答案：
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝，则当x<0时，f（x）＝________．
解析：
设x<0，则－x>0，所以f（－x）＝，所以f（－x）＝－＝.
答案：
－
14．已知函数f（x）＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
解析：
因为函数f（x）＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.
又f（0）＝＝＝0，所以b＝1.故a＋b＝2.
答案：
2
15．若函数f（x）＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________．
解析：
作出g（x）＝|4x－x2|的图象（图略），g（x）的零点为0和4.由图象可知，将g（x）的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.
答案：
4
16．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：
①集合A＝{0}为闭集合；
②集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；
③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：
对于①集合A＝{0}，满足条件，所以A＝{0}是闭集；对于集合②A＝{－4，－2，0，2，4}，应为4－（－4）＝8∉A，所以A＝{－4，－2，0，2，4}不是闭集；对于③A＝{n|n＝3k，k∈Z}，集合中的元素是3的倍数，因为任何两个3的倍数的和与差都是3的倍数，所以A＝{n|n＝3k，k∈Z}是闭集；对于④，若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2不一定为闭集合．如A1＝{n|n＝2k，k∈Z}是闭集，A2＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合，但A1∪A2不是闭集，应为2＋3∈（A1∪A2）．所以正确结论为①③.
答案：
①③
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}．
（1）用单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，＋∞）上为增函数；
（2）利用
（1）所得到的结论，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值．
（1）证明：
设x1，x2∈（0，＋∞），且x10，
f（x2）－f（x1）＝－＝.
因为x10，
又因为x1，x2∈（0，＋∞），
所以x2x1>0，f（x2）－f（x1）>0.
故f（x）＝在区间（0，＋∞）上为增函数．
（2）解：
因为f（x）＝在区间（0，＋∞）上为增函数，
所以f（x）min＝f
（1）＝＝1，
f（x）max＝f
（2）＝＝.
18．（本小题满分12分）已知x1，x2是方程x2－2（m－1）x＋m＋1＝0的两个不等实根，且y＝x＋x，求y＝f（m）的表达式及值域．
解：
由Δ＝4（m－1）2－4（m＋1）>0，
解得m>3或m<0.
由韦达定理可得x2＋x1＝2（m－1），x2x1＝m＋1.
故y＝x＋x＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4（m－1）2－2（m＋1）＝4m2－10m＋2（m>3或m<0）．
因为f（m）＝4m2－10m＋2＝4－，
所以f（m）的值域为（2，＋∞）．
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝xm－，且f（4）＝3.
（1）求m的值；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）若不等式f（x）－a>0在区间[1，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
（1）解：
因为f（4）＝3，所以4m－＝3，所以m＝1.
（2）证明：
由
（1）知f（x）＝x－，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
又f（－x）＝－x－＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数．
（3）解：
因为y＝x，y＝－在区间[1，＋∞）上都是增函数，
所以f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数，所以f（x）≥f
（1）＝－3.
因为不等式f（x）－a>0在区间[1，＋∞）上恒成立，即不等式a20．（本小题满分12分）求函数f（x）＝x2＋2x＋a－1在区间上的零点．
解：
Δ＝4－4（a－1）＝8－4a.
当Δ<0，即a>2时，f（x）无零点．
当Δ＝0，即a＝2时，f（x）有一个零点－1.
当Δ>0且f<0，
即
a<－时，f（x）仅有一个零点：
－1－.
当Δ>0且f≥0，
即⇒－≤a<2时，
f（x）有两个零点：
x＝＝－1±.
综上所述，当a>2时，f（x）无零点；
当a＝2时，f（x）有一个零点－1；
当－≤a<2时，f（x）有两个零点：
－1±；
当a<－时，f（x）有一个零点：
－1－.
21．（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：
“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：
千克/年）是养殖密度x（单位：
尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）．
（1）当0（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：
千克/立方米）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．
解：
（1）由题意：
当0当4显然该函数在[4，20]是减函数，
由已知得解得
故函数v（x）＝
（2）依题意并由
（1）可得
f（x）＝
当0≤x≤4时，f（x）为增函数，
故fmax（x）＝f（4）＝4×2＝8；
当4≤x≤20时，f（x）＝－x2＋x＝－（x2－20x）＝－（x－10）2＋，
fmax（x）＝f（10）＝12.5.
所以，当0当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．
22．（本小题满分12分）已知奇函数f（x）＝的定义域为R，其中g（x）为指数函数，且过定点（2，9）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2＋2t＋k）＋f（－2t2＋2t－5）>0恒成立，求实数k的取值范围．
解：
（1）设g（x）＝ax（a>0，且a≠1）），则a2＝9，
所以a＝－3（舍去）或a＝3，
所以g（x）＝3x，f（x）＝.
又f（x）为奇函数，且定义域为R，
所以f（0）＝0，即＝0，所以m＝1，
所以f（x）＝.
（2）设x1则f（x1）－f（x2）＝－＝.
因为x10，
所以>0，
所以f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
所以函数f（x）在R上单调递减．
要使对任意的t∈[0，5]，
f（t2＋2t＋k）＋f（－2t2＋2t－5）>0恒成立，
即对任意的t∈[0，5]，
f（t2＋2t＋k）>－f（－2t2＋2t－5）恒成立．
因为f（x）为奇函数，
所以f（t2＋2t＋k）>f（2t2－2t＋5）恒成立．
又因为函数f（x）在R上单调递减，
所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k<2t2－2t＋5恒成立，
即对任意的t∈[0，5]，k而当t∈[0，5]时，1≤（t－2）2＋1≤10，所以k<1.
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