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教育部审定人教版八年级下册数学第十九章
2013教育部审定人教版八年级下册数学第十九章《一次函数》教案
变量与函数
（1）
教案总序号：
26时间：
2014年3月21日星期五
知识技能目标
1.掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；
2.了解表示函数关系的三种方法：
解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.
过程性目标
1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；
2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.
教学过程
一、创设情境
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．
问题1如图是某地一天内的气温变化图．
看图回答：
（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？
任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
（2）这一天中，最高气温是多少？
最低气温是多少？
（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？
什么时段的气温在逐渐降低？
解
（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；
（2）这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；
（3）这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
二、探究归纳
问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：
观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．
解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．
问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数值：
观察上表回答：
（1）波长l和频率f数值之间有什么关系?
（2）波长l越大，频率f就________．
解
（1）l与f的乘积是一个定值，即
lf＝300000，
或者说
．
（2）波长l越大，频率f就 越小 ．
问题4圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：
S＝_________．
利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________．
解S＝πr2．
圆的半径越大，它的面积就越大．
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（variable）．
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量（independentvariable），y是因变量（dependentvariable），此时也称y是x的函数（function）．表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法，如问题3中的
，问题4中的S＝πr2，这些表达式称为函数的关系式．
（2）列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．
（3）图象法，如问题1中的气温曲线．
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant），如问题3中的300000，问题4中的π等．
三、实践应用
例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
（1）从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?
（2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
（3）上表反映了哪些变量之间的关系?
其中哪个是自变量?
哪个是因变量?
解
（1）平均身高是146.1cm；
（2）约从14岁开始身高增加特别迅速；
（3）反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．
例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
（1）圆的周长C与半径r的关系式；
（2）火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；
（3）n边形的内角和S与边数n的关系式．
解
（1）C＝2πr，2π是常量，r、C是变量；
（2）s＝60t，60是常量，t、s是变量；
（3）S＝（n－2）×180，2、180是常量，n、S是变量．
四、交流反思
1.函数概念包含：
（1）两个变量；
（2）两个变量之间的对应关系．
2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．
3.函数关系三种表示方法：
（1）解析法；
（2）列表法；
（3）图象法．
五、检测反馈
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．
2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：
（1）三角形的一边长5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是
；
（2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β（度）与α间的关系式是β＝90－α；
（3）若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：
y＝ax．
3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：
（1）每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；
（2）计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系．
4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式．
变量与函数
（2）
教案总序号：
27时间：
2014年3月24日星期一
知识技能目标
1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；
2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.
过程性目标
1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；
2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．
教学过程
一、创设情境
问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?
如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．
解如图能发现涂黑的格子成一条直线．
函数关系式：
y＝10－x．
问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
解y与x的函数关系式：
y＝180－2x．
问题3如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式．
解y与x的函数关系式：
．
二、探究归纳
思考
（1）在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？
如果有，写出它的取值范围．
（2）在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？
当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
分析问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．
问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．
问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm．
解
（1）问题1，自变量x的取值范围是：
1≤x≤9；
问题2，自变量x的取值范围是：
0＜x＜90；
问题3，自变量x的取值范围是：
0≤x≤10．
（2）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4． 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：
s＝60t，S＝πR2．
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．
对于函数y＝x（30－x），当自变量x＝5时，对应的函数y的值是
y＝5×（30－5）＝5×25＝125．
125叫做这个函数当x＝5时的函数值．
三、实践应用
例1求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝3x－1；
（2）y＝2x2＋7；（3）
； （4）
．
分析用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在
（1），
（2）中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在（3）中，x＝－2时，
没有意义；在（4）中，x＜2时，
没有意义．
解
（1）x取值范围是任意实数；
（2）x取值范围是任意实数；
（3）x的取值范围是x≠－2；
（4）x的取值范围是x≥2．
归纳四个小题代表三类题型．
（1），
（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；（3）题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式．
例2分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
（1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式；
（2）已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；
（3）在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式．
解
（1）y＝0.50x，x可取任意正数；
（2）
，x可取任意正数；
（3）S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10．
例3在上面的问题（3）中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?
解设重叠部分面积为ycm2，MA长为xcm，y与x之间的函数关系式为
当x＝1时，
所以当MA＝1cm时，重叠部分的面积是
cm2．
例4求下列函数当x=2时的函数值：
（1）y=2x-5；
（2）y=－3x2；
（3）
； （4）
．
分析 函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．
解
（1）当x=2时，y=2×2－5=－1；
（2）当x=2时，y=－3×22=－12；
（3）当x=2时，y=
=2；
（4）当x=2时，y=
=0．
四、交流反思
1.求函数自变量取值范围的两个依据：
（1）要使函数的解析式有意义．
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．
（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2.求函数值的方法：
把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
五、检测反馈
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
（1）一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm．求y和x间的关系式；
（2）寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；
（3）矩形的周长为12cm，求它的面积S（cm2）与它的一边长x（cm）间的关系式，并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积．
2.求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝－2x－5x2；（3）y＝x（x＋3）；
（3）
；（4）
．
3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：
s＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
（1）y＝（x+1）（x－2）；
（2）y＝2x2－3x＋2；（3）
．
函数的图象
（1）
教案总序号：
28时间：
2014年3月25日星期二
知识技能目标
1.掌握平面直角坐标系的有关概念；
2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；
3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义．
过程性目标
1.联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程；
2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.
教学过程
一、创设情境
如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点A在数轴上的坐标是4，点B在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．
我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题．
二、探究归纳
问题1例如你去过电影院吗？
还记得在电影院是怎么找座位的吗？
解因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来．
问题2在教室里，怎样确定一个同学的座位？
解例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示．
问题3要在一块矩形ABCD（AB＝40mm，AD＝25mm）的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔，要求：
（1）孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm，
（2）孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm．
试问：
钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？
分析圆O的中心应是钻头中心的位置．因为⊙O直径为10mm，所以半径为5mm，所以圆心O到AD边距离为20mm，圆心O到AB边距离为10mm．由此可见，确定一个点（圆心O）的位置要有两个数（20和10）．
在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系（rightangledcoordinatessystem）．通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点．
在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示．例如，图中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N．这时，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标（abscissa）；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标（ordinate）．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数（3,2），称为点P的坐标（coordinates）．这时点P可记作P（3,2）． 在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
三、实践应用
例1在上图中分别描出坐标是（2,3）、（－2,3）、（3,－2）的点Q、S、R，Q（2,3）与P（3,2）是同一点吗？
S（－2,3）与R（3,－2）是同一点吗？
解
Q（2,3）与P（3,2）不是同一点；
S（－2,3）与R（3,－2）不是同一点．
例2写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察你所写出的这些点的坐标，回答：
（1）在四个象限内的点的坐标各有什么特征？
（2）两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？
解A（－1,2）、B（2,1）、C（2,－1）、D（－1,－1）、E（0,3）、F（－2,0）．
（1）在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；
在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；
在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；
在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；
（2）x轴上点的纵坐标等于零；
y轴上点的横坐标等于零．
说明从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应．也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的．
例3在直角坐标系中描出点A（2,－3），分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：
（1）关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？
（2）关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？
（3）关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？
解
（1）关于x轴对称的两点：
横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；
（2）关于y轴对称的两点：
横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；
（3）关于原点对称的两点：
横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反．
例4在直角坐标平面内，
（1）第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？
（2）第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？
分析 如图，P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM⊥x轴于M，在Rt△PMO中，∠1＝∠2＝45°，所以｜OM｜=｜MP｜，则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P点位于第一象限内，OM为正值，MP也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同．同样若P点位于第三象限内，则OM为负值，MP也为负值，所以P点横坐标与纵坐标也相同．若P点为第二、四象限角平分线上任一点，则OM与MP一正一负，所以P点横坐标与纵坐标互为相反数．
解
（1）第一、三象限角平分线上点：
横坐标与纵坐标相同；
（2）第二、四象限角平分线上点：
横坐标与纵坐标互为相反数．
四、交流反思
1.平面直角坐标系的有关概念及画法；
2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法；
3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；
4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系．
五、检测反馈
1.判断下列说法是否正确：
（1）（2，3）和（3，2）表示同一点；
（2）点（－4，1）与点（4，－1）关于原点对称；
（3）坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起来，看看得到的是一个什么图形？
3.指出下列各点所在的象限或坐标轴：
A（－3,－5），B（6,－7），C（0,－6），D（－3,5），E（4,0）．
4.填空：
（1）点P（5,－3）关于x轴对称点的坐标是 ；
（2）点P（3,－5）关于y轴对称点的坐标是 ；
（3）点P（－2,－4）关于原点对称点的坐标是 ．
5.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如，图中右下角的一个棋子可以表示为（12,十三）．请至少说出图中四个棋子的“位置”．
函数的图象
（2）
教案总序号：
29时间：
2014年3月26日星期三
知识技能目标
1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象；
2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.
过程性目标
1.结合实际问题，经历探索用图象表示函数的过程；
2.通过学生自己动手，体会用描点法画函数的图象的步骤.
教学过程
一、创设情境
问题1在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在让我们来回顾一下．
二、探究归纳
先考虑一个简单的问题：
你是如何从图上找到各个时刻的气温的？
分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温．这一气温曲线实质上给出了某日的气温T（℃）与时间t（时）的函数关系．例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是（10,2）．实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标（t,T），表示时间为t时的气温是T．
问题2如图,这是2004年3月23日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的？
分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数．这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系．例如，下午14:
30时的指数是1746.26，表现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是（14:
30,1746.26）．实质上也就是说，当时间是14:
30时，对应的函数值是1746.26．
上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子．
一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形．图象上每一点的坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．
三、实践应用
例1画出函数y＝x＋1的图象．
分析要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．解取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3…，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：
…，（－3,－2），（－2,－1），（－1,0），（0,1），（1,2），（2,3），（3,4），…在直角坐标系中，描出这些有序实数对（坐标）的对应点，如图所示．
通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示．
这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．
例2画出函数
的图象．
分析用描点法画函数图象的步骤：
分为列表、描点、连线三步．
解列表：
描点：
用光滑曲线连线：
四、交流反思
由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行：
1.列表：
列表给出自变量与函数的一些对应值；
2.描点：
以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
3.连线：
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连结起来．
描出的点越多，图象越精确．有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结画出的点，从而得到函数的近似的图象．
五、检测反馈
1.在所给的直角坐标系中画出函数
的图象（先填写下表，再描点、连线）．
2.画出函数
的图象（先填写下表，再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点）．
3.
（1）画出函数y＝2x－1的图象（在－2与2之间，每隔0.5取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图）．
（2）判断下列各有序实数对是不是函数y＝2x－1的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上：
（－2.5,－4），（0.25,－0.5），（1,3），（2.5,4）．
4.
（1）画出函数
的图象（在－4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图）．
（2）判断下列各有序实数对是不是函数
的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有
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