第三章几何画板的基本应用.docx

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第三章几何画板的基本应用

第三章  几何画板的基本应用

学习指导 

[本章简介与具体内容]

几何画板的基本应用。

通过介绍几个主题，全面阐述几何画板的若干具体操作方法、操作技巧和创作过程。

所给的实例都是十分重要的，它们是我们制作课件的分镜头。

许多实例稍加修改，便可以组织成为一个课件。

这一阶段是学习几何画板的提高阶段。

第一节  几何画板的操作类按钮

1．三类基本的三角形相互变化过程

2．求线段中点的轨迹

3．作地球绕着太阳转，同时月亮绕着地球转的动画

4．用系列按钮等实现“逐行延时显示文字”

第二节  几何画板的变换操作

1．作一个相邻三条棱的大小和方向都可改变的平行六面体

2．制作0︒~90︒中每隔10︒的正弦、余弦函数表

3．利用“定义变换”对三角形进行变换

4．用动画演示一个四边形的轴对称图形的形成过程

5．利用仿射变换：

 作一个椭圆

第三节  几何画板的尺规作图

1．验证：

同底等高的三角形的面积相等

2．将已知线段三等分

3．已知两圆内切，求作一圆，使它与大圆内切、与小圆外切，并作出该圆的圆心轨迹

4．已知线段MN为定长，且端点M、N分别为x轴、y轴上的自由点。

在此基础上作出MN中点的轨迹

第四节  几何画板的非尺规作图

1．将已知角三等分；

2．作作函数

的图象；

3．作函数

的图象，要求其中a、h、c的大小及其符号能随时改变

4．作神奇的参数方程

（

，a、b、c、d为非负整数）的图象

5．作极坐标方程r =4cos（aθ）（10a为非负整数，且a≤5）的图象

第五节  几何画板的自定义工具

1．将等腰梯形的作图过程记录下来并加到自定义工具中

2．作2级、3级、4级Koch曲线

3．作2级、3级、4级Sierpinski三角形

4．作如图3.5.7所示的“勾股树”。

[重点与难点]

1．移动按钮、动画按钮、隐藏/显示按钮和系列按钮的构造前提、四种基本操作类按钮的综合应用、系列按钮的重要性

2．几何画板的变换操作主要有四类，即平移、旋转、缩放、反射，它们的实现前提和作用、基本变换的复合

3．自定义工具的含义与作用、会添加记录工具、会使用记录工具

4．尺规作图的含义（利用直尺、圆规和一支笔即可完成的图形）、尺规作图的前提和具体作法过程、尺规作图的迭代以及分形图的形成

5．非尺规作图的含义（一般要借助计算才能完成的图形）、度量的前提和度量的层次（一次度量、二次度量、……、n次度量）

 [学习建议]

1．比较几何画板最新版本与几何画板4.0中文版的主要异同点；

2．上Internet网寻找关键词“几何画板的记录”、“几何画板的脚本”等的含义；

3．着重基本操作的训练，充分理解变换菜单、度量菜单、体会可度量的类型，会简单使用变换菜单、度量菜单作图；

4．借本数学书，寻找关键词“数学变换”的种类和其中若干参数的含义；

5．上Internet网寻找关键词“尺规作图”、“非尺规作图”等的含义及其实例；

6．认真做后面的“思考题”。

第一节  几何画板的操作类按钮

一、基础知识

操作类按钮不是作图的一部分，因而不能反映在脚本窗口中。

但它能够对对象进行显示、隐藏、移动、动画操作，将若干孤立的动作组织成为有机的序列动作，体现了多媒体产品所必需的基本特性——交互性。

几何画板有如下四种基本按钮类型：

运动按钮（即移动按钮）、动画按钮、隐藏/显示按钮和序列按钮。

其中的序列按钮可以是两个或两个以上的基本按钮类型的连接，而基本按钮类型也可以是另一个序列按钮，从而形成序列的序列。

1．运动…：

用于构造一个移动按钮。

可将绘图窗口中的一个或多个点移动到指定的目的地，而由它（们）所派生的子女对象则相应移动，从而形成有效的动态效果。

操作时，应依次选取成对的点（起始点、目的点）。

双击运动按钮将执行相应移动操作。

2．动画…：

用于构造一个动画按钮。

可使一个或多个点（最多10个）沿各自的路径进行动画。

操作时，可选择点的动画方向、路径和速度。

双击动画按钮将执行相应动画操作，随时单击鼠标则停止动画操作。

3．隐藏/显示：

用于构造两个按钮，一个用于隐藏所选对象，另一个用于显示所隐藏的对象，好象是电灯的关与开。

操作时，必须双击按钮才执行相应隐藏/显示操作。

隐藏/显示按钮本身也可被隐藏或显示，以此形成对象的层次。

4．序列：

用于构造一个序列按钮。

它是两个或两个以上的基本按钮类型的连接，其中的基本按钮可以是移动、动画、隐藏/显示或序列。

操作时，必须双击序列按钮才能执行相应一系列操作。

二、典型例题

例1：

利用运动按钮实现三类基本的三角形——锐角三角形、直角三角形与钝角三角形之间的相互转变过程的演示；

[简要步骤]：

（1）在绘图窗口依次画锐角三角形ABC、直角三角形DEF与钝角三角形GHI；

（2）另画一个任意三角形JKL，选中三个顶点，构造三角形内部，并着黄色；

（3）用Shift配合，依次选中点J、A、K、B、L、C，利用编辑菜单中“按钮”，选“运动”、“中速”，然后确认，在绘图窗口中形成一个运动按钮：

；

（4）将基本工具换成标签/注释工具，然后双击上述按钮，如图3.1.1（a），将按钮名称改为“锐角三角形”，如图3.1.1（b），按“确定”；

（a）                              （b）

图3.1.1

（6）将基本工具换成选择/移动工具，依次选中点J、D、K、E、L、F，重复上述三步，构造“直角三角形”按钮；

（7）将基本工具换成选择/移动工具，依次选中点J、G、K、H、L、I，用上述方法构造出“钝角三角形”按钮，如图3.1.2所示；

图3.1.2

（8）将基本工具换成选择/移动工具，分别双击三个移动按钮，可观察得到移动的效果，如图3.1.3所示。

图3.1.3

点击这里可看到本图的基于Java风格的动画

例2：

任作两条线段AB、CD，并在这两条线段上各取一点E、F，连接EF，求线段EF中点G的轨迹。

分析：

本例中E、F点分别在线段AB、CD上运动，因此可以构造多点的动画，跟踪中点G，观察G的轨迹。

由于线段AB、CD的长短、垂直、平行等情况的不同，线段中点G的轨迹将呈现多样性。

如图3.1.4所示。

图3.1.4

由于点G是由两个自由点E、F所控制，因此无法直接作出点G的轨迹。

我们可以先固定点E，画出点G关于点F的轨迹（一条线段），然后利用构造菜单中的“轨迹”，得到此线段关于点E的轨迹。

[简要步骤]：

（1）在绘图窗口中任作两条线段AB、CD，并在线段AB、CD上分别取点E、F；

（2）连接EF，作线段EF的中点G，并跟踪点G；

（3）依次选中点E、线段AB、点F、线段CD，利用编辑菜单中“按钮”，选“动画”、并将动画速度都改为“中速”，然后确认，得到动画按钮。

双击动画按钮，便可看到点G的轨迹。

我们可以用一下作法，作出点G的轨迹。

（4）连接EC、ED，分别作出线段EC、ED的中点H、I，连接HI；

（5）选中线段HI和点E，利用构造菜单中的“轨迹”，得到线段HI关于点E的轨迹，即点G关于点E、F的轨迹。

不妨改变线段AB或线段CD的长短或方向，观察点G的轨迹发生什么变化。

例3：

作地球绕着太阳转，同时月亮绕着地球转的动画。

分析：

本例也是多点动画，我们假设月亮绕地球转、地球绕太阳转的轨道都为圆。

当地球绕着太阳转，同时月亮绕着地球转的时候，可以发现月亮绕地球转动的轨道也在绕着太阳转，而作动画的前提是路径必须静止不动，因此这样的动画是作不出的。

必须设法使月亮转动的路径静止不动。

（1）在绘图窗口中任作三条线段AB、CD、EF，分别表示太阳、地球、月亮的半径；

（2）以任意点G为圆心，AB为半径，作代表太阳的圆，作出圆的内部，并将颜色变为红色；

（3）以点G为圆心，作表示地球绕太阳转的轨道的圆GH，在轨道上任取一点I，以点I为圆心，CD为半径，作代表地球的圆，作出圆的内部，并将颜色变为绿色；

（4）以任意点J为圆心作代表月亮绕地球转动的轨道的圆JK，在该圆上任取一点L；

（5）依次选中点J、L，利用变换菜单中“标识向量”标识向量JL，然后选中点I，按标识向量JL平移，得点I'；

（6）以点I' 为圆心，EF为半径，作代表月亮的圆，作出圆的内部，并将颜色变为黄色；

（7）依次选中点I、点I所在的圆GH、点L、点L所在的圆JK作动画按钮，使点I转动的速度为慢速，点L转动的速度为快速，如图3.1.5所示；

（8）隐藏线段AB、CD、EF、点G、H、I、J、K、L、I'、圆JK、GH，双击动画按钮，便可看到地球绕着太阳转，同时月亮绕着地球转。

图3.1.5

点击这里可看到本图的基于Java风格的动画

例4：

用序列按钮等实现“逐行延时显示文字”。

分析：

本例中，先对需要显示的文字分别作隐藏/显示按钮，然后用一个点在一个圆上的动画达到延时显示文字的效果，延时时间取决于动画速度的快慢及圆周的大小，最后通过序列便可达到逐行显示文字的要求。

[简要步骤]：

（1）将基本工具换成标签/注释工具，在绘图窗口中以适当字体和大小分别写5行文字（即构造5个文本对象）：

“操作类按钮有四种，它们是：

”、“运动按钮”、“动画按钮”、“隐藏/显示按钮”以及“序列按钮”；

（2）分别选中文本对象“运动按钮”、“动画按钮”、“隐藏/显示按钮”以及“序列按钮”，构造隐藏/显示按钮：

显示1、隐藏1、显示2、隐藏2、显示3、隐藏3、显示4、隐藏4；

（3）以A为圆心作一个圆AB，在圆上任取一点C，并构造点C沿圆AB的动画按钮动画，动画方式为“一次”和“慢慢地”，构造4个与此动画同样的动画；

（4）依次选中隐藏1、隐藏2、隐藏3、隐藏4、动画、显示1、动画、显示2、动画、显示3、动画、显示4，构造序列按钮…演示，并将其移动到绘图板右上角，如图3.1.6所示；

图3.1.6

（5）隐藏除5个文本对象以及序列按钮…演示以外的别的对象。

双击…演示即可看到所需的逐行延时显示文字的效果。

第二节  几何画板的变换操作

一、基础知识

几何画板的变换操作主要有四类，即平移（将一个（组）图形沿x轴、y轴方向确定的距离平移，或沿确定的方向（角度）、距离平移，或按标识的向量平移）；旋转（将一个（组）图形绕“标识中心”点旋转一个角度（逆时针为正角））；缩放（将一个（组）图形以“标识中心”点为中心缩放）；反射（将一个（组）图形以“标识镜面”线为对称轴反射）。

利用变换菜单可作出一系列的全等形和相似形。

实现变换操作有两种途径：

变换工具和变换菜单命令。

变换工具可以实现对象的平移、旋转和缩放，而变换菜单命令不仅能实现对象的平移、旋转和缩放，还能实现对象的反射。

变换菜单中的命令可以按指定值、计算值和动态值进行变换、旋转和缩放。

为了加深对变换的理解，我们不妨借助数学变换的公式进行介绍，其中的一些参数如

、

、

和

等正是我们在使用变换菜单时必须填写的。

在数学上：

（1）平移变换的公式为：

 其中的

为水平方向的位移，

为垂直方向的位移；

（2）旋转变换的公式为：

其中的

为旋转的角（逆时针方向）；

（3）缩放变换的公式为（设坐标原点为缩放中心）：

其中的

为缩放比；

（4）反射变换的公式为（分别设y轴、x轴为对称轴）：

或

；

从数学变换的角度来看，基本的变换公式还可以有许多，其中有一些有很好的应用，在此仅举一例加以说明。

（5）仿射变换的公式为：

 注意到当

时，仿射变换即为旋转变换。

旋转变换是正交的

，它将圆仍变换为圆；而仿射变换则不一定是正交的，因为

，一般地，它将圆变换为一个椭圆，这为我们画椭圆提供了一种方法。

说明：

（1）上述基本的变换可以经过有效组合产生许多变换，由此出发可以定义许多自定义变换，比如：

旋转+缩放、旋转+平移、缩放+反射等；

（2）上述基本的变换中的参数如

、

、

和

等不一定都取静态值，它们完全可以是另一些对象的度量值，由此出发可以定义若干动态变换。

动态变换的优点在于随着参数

、

、

和

等的不同，变换后的图形也是动态的，这给我们进行几何问题的探索提供了有利的环境。

二、典型例题

例1：

作一个相邻三条棱的大小和方向都可改变的平行六面体。

[简要步骤]：

（1）在绘图窗口中作三条交于一点的线段AB、AC、AD；

（2）选点A、B、C和线段AB、AC，利用变换菜单的“平移”命令，在对话框内（参见图3.2.1（a））选“根据直角坐标向量”，在水平方向填入3cm，垂直方向填入0cm，得到点A'、B'、C' 和线段A'B'、A'C'；

（3）选点A、B，利用变换菜单的“标识向量”命令，标识向量AB；

（4）选线段A'C' 和端点C'，利用变换菜单的“平移”命令，在对话框内（参见图3.2.1（b））选“根据标识的向量”平移得到线段B'D'，连接C'D'，得到平行四边形A'B'D'C'；

（a）                           （b）

图3.2.1

（5）选点A、D，利用变换菜单的“标识向量”命令，标识向量AD；

（6）选中整个平行四边形A'B'D'C'，利用变换菜单的“平移”命令，在对话框内选“根据标识的向量”平移得到平行四边形A''B''D''C''，连接线段A'A''、B'B''、D'D''和C'C''，并将线段A'C'、C'C''、C'D' 改为虚线，即得到所需的平行六面体A''B''D''C''-A'B'D'C'，如图3.2.2所示；

（7）分别拖动点B、D、C，或它们的组合，观察平行六面体A''B''D''C''-A'B'D'C' 的变化情况。

图3.2.2

例2：

制作0︒~90︒中每隔10︒的正弦、余弦函数表。

分析：

为了精确制作每隔10︒的正弦、余弦函数表，必须保证角度精确无误。

于是想到利用旋转得到精确的角度，然后计算出相应的正弦、余弦值，最后制成表格。

[简要步骤]：

（1）在绘图窗口中作线段AB，以圆心，点B为圆上一点作圆；

（2）以点A为旋转中心，将点B旋转10︒得点C，将点C旋转10︒得点D，…，将点J旋转10︒得点K；

（3）在圆上任取一点L，连接AL，测量∠BAL，并计算sin∠BAL、cos∠BAL的值；

（4）分别作点L到点B、点C、点D、…、点K的运动按钮0、按钮1、按钮2、…、按钮9；

（5）双击按钮0，得∠BAL为0︒，依次选中∠BAL的值、sin∠BAL的值以及cos∠BAL的值，利用测算菜单中“固定成表格”，得∠BAL为0︒时正弦、余弦的值的表格；

（6）依次双击按钮1和表格，此时表格的项目增加了一列；

（7）依次双击按钮2、表格、按钮3、表格、…、按钮9、表格，完成表格制作。

例3：

利用“定义变换”对三角形进行变换。

分析：

本例通过定义“旋转+缩放”变换，对一个任意三角形先旋转，然后缩放，通过改变旋转角度，观察经过若干次变换后生成的三角形的变化情况。

[简要步骤]：

（1）在绘图窗口中作一个圆AB，构造一个圆心角BAC，依次选中点B、A、C，利用变换菜单中“标识角度”，标识一个动态角BAC；

（2）作一线段DE，在其上任取一点F，隐藏线段DE；构造两个小线段DF、FE，依次选DF、FE，利用变换菜单中“标识比例”，标识缩放比DF/FE；

（3）任意作一个点J和一个三角形GHI，作其内部，并取蓝色，将J标识为“标识中心”；

（4）选中三角形GHI的内部，利用变换菜单中“旋转”命令，在“旋转”对话框（见图3.2.3（a））中选择“根据标识的角度”，则将三角形GHI的内部以此动态角进行旋转，得到三角形G'H'I'的内部；

（5）选中三角形G'H'I'的内部，利用变换菜单中“缩放”命令，在“缩放”对话框（见图3.2.3（b））中选择“根据标识的比例”，则将三角形G'H'I'的内部以此缩放比进行缩放，得到三角形G''H''I''的内部，将其颜色改为黄色；

（a）                   （b）

图3.2.3

图3.2.4

（6）依次选中三角形GHI的内部、三角形G''H''I''的内部，利用变换菜单中“定义变换”，输入变换名（或用默认的变换名），按确认按钮（见图3.2.4）；

（7）依次选中点C、圆周AB，利用编辑菜单中“按钮”，选择“动画”命令，构造一个“动画”按钮；

（8）选中三角形G''H''I''的内部，使用所定义的变换的快捷键（见变换菜单中“2步的变换”右边Ctrl+1），按住“Ctrl”键，然后不停地按数字键“1”，便可看到经过两次变换后，生成的一系列三角形的内部，隐藏不需要的对象。

双击动画按钮，便可看到十分美丽的图形（如图3.2.5）。

图3.2.5

点击这里可看到本图的基于Java风格的动画

例4：

用动画演示一个四边形的轴对称图形的形成过程。

[简要步骤]：

（1）在绘图窗口中任意作四点A、B、C、D四点，并依次连接，构造一个四边形；同时选中四个顶点，构造四边形的内部（取适当的颜色）；

（2）选中四边形的内部，利用构造菜单中“目标上的点”，构造能在四边形的四条边上、且只能在四边形的四条边上运动的点E；

（3）作一条线段（或直线），双击该线，使其成为“标识镜面”，即对称轴；

（4）利用变换菜单中“反射”，作点E关于镜面的对称点E'，利用显示菜单，选择跟踪对称点E'；

（5）选中点E以及四边形ABCD的内部，构造“动画”按钮，双击动画即可，见图3.2.6所示。

图3.2.6

    例5：

利用仿射变换：

 作一个椭圆。

[简要步骤]：

（1）利用显示菜单中“设置参数”，将“角度”改为“弧度”；

（2）新建一个绘图窗口，在绘图窗口中利用图面菜单中“建立坐标轴”作出一个直角坐标系，原点为A，单位点为B（1，0），在x轴上任选点C；

（3）以A为圆心，C为圆周上一点画圆，在圆周上任取一点D；

（4）利用测算菜单中“坐标”得出点D的坐标（（xD，yD）的形式）；

（5）再利用测算菜单中“计算”，使用计算器计算出

和

 的值，从而得到点E的坐标（xD，yD）；

（5）选中主动点D和被动点E，利用作图菜单中“轨迹”，即可作出一个椭圆（如图3.2.7）。

读者可改变两个角的度数，进而观察椭圆相应的变化情况。

图3.2.7

第三节  几何画板的尺规作图

一、基础知识

尺规作图即仅利用一把无刻度的直尺和一只圆规进行的作图。

因而所作出的图形不外乎点、线（线段、射线与直线）和圆（圆周、圆弧）。

许多几何图形无法仅用尺规完成作图，比如：

三角函数曲线、二次曲线以及三等分一个任意角等问题。

本节主要介绍几何画板的尺规作图，利用工具框中的作图工具和作图菜单中的命令进行尺规作图。

它是几何画板的最基本的应用。

1．工具框中的作图工具

工具框中的作图工具在前面已作过介绍，这里再作些补充。

（a）                                 （b）

图3.3.1

图3.3.1（a）是基本作图工具，图3.3.1（b）上图是选择/移动工具的全景图。

在绘图窗口中，用鼠标按住该工具并向右拖动，即可看到此图案。

左起第二格为“选择/平移”工具（默认状态），第三格为“选择/旋转”工具，第四格为“选择/缩放”工具。

改变工具的方法是：

用鼠标按住该工具并向右拖动，将红色停在某一格上即为选中该工具。

图3.3.1（b）下图是直尺工具的全景图。

在绘图窗口中，用鼠标按住该工具并向右拖动，即可看到此图案。

左起第二格为线段工具（默认状态），第三格为射线工具，第四格为直线工具。

改变工具的方法是：

用鼠标按住该工具并向右拖动，将红色停在某一格上即为选中该工具。

2．作图菜单中的命令

为叙述方便，我们再次列出可作的图形的类型及其前提条件，如表3.3.1所示。

表3.3.1

作图的类型

作图的前提条件

目标上的点

一个和一个以上的对象

交点

两条路径

中点

一条或多条线段

线段（射线、直线）

两个或更多个点

垂直线

一直线型对象和一个或更多个点

平行线

一个点和一个或更多个直线型对象

角平分线

三个点，其中第二点为角的顶点

以圆心和一点划圆

两个点，其中第一点为圆心

以圆心和半径划圆

一个点和一条线段

圆上的弧

圆周及两个点（逆时针方向）或圆心、圆上的两个点（逆时针方向）

过三点的弧

三个点

（圆、扇形、弓形、多边形的）内部

一个圆、一段弧或多边形顶点（需顺次选择）

轨迹

一个对象和路径上的一个点

几点说明：

1．作图的前提条件是指要作出某个图形对象，必须由哪些对象作为前提。

这里涉及到几何画板的一个重要概念——对象的层次性。

几何画板中的点、线、圆对象不是始终处于同一个层次的。

对某一个对象而言，那些派生它的对象被称为该对象的父母对象，而由该对象进一步派生出的对象则被称为该对象的子女对象。

在一个绘图窗口中，可以“三代同堂”、“四代同堂”，甚至“几十代同堂”。

举两个简单的例子，在图3.3.2中：

（1）对线段AB而言，其父母对象为点A、B，而其子女对象为线段的中点C，此图为“三代同堂”；

（2）对圆的半径DF而言，其父母对象为点D、F，而其子女对象为过F与线段DF相垂直的（切）线；对圆DE而言，其父母对象为点D、E，而其子女对象为点F。

此图为“四代同堂”。

图3.3.2

2．作图的前提对象必须适当，不能弄错前提。

比如：

作一个角的平分线必须选择构成该角的三个点，而不是构成该角的两条边；作一个三角形的内部必须选择构成该三角形的三个点，而不是构成该三角形的三条边。

3．作图的前提对象不能多，也不能少。

比如：

作线段AB的垂直平分线，必须而且只须选中线段中点C和线段AB本身。

4．由于作已知线段的中点、过已知点作已知直线的垂线、过已知点作已知直线的平行线、作已知角的平分线、作过不在同一条直线上三个点的弧都可以仅利用尺规完成作图，因此本节在讲述几何画板的尺规作图时，将利用这些命令所作的图，均称为尺规作图，而不再回复到仅利用尺规的最原始的作法。

二、典型例题

例1：

作同底等高的两个三角形，且使它们的另一个顶点在底边的同一侧。

并验证它们的面积相等。

[简要步骤]：

（1）将直尺工具改为“直线”，用Shift配合（用Shift配合可画出一些特殊角度的线：

0︒、15︒、30︒、45︒、…、90︒、…、165︒等），在绘图窗口中画一条水平的直线AB；

（2）在直线AB外任取一点C，选中点C和直线AB，过点C作直线AB的平行线，用点工具分别在直线AB及平行线上任取两点D、E和F、G；

（3）选中点F和直线AB，过点F作直线AB的垂线，交直线AB于点I；

（4）选中点G和直线AB，过点G作直线AB的垂线，交直线AB于点J；

（5）隐藏上述两条垂线、直线AB以及点A、B、C；

（6）将直尺工具改为“线段”，分别连接FI、ID、IE、GJ、JD、JE，得到6条线段，可利用显示菜单中“线型”，将这6条线段改为虚线；

（7）选中点F、D、E，利用构造菜单中“多边形内部”，构造△FDE的内部，利用显示菜单中“颜色”，将△FDE的内部改为红色；

（8）同样，选中点G、D、E，利用构造菜单中“多边形内部”，构造△GDE的内部，利用显示菜单中“颜色”，将△GDE的内部改为绿色，如图3.3.3。

图3.3.3

△FDE与△GDE就是同底等高的三角形。

下面验证△FDE与△GDE的面积相等。

（9）分别选择△FDE、△GDE的内部，利用测算菜单中“面积”，得到不同颜色和形状的两个三角形的面积。

随意拖动两个三角形的任意一个顶点，观察它们的面