西部大开发和新农村建设的方针政策，合理利用水资源，加强农田水利工程建设，加速西部农牧业发展，这是当地政府的一个重要任务。
在水利工程建设中，如何合理规划，发挥最大的水利经济效益，是值得研究的一个问题。
现有问题如下：
问题1：
某地区现有耕地可分为两种类型，第Ⅰ类耕地各种水利设施配套，土地平整，排灌便利；第Ⅱ类耕地则未具备以上条件。
其中第Ⅰ类耕地有2.5万亩，第Ⅱ类耕地有8.2万亩，此外尚有宜垦荒地3.5万亩。
该地区主要作物是小麦，完全靠地表水进行灌溉。
由于地表水的供应量随季节波动，在小麦扬花需水时恰逢枯水季节，往往由于缺水使一部分麦田无法灌溉，影响产量。
而且由于第Ⅱ类耕地条件差，土地不平整，所以灌溉定额高，浪费水量比较大，并且产量还不及第Ⅰ类耕地高。
进一步合理利用水资源的措施有二：
其一是进行农田建设，把一部分第Ⅱ类耕地改造成为第Ⅰ类耕地，以节约用水，提高单产；其二是修建一座水库，闲水期蓄水，到小麦扬花需水的枯水期放水，从而调节全年不用季节的水量。
目前该地区在整个小麦生长期的地表水资源可利用量为96.5百万方，其中小麦扬花需水季节可供水量为7.5百万方。
水库建成后在小麦扬花需水季节可多供水量为6.5百万方。
修建水库需要投资5.5百万元，将第Ⅱ类耕地改造为第Ⅰ类耕地每亩需要投资20元，将荒地开垦为第Ⅱ类耕地每亩需要投资85元，将荒地直接开垦为第Ⅰ类耕地每亩需要投资100元。
规划期内，计划总投资额为9百万元。
该地区对小麦的需求量及国家征购指标共计2万吨，超额向国家交售商品粮每吨可加价100元。
各种条件下水的灌溉额及净收益情况如下表1：
表1：
规划年各种条件下的灌溉定额及净收益
类别
全生长期浇水量
（百方/亩）
扬花时浇水量
（百方/亩）
单产
（吨/亩）
净产值
（百元/亩）
扬花时浇水的第Ⅰ类耕
7.5
1.4
0.25
0.52
扬花时不浇水的第Ⅰ类耕
6.1
0.0
0.2
0.43
扬花时浇水的第Ⅱ类耕
9.0
1.65
0.23
0.47
扬花时不浇水的第Ⅱ类耕
7.35
0.0
0.185
0.39
为了充分利用水资源，发挥最大的经济效益，规划期内应该将多少亩第Ⅱ类耕地改造为第Ⅰ类耕，应该开垦多少亩荒地，水库有没有必要修建。
问题2：
另一地区现有4种类型土地，其基本情况如表2所示。
表2：
某地区现有土地基本情况
土地类型
农田工程条件
现有面积
（万亩）
单产
（万吨/万亩）
生产耗电
（百万度/万亩）
净产值
（百万元/万亩）
Ⅰ
无抗旱，无排涝
6．0
0．075
0．0
1．5
Ⅱ
无抗旱，有排涝
2．5
0．1
0．15
2．0
Ⅲ
有抗旱，无排涝
1．0
0．09
0．2
1．8
Ⅳ
有抗旱，有排涝
0．5
0．125
0．25
2．5
地方政府新农村建设项目中计划兴建抗旱排涝设施。
兴建抗旱设施每万亩需投资100万元，若再建排涝设施则必须先治理该流域的主河道，主河道治理投资需300万元。
主河道治理后可再使4.5万亩土地能够搞排涝工程，每万亩需投资50万元。
地方政府在规划期内可筹集资金1000万元，国家对该地区每年可供农业用电2.5百万度，当地对粮食需求量及国家征购任务总计为0.8万吨，超额生产粮食向国家交售每吨可加价100元。
地方政府应该如何确立农田基本建设规划，使该地区到规划期内净产值最大（资本回收因子取0.1）。
问题3：
上述关于地区农田基本建设问题的描述，对实际情况而言是过分简化了的。
实际情况下，一个地区可能有几个流域，有若干条主河道需要治理，并且其土地类型也可能有若干类别，农田水利条件又可分为若干等级，所种植的作物也不会只有一种，植物不同生长期对水的需求量也各不相同。
考虑到这些因素，进一步扩展建模的思路及模型。
三、快递公司送货策略
目前，快递行业正蓬勃发展，为我们的生活带来更多方便。
一般地，所有快件到达某地后，先集中存放在总部，然后由业务员分别进行派送；对于快递公司，为了保证快件能够在指定的时间内送达目的地，必须有足够的业务员进行送货，但是，太多的业务员意味着更多的派送费用。
假定所有快件在早上7点钟到达，早上9点钟开始派送，要求于当天17点之前必须派送完毕，每个业务员每天平均工作时间不超过6小时，在每个送货点停留的时间为10分钟，途中速度为25km/h，每次出发最多能带25千克的重量。
为了计算方便，我们将快件一律用重量来衡量，平均每天收到总重量为184.5千克，公司总部位于坐标原点处（如图2），每个送货点的位置和快件重量见下表，并且假设送货运行路线均为平行于坐标轴的折线。
（1）请你运用有关数学建模的知识，给该公司提供一个合理的送货策略（即需要多少业务员，每个业务员的运行线路，以及总的运行公里数）；
（2）如果业务员携带快件时的速度是20km/h，获得酬金3元/kmkg；而不携带快件时的速度是30km/h，酬金2元/km，请为公司设计一个费用最省的策略；
（3）如果可以延长业务员的工作时间到8小时，公司的送货策略将有何变化？
送货点
快件量T（kg）
坐标（km）
送货点
快件量T
（kg）
坐标（km）
x
y
x
y
1
8
3
2
16
3.5
2
16
2
8.2
1
5
17
5.8
6
18
3
6
5
4
18
7.5
11
17
4
5.5
4
7
19
7.8
15
12
6
3
0
8
15
3.4
19
9
5
4.5
3
11
21
6.2
22
5
7
7.2
7
9
22
6.8
21
0
8
2.3
9
6
23
2.4
27
9
9
1.4
10
2
24
7.6
15
19
10
6.5
14
0
25
9.6
15
14
11
4.1
17
3
26
10
20
17
12
12.7
14
6
27
12
21
13
13
5.8
12
9
28
6.0
24
20
14
3.8
10
12
29
8.1
25
16
20
4.6
7
14
30
4.2
28
18
图2送货点分布图
四、大齡青年的婚姻问题
目前，在许多城市大齡青年的婚姻问题已引起了妇联和社会团体组织的关注。
某单位现有20对大龄青年男女，每个人的基本条件都不相同，如外貌、性格、气质、事业、财富等。
每项条件通常可以分为五个等级A、B、C、D、E，如外貌、性格、气质、事业可分为很好、好、较好、一般、差；财富可分为很多、多、较多、一般、少。
每个人的择偶条件也不尽相同，即对每项基本条件的要求是不同的。
该单位的妇联组织拟根据他（她）们的年龄、基本条件和要求条件进行牵线搭桥。
下面给出20对大龄青年男女的年龄、基本条件和要求条件（如下表）。
一般认为，男青年至多比女青年大5岁，或女青年至多比男青年大2岁，并且要至少满足个人要求5项条件中的2项，才有可能配对成功。
请你根据每个人的情况和要求，建立数学模型帮助妇联解决如下问题：
（1）给出可能的配对方案，使得在尽量满足个人要求的条件下，使配对成功率尽可能的高。
（2）给出一种20对男女青年可同时配对的最佳方案，使得全部配对成功的可能性最大。
（3）假设男女双方都相互了解了对方的条件和要求，让每个人出一次选择，只有当男女双方相互选中对方时才认为配对成功，每人只有一次选择机会。
请你告诉20对男女青年都应该如何做出选择，使得自己的成功的可能性最大？
按你的选择方案最多能配对成功多少对？
男青年
基 本 条 件
要 求 条 件
外貌
性格
气质
事业
财富
年龄
外貌
性格
气质
事业
财富
M1
A
C
B
C
A
29
A
A
C
B
D
M2
C
A
B
A
D
29
B
A
B
B
C
M3
B
B
A
B
B
28
B
A
A
B
C
M4
C
A
B
B
D
28
C
A
B
C
D
M5
D
B
C
A
A
30
C
B
B
B
E
M6
C
B
C
B
B
28
B
B
C
D
C
M7
A
B
B
D
C
30
C
B
B
D
C
M8
B
A
B
C
D
30
A
B
C
C
D
M9
A
D
C
E
B
28
A
A
A
C
C
M10
D
B
A
A
A
28
A
B
A
D
E
M11
B
A
C
D
A
32
A
B
C
D
B
M12
A
B
C
A
B
29
B
A
B
B
C
M13
B
A
D
E
C
28
A
C
B
B
C
M14
A
A
B
B
D
30
A
C
C
D
C
M15
A
B
B
C
C
28
A
A
B
C
D
M16
D
E
B
A
A
30
A
A
A
E
E
M17
C
A
B
A
D
28
B
A
B
B
C
M18
A
B
A
C
B
31
B
B
A
C
C
M19
C
D
A
A
A
29
A
B
A
E
D
M20
A
B
C
D
E
27
B
C
B
D
B
女青年
基 本 条 件
要 求 条 件
外貌
性格
气质
事业
财富
年龄
外貌
性格
气质
事业
财富
W1
A
C
C
D
A
28
B
A
B
A
D
W2
B
A
B
A
D
25
C
B
B
A
B
W3
C
B
A
E
A
26
B
A
C
B
C
W4
A
B
B
C
D
27
A
A
B
B
A
W5
B
D
C
E
C
25
A
B
C
B
B
W6
A
C
B
C
A
26
B
A
B
B
C
W7
D
C
B
A
B
30
C
B
A
A
C
W8
A
B
A
E
C
31
B
A
B
A
B
W9
A
A
A
C
E
26
C
B
B
B
A
W10
B
C
D
B
B
27
B
B
A
A
C
W11
A
B
B
C
B
28
C
B
A
B
C
W12
B
E
C
E
A
26
A
A
B
B
E
W13
E
A
C
B
B
26
C
A
B
C
C
W14
B
B
C
A
A
25
B
A
A
B
D
W15
C
B
A
A
C
29
B
A
B
B
B
W16
B
A
C
D
C
28
B
A
B
B
A
W17
A
E
E
D
A
25
A
A
D
A
C
W18
A
A
B
B
C
28
C
A
B
A
C
W19
B
A
C
C
E
25
B
B
B
A
A
W20
D
B
A
C
D
29
B
B
A
B
B
五、数学建模竞赛参赛队员选拔及组队模型
面对每年一次的全国大学生数学建模竞赛及美国大学生数学建模竞赛,学校需要花费较多的人力以及财力从报名的学生中选拔出优秀的学生并组成具有竞争力的参赛队,期望获得最好的成绩.数学建模竞赛的每一个参赛队由3名同学组成,要求在三天的时间内完成一个实际问题的求解,包括问题描述、问题分析、建立模型、模型求解算法设计、编写程序求得结果、模型以及算法改进、模型稳定性分析、优缺点分析，最后撰写论文等。
竞赛过程中仅允许本队队员之间讨论，并可以利用图书馆中的图书资料以及网上的正确可靠资源。
为最终组成有竞争力的参赛队,我们计划分两步来挑选队员,具体如下:
第一步依据报名表中的信息挑选出优秀的学生,并三人一组组成n1个培训队。
报名时需要填写个人的如下有关信息:
1姓名2性别3年龄4系别5专业
6课程考试成绩（高等数学概率统计线性代数计算方法英语以及有关专业课的考试成绩）
7课程成绩排名（本专业年级）8编写程序的能力
9重要软件的熟练程度10写作能力
1是否参加过其它竞赛以及获奖情况
12是否参加过数学建模竞赛以及获奖情况13个人的兴趣
14是否任班干部15身体状况16目前是大学几年级学生
第二步对挑选出的队员进行培训,培训内容主要集中在论文写作，以及建立数学模型时常用到的思想和方法。
在培训期间要经过3~6次的模拟竞赛，m个教练对每一个培训队的每一次竞赛都有一个综合评价和单项评价，单项评价包括写作水平、模型的正确性和简洁性、算法的正确性和复杂度、创新点共四项，评价成绩分为：
优秀、优良、一般。
基于这些评价最后从中选出实际参加竞赛的队员并组成n2（假设学校更为关心获特等奖个数,一等奖个数,二等奖个数,以及它在全国的排名.
1请建立挑选队员、队员组队的数学模型；
2给出求解模型的具体算法，编写程序实现；
3由于队员变更，新组成队的队员之间相互适应需要花费时间，因而希望尽可能避免不必要的队员变更。
试建立在这种条件下的挑选队员、队员组队的数学模型及其求解算法；
4对于给定的报名表信息，定性或定量分析影响选定n2个参赛队质量的因素。
六、药物代谢问题
设
表示
时刻体内药量，药物经口服吸收而进入血内，因代谢而逐步消除药物（排泄）.已知在t=0时口服含X（克）剂量的药物后血内药物剂量
（纳克）（1纳克=
克）与时间t（小时）的关系为
，
其中
为未知的吸收速度常数，F为未知的吸收比例常数，K为未知的消除速度常数.
现有一体重60千克的人在t=T1=0时,第一次口服某药（含剂量X=0.1（克）），经3次检测得到数据如下:
t=3（小时）时血药浓度为763.9（纳克/毫升）（血药浓度
（纳克/毫升）,V表示未知血液容积（毫升）.t=18（小时）时血药浓度为76.39纳克/毫升，t=20（小时）时血药浓度为53.4（纳克/毫升）.
问题：
设相同体重的人的药物代谢的情况相同.
1.问一体重60千克的人第一次服药X=X1=0.1克剂量后的最高血药浓度Cmax（纳克/毫升）;
2.为保证药效,在血药浓度降低到437.15纳克/毫升时应再次口服药物,其剂量应使最高浓度等于Cmax（纳克/毫升）.求第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔T2（小时）和剂量X2（克）.
3.画出符合2的二次服药情况下在24小时之内的血药浓度曲线（将所要求的三个量Cmax,T2，X2的数值的最后结果皆舍入到4位数字,且要保证4位数字都是有效数字）。
七、自习教室开放的优化管理
近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。
下面是某学校收集的部分数据，请完成以下问题.
表1教室相关数据
教室
座位数
灯管数
开关数
一个开关控制的灯管数
灯管的功率/每只
1
64
42
3
14
40w
2
88
42
3
14
40w
3
193
48
4
12
50w
4
193
50
5
10
48w
5
128
36
2
18
45w
6
120
36
2
18
45w
7
120
36
4
9
48w
8
120
36
3
12
45w
9
110
36
3
12
40w
10
120
36
4
9
45w
11
64
27
3
9
40w
12
247
75
5
15
45w
13
190
48
3
16
48w
14
210
50
5
10
50w
15
70
42
3
14
40w
16
85
42
3
14
40w
17
192
48
4
12
50w
18
195
50
5
10
48w
19
128
36
2
18
45w
20
120
36
2
18
45w
21
120
36
4
9
48w
22
120
36
3
12
45w
23
110
36
3
12
40w
24
160
36
4
9
45w
25
70
27
3
9
40w
26
256
75
5
15
45w
27
190
48
3
16
48w
28
210
50
5
10
50w
29
190
48
3
16
48w
30
205
50
5
10
50w
31
110
36
3
12
40w
32
160
36
4
9
45w
33
70
27
3
9
40w
34
256
75
5
15
45w
35
190
48
3
16
48w
36
210
50
5
10
50w
37
190
48
3
16
48w
38
190
48
3
16
48w
39
210
50
5
10
50w
40
200
48
3
16
48w
41
150
50
5
10
50w
42
150
48
3
16
48w
43
180
48
3
16
48w
44
70
25
5
5
50w
45
120
45
3
15
48w
管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：
00---10：
00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。
完成以下问题：
1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。
问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的.
2．假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…，41,42,43,44,45为第9区。
这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。
学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。
假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。
请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。
另外尽量安排开放同区的教室。
3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。
这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。
假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。
搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。
问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度.
表2学生区（标号为A）到自习区（标号为B）的距离（单位:
米）
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
355
305
658
380
419
565
414
488
326
A2
695
533
469
506
434
473
390
532
604
A3
512
556
384
452
613
572
484
527
618
A4
324
541
320
466
422
650
306
607
688
A5
696
616
475
499
386
557
428
684
591
A6
465
598
407
476
673
573
385
636
552
A7
354
383
543
552
448
530
481
318
311
A8
425
305
454
573
337
314
545
543
306
A9
307
376
535
323
447
553
587
577
334
A10
482
477
441
361
570
580
591
491
522
所有数据仅供计算参考.并非完全真实.
八、校车运行问题
假设老校区的教师和工作人员分布在50个区，各区的距离见表1
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