二次函数中动点问题平行四边形练习.docx

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二次函数中动点问题平行四边形练习

2018年04月28日187****6232的初中数学组卷

一．解答题（共5小题）

1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；

（2）点C是否在以BE为直径的圆上？

请说明理由；

（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由．

2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．

（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；

（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？

若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，OA=4，OC=3，抛物线经过O，A两点且顶点在BC边上，与直线AC交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2018年04月28日187****6232的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共5小题）

1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；

（2）点C是否在以BE为直径的圆上？

请说明理由；

（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值即可；

（2）根据勾股定理的逆定理可得：

∠BCE=90°，可得结论；

（3）分两种情况：

①以BC为边时，

如图1，R在对称轴的右侧时，BC∥RQ，四边形CQRB是平行四边形，根据平移规律先得R的横坐标为4，

代入抛物线的解析式可得R（4，﹣5），由平移规律可得Q（1，﹣2）；

如图2，R在对称轴的左侧，RC∥BQ，四边形CRQB是平行四边形，同理可得点Q、R的坐标．

②以BC为对角线时，如图3，同理根据平移规律可得结论．

【解答】解：

（1）由题意，得：

，

解得：

，

故这个抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点E（1，4）；

（2）点C在以BE为直径的圆上，理由是：

∵C（0，3），B（3，0），E（1，4），

∴BC2=32+32=18，CE2=12+12=2，BE2=（3﹣1）2+42=20，

∴BC2+CE2=BE2，

∴∠BCE=90°，

∴点C在以BE为直径的圆上；

（3）存在，分两种情况：

①以BC为边时，

如图1，R在对称轴的右侧时，BC∥RQ，四边形CQRB是平行四边形，

由C到B的平移规律可知：

Q的横坐标为1，则R的横坐标为4，

当x=4时，y=﹣x2+2x+3=﹣42+2×4+3=﹣16+8+3=﹣5，

∴R（4，﹣5），

∴Q（1，﹣2）；

如图2，R在对称轴的左侧，RC∥BQ，四边形CRQB是平行四边形，

由C到B的平移规律可知：

Q的横坐标为1，则R的横坐标为﹣2，

当x=﹣2时，y=﹣x2+2x+3=﹣4+2×（﹣2）+3=﹣5，

∴R（﹣2，﹣5），

∴Q（1，﹣8）；

②以BC为对角线时，如图3，

由C和Q的平移规律可得：

R的横坐标为2，

当x=2时，y=﹣4+4+3=3，

∴R（2，3），

根据R到B的平移规律可得：

Q（1，0）；

综上所述，R（4，﹣5），Q（1，﹣2）或R（﹣2，﹣5），Q（1，﹣8）或R（2，3），Q（1，0）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，圆周角定理，勾股定理的应用，平行四边形的判定等，分类讨论的思想是（3）的关键．

2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

【分析】

（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B'D，B'D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值．

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（4）设出点E的，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标．

【解答】解：

（1）将A，B，C点的坐标代入解析式，得

，

解得

，

抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

（2）配方，得y=﹣（x+1）2+4，顶点D的坐标为（﹣1，4）

作B点关于直线x=1的对称点B′，如图1

，

则B′（4，3），由

（1）得D（﹣1，4），

可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣

x+

，

当M（1，m）在直线DB′上时，MN+MD的值最小，

则m=﹣

×1+

=

．

（3）作PE⊥x轴交AC于E点，如图2

，

AC的解析式为y=x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，m+3），

PE=﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）=﹣m2﹣3m

S△APC=

PE•|xA|=

（﹣m2﹣3m）×3=﹣

（m+

）2+

，

当m=﹣

时，△APC的面积的最大值是

；

（4）由

（1）、

（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2）

点E在直线AC上，设E（x，x+3），

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），

∵EF=DN

∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，

解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），

则点E的坐标为：

（﹣2，1）．

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），

∵EF=DN，

∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，

解得x=

或x=

，

即点E的坐标为：

（

，

）或（

，

）

综上可得满足条件的点E为E（﹣2，1）或：

（

，

）或（

，

）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题，解

（1）的关键是待定系数法，解

（2）利用轴对称求最短路径；解（3）的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解（4）的关键是平行四边形的性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．

3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．

（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；

（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？

若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】

（1）令抛物线y=x2﹣2x﹣3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；

（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出△ACE的面积最大值；

（3）根据D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为M（0，1），则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=﹣2x+1，进而求出最小值和点M，N的坐标；

（4）结合图形，分两类进行讨论，①CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；②CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标．

【解答】解：

（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，

∴C（2，﹣3），

∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1，

（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），

则P、E的坐标分别为：

P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），

∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，

∴当x=

时，PE的最大值=

，

△ACE的面积最大值=

PE[2﹣（﹣1）]=

PE=

，

（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1），

连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y=﹣2x+1，此时四边形DMNQ的周长最小，

最小值=|CM|+QD=2

+2，

求得M（1，﹣1），N（

，0）．

（4）存在如图1，若AF∥CH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2，

于是可得F1（1，0），F2（﹣3，0），

如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同，

再根据|HA|=|CF|，

求出F4（4﹣

，0），F3

．

综上所述，满足条件的F点坐标为F1（1，0），F2（﹣3，0），F3

，F4（4﹣

，0）．

【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

【分析】

（1）先根据直线的解析式求出A、C两点的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．

（2）ME的长实际是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于ME的长和F点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出ME的最大值．

（3）根据

（2）的结果可确定出F，M的坐标，要使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是MP∥=BF，那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点．

【解答】解：

（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1

∴A（﹣1，0）

当x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴

∴

，

抛物线的解析式是：

y=x2﹣2x﹣3．

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，

解得：

x1=﹣1，x2=3

∴B（3，0）．

（2）由

（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：

y=x﹣3，

设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）

∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣

）2+

；

∴当x=

时，ME的最大值为

．

（3）答：

不存在．

由

（2）知ME取最大值时ME=

，E（

，﹣

），M（

，﹣

）

∴MF=

，BF=OB﹣OF=

．

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，﹣

）或P2（3，﹣

）

当P1（0，﹣

）时，由

（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣

∴P1不在抛物线上．

当P2（3，﹣

）时，由

（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣

∴P2不在抛物线上．

综上所述：

在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．

【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

（2）中弄清线段ME长度的函数意义是解题的关键．

5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，OA=4，OC=3，抛物线经过O，A两点且顶点在BC边上，与直线AC交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）设抛物线顶点为E，根据题意E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入q求出a即可解决问题；

（2）求出直线AC的解析式，利用方程组确定交点坐标即可；

（3）分两种情况考虑：

①当点M在x轴上方时，如答图1所示；②当点M在x轴下方时，如答图2所示；分别利用待定系数法即可解决问题；

【解答】解：

（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：

E（2，3），

设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，

将A（4，0）坐标代入得：

0=4a+3，即a=﹣

，

则抛物线解析式为y=﹣

（x﹣2）2+3=﹣

x2+3x；

（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），

将A（4，0）与C（0，3）代入得：

，

解得：

，

故直线AC解析式为y=﹣

x+3，

与抛物线解析式联立得：

，

解得：

或

，

则点D坐标为（1，

）；

（3）存在，分两种情况考虑：

①当点M在x轴上方时，如答图1所示：

四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，

由对称性得到M（3，

），即DM=2，故AN=2，

∴N1（2，0），N2（6，0）；

②当点M在x轴下方时，如答图2所示：

过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，

∴MP=DQ=

，NP=AQ=3，

将yM=﹣

代入抛物线解析式得：

﹣

=﹣

x2+3x，

解得：

xM=2﹣

或xM=2+

，

∴xN=xM﹣3=﹣

﹣1或

﹣1，

∴N3（﹣

﹣1，0），N4（

﹣1，0）．

综上所述，满足条件的点N有四个：

N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣

﹣1，0），N

4（

﹣1，0）．

【点评】此题考查了二次函数综合题、待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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