31 列代数式.docx

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31列代数式

第3章整式的加减

3.1列代数式

【基本目标】

1.使学生认识用字母表示数的意义，并能说出一个代数式所表示的数量关系；

2.初步培养学生观察、分析及抽象思维的能力；

3.学生能熟练地根据题意列出相应的代数式；

4.能用代数式表示一些有特别含义的数.

【教学重点】如何根据题意列出正确的代数式.

【教学难点】能处理表示特别意义的数的代数式.

一、情境导入，激发兴趣

1.在小学我们曾学过几种运算律?

都是什么?

如何用字母表示它们?

（通过启发、归纳最后师生共同得出用字母表示数的五种运算律）

（1）加法交换律a+b=b+a；

（2）乘法交换律a·b=b·a；

（3）加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）；（4）乘法结合律（ab）c=a（bc）；

（5）乘法分配律a（b+c）=ab+ac

指出：

（1）“×”也可以写成“·”号或者省略不写，但数与数之间相乘，一般仍用“×”;

（2）上面各种运算律中，所用到的字母a，b，c都是表示数的字母，它代表我们过去学过的一切数

【教学说明】从学生学过的内容入手，便于学生回答所提的问题，教师逐步引导学生理解式子中的字母可以代表任意数字.体会用字母表示数字使关系式更具有一般性，更简洁.

2.从甲地到乙地的路程是15千米，步行要3小时，骑车要1小时，乘汽车要0.25小时，试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是多少?

3.若用s表示路程，t表示时间，ν表示速度，你能用s与t表示ν吗?

4.一个正方形的边长是a厘米，则这个正方形的周长是多少?

面积是多少?

（用l表示周长，则l=4a厘米；用S表示面积，则S=a2平方厘米.）

【教学说明】学生回答，此时，教师应指出：

（1）用字母表示数可以把数和数的关系简明的表示出来；

（2）在公式中，用字母表示数也会给运算带来方便.

二、合作探究，探索新知

1.用字母表示数

从这些例子，我们可以体会到，用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义．

【教学说明】可以适当多举一些例子，让学生体会用字母表示数之后，更简洁，更具有一般性.

我们在书写含有字母的式子的时候要注意什么？

①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如5×n,常写作5·n或5n；

②数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如5n,一般不写作n5；

③除法运算写成分数形式，如1500÷t通常写作1500t（t≠0）.

【教学说明】先让学生观察式子的写法与平时习惯写法的不同，再归纳书写含有字母的式子时应注意哪些问题，教师结合具体的例子及时予以补充和强调.

2.代数式

（1）代数式的定义

在前面的研究中出现的如16n，s5，2a＋32b2，a，b，a＋b，ab，a2，a+b2，15，5050，nn+12，5x，st等式子，它们都是由数和字母、字母和字母用运算符号连接所形成的式子，我们称它们为代数式.

注意：

单独的一个数或一个字母也是代数式.

【教学说明】先让学生观察式子的特点，找到它们的共同点进行总结.教师及时予以补充和完善，形成代数式的概念.为了加深学生的理解，可以举一些不是代数式的例子让学生辨别，教师再予以强调.

3.列代数式

（1）通过前面的探究，我们知道可以用字母来表示数.在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式，使问题变得简洁，更具有一般性.

【教学说明】教学中可结合前面的探究，让学生体会到什么是列代数式以及列出代数式表示数量关系的优越性.

三、示例讲解，掌握新知

例1填空：

（1）某地为了治理河山，改造环境，计划在第十个五年计划期间植树绿化荒山，如果每年植树绿化x公顷荒山，那么这五年内植树绿化荒山公顷；

（2）每本练习本m元，甲买了5本，乙买了2本，两人一共花了元，甲比乙多花了元;

（3）1500米跑步测试，如果某同学跑完全程的成绩是t秒，那么他跑步的平均速度为米／秒.

解：

（1）绿化荒山5x公顷．

（2）两人共花（5m＋2m）元，甲比乙多花了（5m－2m）元．

（3）速度为

米/秒．

【教学说明】学生在写式子的时候可能不会很规范，这时教师应该及时进行纠正和强调，并讲清楚为什么要这样写，教师及时板书规范的写法.

例2展示课本第86页例2，学生尝试解答.

在用代数式表示实际问题的量时，要注意什么？

【教学说明】学生尝试解答后，教师提出要注意的地方：

首先要注意代数式的书写格式，其次要分析数量之间的关系，根据数量关系正确地列出代数式.

例3展示课本第87页例3，学生尝试完成.

教师点拨：

（2）题该数与它的

的和与（3）题该数与

的和的3倍有什么区别？

提醒学生注意运算的顺序.

例4展示课本第87页例4，先让学生尝试完成.

教师点拨：

（1）题中的平方和与

（2）题中的和的平方有什么区别？

提醒学生注意运算的顺序.（4）题中什么数是偶数？

什么数是奇数？

若用n表示整数，那么怎样表示偶数和奇数？

【教学说明】学生尝试完成，教师及时纠正错误，然后让学生总结在列代数式的过程中应该注意的问题.教师强调：

列代数式应注意其语言的顺序，按先后顺序来列出正确的代数式，并结合规范的代数式的表达方式.

四、练习反馈，巩固提高

1.用代数式表示：

（1）比a小3的数；

（2）比b的一半大5的数；

（3）a的3倍与b的2倍的和；

（4）a与b的和的60%.

2.设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：

（1）甲乙两数的和的2倍；

（2）甲、乙两数的平方和；

（3）甲乙两数的和与甲乙两数的差的积；

（4）甲、乙两数和的平方.

3.我们知道:

23=2×10+3；865=8×100+6×10+5=8×102+6×10+5

类似地：

3725=×103+7×+2×10+5×

则若某三位数的个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,则此三位数可表示为.

【教学说明】学生独立完成.第1、2题要注意语言的顺序；数量关系的顺序，第3题要由具体到抽象，通过具体数字的探究，写出相关的代数式.

【答案】1.

（1）a-3

（2）

b+5（3）3a+2b

（4）60%（a+b）2.

（1）2（a+b）

（2）a2+b2（3）（a+b）（a-b）（4）（a+b）23.31021；100c+10b+a

五、师生互动，课堂小结

1.代数式的定义：

由数和字母、字母和字母用运算符号连接所形成的式子，我们称它们为代数式.注意：

单独的一个数或一个字母也是代数式.

2.代数式的书写要注意什么？

（1）代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如5×n常写作5·n或5n；

（2）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如5n一般不写作n5；

（3）除法运算写成分数形式，如1500÷t通常写作

（t≠0）.

3.列代数式时应注意弄清楚数量之间的关系，正确的列出代数式，还要注意其语言的顺序，按先后顺序来列出正确的代数式，并结合规范的代数式表达方式.

【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课知识，形成知识体系，便于学生理解和掌握，对出现的典型问题予以强调，使学生理解更加深刻.

完成本课时对应的练习.

本节课是学生由具体的数之间的数量关系到用字母表示数字的过渡,让学生体会由具体思维到抽象思维的过渡.故在设计其教学过程时，注意所选例题及练习题由易到难，循序渐进，使学生逐步掌握好这一内容，为今后的学习打下一个良好的基础，同时也使学生的抽象思维能力得到初步培养.

3.2代数式的值

【基本目标】

1.使学生掌握代数式的值的概念，并会求代数式的值；

2.培养学生准确地运算能力，并适当地渗透对应的思想．

【教学重点】当字母取具体数字时，对应的代数式的值的求法及正确地书写格式．

【教学难点】正确地求出代数式的值.

一、情境导入，激发兴趣

1.某礼堂第1排有18个座位，往后每排比前一排多2个座位，问：

（1）第n排有多少个座位？

（用含n的代数式表示）

（2）第10排、第15排、第23排各有多少个座位？

2.学生以小组为单位进行探究，得出结果：

（1）第n排有18+2（n—1）个座位;

（2）第10排，即当n=10时，18+2（n—1）=18+2×9=36;

第15排，即当n=15时，18+2（n—1）=18+2×14=46;

第23排，即当n=23时，18+2（n—1）=18+2×22=62.

【教学说明】学生在教师的引导下一步步解决所提出的问题，体会代数式的值与字母取值的对应关系.

二、合作探究，探索新知

由前面的探究可知:

当n取不同的数值时，代数式18+2（n—1）计算得出的结果不同.以上结果可以说明：

当n=10时，代数式18+2（n—1）的值是36.

一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.

【教学说明】教师结合前面的探究，指出什么叫代数式的值，强调代数式的值和字母取值之间的对应关系.

三、示例讲解，掌握新知

例1当a＝2，b＝－1，c＝－3时，求下列各代数式的值：

（1）b2－4ac；

（2）a+b+c2．

解:

（1）当a＝2，b＝－1，c＝－3时，

b2－4ac=（－1）2－4×2×（－3）=1+24=25

（2）当a＝2，b＝－1，c＝－3时，

（a+b+c）2=（2－1－3）2=4

小结：

（1）求代数式的值的步骤：

①代入，将字母所取的值代入代数式中；

②计算，按照代数式指明的运算进行，计算出结果.

（2）注意的几个问题：

①由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的，所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当……时”写出来.;

②如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号；

③代数式中省略了乘号时，代入数值以后必须添上乘号.

【教学说明】教师提醒学生注意在求值的运算中，首先应注意到代数式的运算顺序；在代值时，字母的值如果是负数或分数应习惯上加上括号.然后让学生总结求代数式值的一般步骤，教师在这里一定要强调格式的规范性.

例2某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了10%．如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值将能达到多少亿元？

如果去年的年产值是2亿元，那么预计明年的年产值是多少亿元？

解：

由题意可得，今年的年产值为a·（1＋10%）亿元，于是明年的年产值为

a·（1＋10%）·（1＋10%）＝1.21a（亿元）．

若去年的年产值为2亿元，则明年的年产值为

1.21a＝1.21×2＝2.42（亿元）．

答：

该企业明年的年产值将能达到1.21a亿元．由去年的年产值是2亿元，可以预计明年的年产值是2.42亿元．

【教学说明】教师总结两点：

（1）有关增长率的题目是生活中常见的问题，应注意是在谁的基础上增长，谁是单位1.

（2）代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义.

四、练习反馈，巩固提高

1.当x=

时，代数式

（x2+1）的值是什么？

2.当a=-1，b=4时，求代数式

+3（b－1）的值.

3.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的相反数为-7，求－m2－4cd+

的值.

【教学说明】学生独立完成.在第1题中，要注意分数在计算时加上括号，第2题注意负数的计算符号和添加乘号，此题体现了整体思想，让学生分步计算.

【答案】1.

2.8

3.根据题意得：

a+b=0,cd=1,m=7,∴原式=-（7）2-4×1+

=-53

五、师生互动，课堂小结

1.代数式的值的定义

一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.

2.求代数式的值的步骤时应该注意什么？

（1）求代数式的值的步骤：

①代入，将字母所取的值代入代数式中；

②计算，按照代数式指明的运算进行，计算出结果.

（2）注意的几个问题：

①由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的，所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当……时”写出来；

②如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号；

③代数式中省略了乘号时，代入数值以后必须添上乘号;

④代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义.

【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课所学知识和应该注意的问题，形成知识体系，便于学生理解和掌握,对出现的典型问题予以强调，使学生理解更深刻.

完成本课时对应的练习.

本节课的重点是代数式的值的概念,难点是如何准确求出代数式的值.前一节刚学习了列代数式,本节可以从列代数式引入.在引出概念时,教材给出字母的一个值,求代数式的值.我觉得不能让学生体验到代数式的值的不唯一,应该自己根据问题的背景,给出代数式中的字母的几个值,求出相应代数式的值.由于代数式的值是由代数式里的字母所取的值决定的，因此在设计教学过程中，注意渗透对应的思想.

。

3.3整式

1.单项式

【基本目标】

1.要求学生能充分理解单项式的特征，能分辨一个代数式是不是单项式；

2.能写出一个单项式的系数与次数；

3.能根据条件，写出符合条件的单项式.

【教学重点】能熟练写出一个单项式的次数与系数.

【教学难点】能逆向写出符合条件的单项式.

一、情境导入，激发兴趣

1.什么样的式子是代数式？

2.列代数式：

（1）若正方形的边长为a，则正方形的面积是；

（2）若三角形一边长为a，并且这边上的高为h,则这个三角形的面积为；

（3）若m表示一个有理数，则它的相反数是；

（4）小明从每月的零花钱中拿出x元钱捐给希望工程，一年下来小明共捐款元.

3.学生根据要求回答：

（1）a2

（2）

ah（3）－m（4）12x

【教学说明】通过复习引入，让学生自主独立完成，既巩固了前面所学知识，又自然引入了本节课知识的探究，同时学生对以上问题解决起来难度不大，也增强了学生学习的信心.

二、合作探究,探索新知

1.单项式的概念

观察思考：

前面通过探究得到的代数式a2、

ah、－m、12x，它们的共同的特点是什么？

小结：

上面列出的代数式是由数字与字母的乘积组成的代数式，这样的代数式叫做单项式.

注意：

（1）单项式是只有数字与字母的积；

（2）单独的一个数或一个字母也是单项式.

【教学说明】先让学生观察思考，分析这些代数式共同点以及它们的组成部分，得出单项式的概念，同时为下一步学习系数与次数打基础.

2.单项式的系数和次数

既然单项式是由数字与字母组成的，为了方便，我们有：

（1）一个单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；

（2）一个单项式中的所有字母因数的指数和叫做这个单项式的次数，同时这个单项式也称为几次式.

注意：

（1）圆周率π是常数；（即π是数字而不是字母）;

（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略；

（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.

【教学说明】在讲解单项式系数和次数概念时要结合具体的实例进行，使学生有一个直观的理解.单项式的次数是本节课的难点，一定要结合实例讲清楚，指出容易出错的地方，可以举出具体的容易犯错的实例来说明.

三、示例讲解，掌握新知

例1判断下列各式是否是单项式，如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它的系数与次数.

（1）x+1；

（2）

；

（3）πr2；（4）－

a2b.

【教学说明】判断一个式子是否是单项式，要紧紧扣住单项式的定义：

由数字与字母的乘积组成的代数式，这样的代数式叫做单项式.所以

（1）和

（2）不是单项式，（3）和（4）是单项式，尤其要提醒学生注意

（2）是数与字母的商，所以不是单项式.

四、练习反馈，巩固提高

1.在①m,②－

a,③

x2y,④

⑤

，⑥3a+b,⑦0中，是单项式的是（只填序号）．

2.单项式－

的系数是，次数是.

3.若单项式（3m－2）xyn－1的系数是２，次数是４．则n2－3m=.

【教学说明】第1题中要注意④⑤⑥不是单项式，教师要引导学生根据定义来进行区分，加深学生对单项式定义的理解.第2题注意系数是数字部分，不要遗漏.第3题是相关概念的逆向运用，教师可做适当的提示.

【答案】

1.①②③⑦2.-

33.12

五、师生互动，课堂小结

1.单项式的定义：

由数字与字母的乘积组成的代数式，这样的代数式叫做单项式.

注意：

（1）单项式是只有数字与字母的积；

（2）单独的一个数或一个字母也是单项式.

2.单项式的系数和次数：

（1）一个单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；

（2）一个单项式中的所有字母因数的指数和叫做这个单项式的次数，同时这个单项式也称为几次式.

注意：

（1）圆周率π是常数；（即π是数字而不是字母）

（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略；

（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.

【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课所学知识和应该注意的问题，形成知识体系，便于学生理解和掌握，对需要注意的地方再次予以强调，加深学生的印象.

完成本课时对应的练习.

本节课的主要内容是在学习代数式中的单项式，学习分辨一个代数式是否是单项式，所以要掌握单项式的主要特征.在掌握此概念的基础上，理解单项式的系数与次数，要特别注意单项式的次数的教学，可以从正反两个方面进行训练，加深学生对单项式的次数的理解.

。

2.多项式

3.升幂排列与降幂排列

【基本目标】

1.要求学生能充分认识到单项式与多项式的区别；

2.能掌握多项式的有关概念，包括多项式的项、项数、次数、最高次项等；

3.能将一个多项式按某个字母的升幂排列和降幂排列.

【教学重点】多项式的相关概念.

【教学难点】多项式的次数.

一、情境导入，激发兴趣

1.什么样的式子是单项式？

单项式的系数和次数分别是什么？

2.列代数式:

（1）若三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的周长是;

（2）某班有男生x人，女生21人，则这个班的学生一共有人；

（3）如图，阴影部分的面积为.

3.学生回答，答案为：

（1）a+b+c

（2）x+21（3）2ar-πr2

【教学说明】教师复习提问，学生回答和尝试解题，既巩固了前面单项式的相关知识，也为后面的学习奠定了基础.

二、合作探究，探索新知

1.多项式的有关概念

（1）观察思考：

上面探究的这些式子是单项式吗？

a+b+cx+212ar-πr2

【教学说明】主要是让学生对单项式和多项式进行一个对比，在比较中产生新的认识.这也是我们学生学习新知识的一个非常有用的方法，必须加以重视.

（2）它们都有什么共同特点？

它们与单项式有什么联系和区别？

由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼他们的表达能力.通过对特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教师可给予适当的提示及补充.

小结：

（1）多项式的概念：

上面列出的代数式都是由几个单项式相加而成的.几个单项式的和叫做多项式.

（2）多项式的项：

多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式含有几项，就叫做几项式.

（3）多项式的次数：

多项式中次数最高项的次数，叫做多项式的次数.

（4）整式的概念：

单项式和多项式统称整式.

注意：

（1）多项式是由单项式构成的，它是几个单项式的和；

（2）多项式的次数不是所有项的次数之和；

（3）多项式的每一项都包括它前面的符号.

教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想.

【教学说明】在分析中，多项式的次数应是重中之重，而一个多项式中的最高次项可能不只一个，必须给学生讲清，并可适当举例说明.

2.升幂排列与降幂排列

（1）任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到哪些不同的排列方式？

在这些排列方式中，你认为哪几种比较有规律？

（2）学生自主探究，得出结论：

任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到6种不同的排列方式，在这些排列方式中，“x2+x+1”与“1+x+x2”的排列是比较有规律的.那么，它们有什么规律呢？

（3）学生观察思考后回答.

教师小结：

我们可以发现：

这两种排列方式有一个共同特点：

x的指数呈现一种逐渐变大或逐渐变小的排列顺序.

从上面的两种整齐的写法中，我们发现：

除了美观之外，还会为今后的计算带来方便，因而我们常常把一个多项式各项的位置按照其中一字母的指数大小顺序来排列.

（4）升幂排列与降幂排列的概念：

把一个多项式按照同一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的降幂排列；

把一个多项式按照同一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的升幂排列.

【教学说明】在排列中，应能让学生说出哪几种排列比较整齐，这样让学生去体验它所蕴含的排列组合思想与数学美感.能培养学生的审美观，也有利于教师把握本节课的情感因素，为本节课打下良好的情感基础.

三、示例讲解，掌握新知

例1指出下列多项式的项和次数：

（1）a3－a2b+ab2－b3；

（2）3n4－2n2+1．

解：

（1）多项式a3－a2b+ab2－b3的项有a3，－a2b，ab2，－b3；次数是3．

（2）多项式3n4－2n2+1的项有3n4，－2n2，1；次数是4．

【教学说明】学生尝试解答后，教师强调：

（1）多项式的每一项都包括它前面的正负号；

（2）多项式的次数是指次数最高次项的次数，不是所有项的次数之和.

例2指出下列多项式是几次几项式:

（1）x3－x+1；

（2）x3－2x2y2+3y2．

解:

（1）x3－x+1是一个三次三项式；

（2）x3－2x2y2+3y2是一个四次三项式．

【教学说明】学生解答后，教师强调：

先确定多项式的项数和次数，几次几项式的数字大写.

例3把多项式2r－1+

r3－r2按r升幂排列.

解:

按升幂排列为：

－1+2r－r2+

r3.

例4把多项式a3＋b2－3a2b－3ab3重新排列：

（1）按a升幂排列；

（2）按a降幂排列．

解:

（1）按a升幂排列为：

b2－3ab3－3a2b＋a3；

（2）按a降幂排列为：

a3－3a2b－3ab3＋b2．

【教学说明】教师根据学生解答出现的典型问题着重强调：

（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；

（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母的升幂排列或降幂排列.

四、练习反馈，巩固提高

1.填空题：

（1）下列整式：

―

x2,

（a+b）c，3xy，0，

，―5a2+a中，是单项式的有，是多项式的有.

（2）多项式―

a3b―7ab―6ab4+1是次项式，次数最高项的系数是.

（3）－

a2b－

ab+1是次项式，其中三次项系数是，二次项为，常数项为.

2.指出下列多项式的次数与项：

（1）

－

；

（2）a2+2a2b+ab2－b2.

3.把多项式3xy-4x2y2+x3-5y3重新排列：

（1）按x的升幂排列

（2）按y的升幂排列

【教学说明】第1、2题主要是对多项式的相关概念的应用，教师应关注学生对多项式次数的理解以及书写的规范性.第3题是升幂排列和降幂排列，主要是要注意每一项移动时要连同符号一起移动.

【答案】1.

（1）单项式：

-

x2,3xy,0多项式：

（a+b）c,

-5a2+a;

（2）五，四，-6;

（3）三，三，-

，-

ab,1.

2.

（1）二次项：

-

（2）三次项：