北京四中新高一入学分班考试数学试题真题含详细解析8.docx
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北京四中新高一入学分班考试数学试题真题含详细解析8
2019 年北京四中新高一入学分班考试数学试题 -真题
2019.8
姓名学校成绩
一、选择题(本大题共 10 小题,共 20 分)
1.如图,坐标平面上有一顶点为 A 的抛物线,此抛物线与方程式𝑦 = 2的图形交于 B、C 两点,△ 𝐴𝐵𝐶
为正三角形.若 A 点坐标为(−3,0),则此抛物线与 y 轴的交点坐标为何?
()
A. (0, 9)B. (0, 27)C. (0,9)D. (0,19)
22
第 1 题图第 2 题图
2.已知锐角∠𝐴𝑂𝐵,如图,
⏜
⏜
(1)在射线 OA 上取一点 C,以点 O 为圆心,OC 长为半径作𝑃𝑄,交射线 OB 于点 D,连接 CD;
(2)分别以点 C,D 为圆心,CD 长为半径作弧,交𝑃𝑄于点 M,N;
(3)连接 OM,MN.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是()
A. ∠𝐶𝑂𝑀 = ∠𝐶𝑂𝐷
C. 𝑀𝑁//𝐶𝐷
B. 若𝑂𝑀 = 𝑀𝑁.则∠𝐴𝑂𝐵 = 20°
D. 𝑀𝑁 = 3𝐶𝐷
3.如图,直线𝑚 ⊥ 𝑛,在某平面直角坐标系中,x 轴//𝑚,y 轴//𝑛,点 A 的坐标为(−4,2),点 B 的坐标
为(2, −4),则坐标原点为()
A. 𝑂1
C. 𝑂3
B. 𝑂2
D. 𝑂4
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4.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动
员起跳后的竖直高度𝑦(单位:
𝑚)与水平距离𝑥(单位:
𝑚)近似满足函数关系𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0).
如图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳
后飞行到最高点时,水平距离为()
A. 10mB. 15mC. 20mD. 22.5𝑚
第 4 题图第 5 题图
5.如图,坐标平面上,二次函数𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 𝑘的图形与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,其
顶点为 D,且𝑘 > 0.
𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐷的面积比为 1:
4,则 k 值为何?
()
A. 1B.
1 4 4
2 3 5
6.小苏和小林在如图 1 所示的跑道上进行4 × 50米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离𝑦(单
位:
𝑚)与跑步时间𝑡(单位:
𝑠)的对应关系如图 2 所示.下列叙述正确的是()
A. 两人从起跑线同时出发,同时到达终点
B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C. 小苏前 15s 跑过的路程大于小林前 15s 跑过的路程
D. 小林在跑最后 100m 的过程中,与小苏相遇 2 次
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7.一家游泳馆的游泳收费标准为 30 元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠:
会员年卡类型
A 类
B 类
C 类
办卡费用(元)
50
200
400
每次游泳收费(元)
25
20
15
例如,购买 A 类会员年卡,一年内游泳 20 次,消费50 + 25 × 20 = 550元.若一年内在该游泳馆游泳
的次数介于45 ∼ 55次之间,则最省钱的方式为()
A. 购买 A 类会员年卡
C. 购买 C 类会员年卡
B. 购买 B 类会员年卡
D. 不购买会员年卡
8.一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示,通道由在同一平面内的 AB,BC,CA,OA,OB,OC 组成.为
记录寻宝者的行进路线,在 BC 的中点 M 处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为 x,寻宝者
与定位仪器之间的距离为 y,若寻宝者匀速行进,且表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示,
则寻宝者的行进路线可能为()
A. 𝐴 → 𝑂 → 𝐵B. 𝐵 → 𝐴 → 𝐶C. 𝐵 → 𝑂 → 𝐶D. 𝐶 → 𝐵 → 𝑂
9.某旅行团到森林游乐区参观,如表为两种参观方式与所需的缆车费用.已知旅行团的每个人皆从这
两种方式中选择一种,且去程有 15 人搭乘缆车,回程有 10 人搭乘缆车.若他们缆车费用的总花费
为 4100 元,则此旅行团共有多少人?
()
参观方式
去程及回程均搭乘缆车
单程搭乘缆车,单程步行
缆车费用
300 元
200 元
A. 16B. 19C. 22D. 25
10. 某校共有 200 名学生,为了解本学期学生参加公益劳动的情况,收集了他们参加公益劳动时间(单
位:
小时)等数据,以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
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时间 t
人数
学生类型
男
性别
0 ≤ 𝑡 < 10 10 ≤ 𝑡 < 20 20 ≤ 𝑡 < 30 30 ≤ 𝑡 < 40 𝑡 ≥ 40
7 31 25 30 4
女
初中
8 29
25
26
36
32
44
8
11
学段
高中
下面有四个推断:
①这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5~25.5之间
②这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在20~30之间
③这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20~30之间
④这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20~30之间
所有合理推断的序号是()
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题(本大题共 8 小题,共 24 分)
11. 在矩形 ABCD 中,M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与端点重合),对于任意矩形
ABCD,下面四个结论中,
①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形;
②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形;
③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形;
④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形.
所有正确结论的序号是______.
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12. 某公园划船项目收费标准如下:
船型两人船(限乘两人) 四人船(限乘四人) 六人船(限乘六人) 八人船(限乘八人)
每船租金(元/小时)
90 100 130 150
某班 18 名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为 1 小时,则租船的总费用最低为____元.
13. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:
已知:
直线 l 和 l 外一点𝑃. (如图1)
求作:
直线 l 的垂线,使它经过点 P.
作法:
如图 2
①在直线 l 上任取两点 A,B;
②分别以点 A,B 为圆心,AP,BP 长为半径作弧,
两弧相交于点 Q;
③作直线 PQ.
所以直线 PQ 就是所求的垂线.
请回答:
该作图的依据是.
14. 在平面直角坐标系 xOy 中,对于点𝑃(𝑥, 𝑦),我们把点𝑃′(−𝑦 + 1, 𝑥 + 1)叫做点 P 伴随点.已知点𝐴1的
伴随点为𝐴2,点𝐴2的伴随点为𝐴3,点𝐴3的伴随点为𝐴4,…,这样依次得到点𝐴1,𝐴2,𝐴3,…,𝐴𝑛,
….若点𝐴1的坐标为(3,1),则点𝐴3的坐标为______,点𝐴2014的坐标为______;若点𝐴1的坐标为
(𝑎, 𝑏),对于任意的正整数 n,点𝐴𝑛均在 x 轴上方,则 a,b 应满足的条件为______.
15. 在平面直角坐标系 xO y 中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点𝐴(0,4),点 B 是 x 轴
正半轴上的整点,记△ 𝐴𝑂𝐵内部(不包括边界)的整点个数为 m.当 m= 3时,点 B 的横坐标的所有可能
值是;当点 B 的横坐标为 4 n(n 为正整数)时,m=________(用含 n 的代数式表示.)
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1
16. 在下表中,我们把第 i 行第 j 列的数记为𝑎𝑖,j(其中 i,j 都是不大于 5 的正整数),对于表中的每个数𝑎𝑖,j
规定如下:
当 i≥ j 时,𝑎𝑖,j= 1;当 i< j 时,𝑎𝑖,j= 0.例如:
当 i= 2 ,j= 1时,𝑎𝑖,𝑗 = a2,= 1.按此规
定,a 1,3 =______;表中的 25 个数中,共有_____个 1;计算 a 1,1· 𝑎𝑖 ,1 + a 1,2· 𝑎𝑖 ,2 + a 1,3· 𝑎𝑖, 3 +
a 1,4 ·𝑎𝑖,4 + a1,5· 𝑎𝑖,5 的值为________.
a1,1
a2,1
a3,1
a4,1
a5,1
a1,2
a2,2
a3,2
a4,2
a5,2
a1,3
a2,3
a3,3
a4,3
a5,3
a1,4
a2,4
a3,4
a4,4
a5,4
a1,5
a2,5
a3,5
a4,5
a5,5
17. 阅读下列材料:
小贝遇到一个有趣的问题:
在矩形 ABCD 中,AD= 8𝑐𝑚,AB= 6𝑐𝑚.现有一动点 P 按下列方式在
矩形内运动:
它从 A 点出发,沿着与 AB 边夹角为45°的方向作直线运动,每次碰到矩形的一边,就
会改变运动方向,沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动,并且它一直按照这种方式不停地运
动,即当 P 点碰到 BC 边,沿着与 BC 边夹角为45°的方向作直线运动,当 P 点碰到 CD 边,再沿着
与 CD 边夹角为45°的方向作直线运动… …如图 1 所示.问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次,
P 点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是多少.
小贝的思考是这样开始的:
如图 2,将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠,得到矩形 A 1 B 1 CD.由轴
对称的知识,发现 P 2 P 3 = P 2 E,P 1 A= P 1 E.
请你参考小贝的思路解决下列问题:
(1) P 点第一次与 D 点重合前与边相碰________次;P 点从 A
点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是________cm;
(2)进一步探究:
改变矩形 ABCD 中 AD,AB 的长,且满足 AD> AB.动点 P 从 A 点出发,按照阅读
材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上.若 P 点
第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次,则 AB∶ AD 的值为________.
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三、解答题(本大题共 10 小题,共 56 分)
18. 国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40 的
国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
𝑎.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成 7 组:
30 ≤ 𝑥 < 40,40 ≤ 𝑥 < 50,50 ≤ 𝑥 < 60,
60 ≤ 𝑥 < 70,70 ≤ 𝑥 < 80,80 ≤ 𝑥 < 90,90 ≤ 𝑥 ≤ 100);
𝑏.国家创新指数得分在60 ≤ 𝑥 < 70这一组的是:
61.7、62.4、63.6、65.9、66.4、68.5、69.1、69.3、69.5
𝑐. 40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:
𝑑.中国的国家创新指数得分为69.5.
(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息,回答下列问题:
(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______;
(2)在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中,包括中国在内的少数几个国
家所对应的点位于虚线𝑙1的上方,请在图中用“〇”圈出代表中国的点;
(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中,人均国内生产总值的最小值约为______万美元;(结果保
留一位小数)
(4)下列推断合理的是______.
①相比于点 A,B 所代表的国家,中国的国家创新指数得分还有一定差距,中国提出“加快建设创新
型国家”的战略任务,进一步提高国家综合创新能力;
②相比于点 B,C 所代表的国家,中国的人均国内生产总值还有一定差距,中国提出“决胜全面建成
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”
小康社会 的奋斗日标,进一步提高人均国内生产总值.
19. 小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词,背诵计划如下:
①将诗词分成 4 组,第 i 组有𝑥𝑖首,𝑖 = 1,2,3,4;
②对于第 i 组诗词,第 i 天背诵第一遍,第(𝑖 + 1)天背诵第二遍,第(𝑖 + 3)天背诵第三遍,三遍后完
成背诵,其它天无需背诵,𝑖 = 1,2,3,4;
第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天第 6 天第 7 天
第 1 组𝑥1
𝑥1
𝑥1
第 2 组
𝑥2
𝑥2
𝑥2
第 3 组
第 4 组
𝑥4 𝑥4
𝑥4
③每天最多背诵 14 首,最少背诵 4 首.
解答下列问题:
(1)填入𝑥3补全上表;
(2)若𝑥1 = 4,𝑥2 = 3,𝑥3 = 4,则𝑥4的所有可能取值为______;
(3)7天后,小云背诵的诗词最多为______首.
20. 如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 AB 上的一动点(不与点 A、B 重合),连接 DE,点 A 关于直线 DE
的对称点为 F,连接 EF 并延长交 BC 于点 G,连接 DG,过点 E 作𝐸𝐻 ⊥ 𝐷𝐸交 DG 的延长线于点
H,连接 BH.
(1)求证:
𝐺𝐹 = 𝐺𝐶;
(2)用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系,并证明.
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21. 在平面直角坐标系 xOy 中,函数𝑦 = 𝑘 (𝑥 > 0)的图象 G 经过点𝐴(4,1),直线 l:
𝑦 = 1 𝑥 + 𝑏与图象 G
𝑥4
交于点 B,与 y 轴交于点 C.
(1)求 k 的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象 G 在点 A,B 之间的部分与线段 OA,OC,BC 围成的
区域(不含边界)为 W.
①当𝑏 = −1时,直接写出区域 W 内的整点个数;
②若区域 W 内恰有 4 个整点,结合函数图象,求 b 的取值范围.
22. 阅读下面材料:
小腾遇到这样一个问题:
如图 1
𝐴𝐵𝐶中,点 D 在线段 BC 上,∠𝐵𝐴𝐷 = 75°,
∠𝐶𝐴𝐷 = 30°,𝐴𝐷 = 2,𝐵𝐷 = 2𝐷𝐶,求 AC 的长.
小腾发现,过点 C 作𝐶𝐸//𝐴𝐵,交 AD 的延长线于点 E,通过构造△ 𝐴𝐶𝐸,经过推理和计算能够使问
题得到解决(如图 2).
请回答:
∠𝐴𝐶𝐸的度数为______,AC 的长为______.
参考小腾思考问题的方法,解决问题:
如图 3,在四边形 ABCD 中,∠𝐵𝐴𝐶 = 90°,∠𝐶𝐴𝐷 = 30°,∠𝐴𝐷𝐶 = 75°,AC 与 BD 交于点 E,𝐴𝐸 =
2,𝐵𝐸 = 2𝐸𝐷,求 BC 的长.
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23. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3与 x 轴交于点 A、𝐵(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴
交于点 C.
(1)求直线 BC 的表达式;
(2)垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点𝑃(𝑥1, 𝑦1 ),𝑄(𝑥2, 𝑦2),与直线 BC 交于点𝑁(𝑥3, 𝑦3),若𝑥1 <
𝑥2 < 𝑥3,结合函数的图象,求𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3的取值范围.
24. 有这样一个问题:
探究函数𝑦 = 1 𝑥2 + 1的图象与性质.
2𝑥
小东根据学习函数的经验,对函数𝑦 = 1 𝑥2 + 1的图象与性质进行了探究.
2𝑥
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)函数𝑦 = 1 𝑥2 + 1的自变量 x 的取值范围是;
2𝑥
(2)下表是 y 与 x 的几组对应值.
x
1 1 1
… −3 −2 −1 − −
2 3 3
1
2
1
2
3
…
y
… 25
6
3 1 15 53 55 17
− − −
2 2 8 18 18 8
3
2
5
2
m
…
求 m 的值;
.
(3)如下图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点 根据描出的点,画出
该函数的图象;
(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标
是(1, 3) .结合函数的图象,写出该函数的其他性质(一条即可):
.
2
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25.
(1)对数轴上的点 P 进行如下操作:
先把点 P 表示的数乘以,再把所得数对应的点向右平移 1 个单
′
位,得到点 P 的对应点𝑃 .
点 A,B 在数轴上,对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段
,其中点 A,B 的对应点分
别为𝐴′,𝐵′.如图 1,若点 A 表示的数是
,则点𝐴′表示的数是_________;若点𝐵′表示的数是 2,则点
B 表示的数是_________;已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点𝐸′与点 E 重合,则点
E 表示的数是_________;
(2)如图 2,在平面直角坐标系 xO y 中,对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作:
把每个点
的横、纵坐标都乘以同一种实数 a,将得到的点先向右平移 m 个单位,再向上平移 n 个单位(m> 0,
n> 0),得到正方形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷及其内部的点,其中点 A,B 的对应点分别为𝐴′,𝐵′.已知正方形 ABCD
内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点𝐹′与点 F 重合,求点 F 的坐标.
26. 已知∠𝐴𝑂𝐵 = 30°,H 为射线 OA 上一定点,𝑂𝐻 = √3 + 1,P 为射线 OB 上一点,M 为线段 OH 上一
动点,连接 PM,满足∠𝑂𝑀𝑃为钝角,以点 P 为中心,将线段 PM 顺时针旋转150°,得到线段 PN,
连接 ON.
(1)依题意补全图 1;
(2)求证:
∠𝑂𝑀𝑃 = ∠𝑂𝑃𝑁;
(3)点 M 关于点 H 的对称点为 Q,连接𝑄𝑃.写出一个 OP 的值,使得对于任意的点 M 总有𝑂𝑁 = 𝑄𝑃,
并证明.
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27. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M,N,给出如下定义:
P 为图形 M 上任意一点,Q 为图形 N 上
任意一点,如果 P,Q 两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形 M,N 间的“闭距离“,记作
𝑑(𝑀, 𝑁).
已知点𝐴(−2,6),𝐵(−2, −2),𝐶(6, −2).
(1)求𝑑(点 O
𝐴𝐵𝐶);
(2)记函数𝑦 = 𝑘𝑥(−1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑘 ≠ 0)的图象为图形𝐺.
𝑑(𝐺,𝐴𝐵𝐶) = 1,直接写出 k 的取值范围;
(3) ⊙ 𝑇的圆心为𝑇(𝑡, 0),半径为1.若𝑑(⊙ 𝑇,△ 𝐴𝐵𝐶) = 1,直接写出 t 的取值范围.
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28. 2019 年北京四中新初一分班考试数学试题 -真题
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:
设𝐵(−3 − 𝑚, 2),𝐶(−3 + 𝑚, 2),(𝑚 > 0)
∵ 𝐴点坐标为(−3,0),
∴ 𝐵𝐶 = 2𝑚,
∵△ 𝐴𝐵𝐶为正三角形,
∴ 𝐴𝐶 = 2𝑚,∠𝐷𝐴𝑂 = 60°,
∴ 𝑚 =
2√3
3
2
∴ 𝐶(−3 +√3, 2)
3
设抛物线解析式𝑦 = 𝑎(𝑥 + 3)2,
𝑎(−3 + 2√3 + 3)2 = 2,
3
∴ 𝑎 = 3,
2
∴ 𝑦 = 3 (𝑥 + 3)2,
2
当𝑥 = 0时,𝑦 = 27;
2
故选:
B.
设𝐵(−3 − 𝑚, 2),𝐶(−3 + 𝑚, 2),(𝑚 > 0),可知𝐵𝐶 = 2𝑚,再由等边三角形的性质可知𝐶(−3 + 2 √3, 2),
3
设抛物线解析式𝑦 = 𝑎(𝑥 + 3)2,将点 C 代入解析式即可求 a,进而求解;
本题考查二次函数的图象及性质,等边三角形的性质;结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐
标是解题的关键.
2.【答案】D
【解析】解:
由作图知𝐶𝑀 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝑁,
∴ ∠𝐶𝑂𝑀 = ∠𝐶𝑂𝐷,故 A 选项正确;
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连接 ON,∵ 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁 = 𝑀𝑁,
∴△ 𝑂𝑀𝑁是等边三角形,
∴ ∠𝑀𝑂𝑁 = 60°,
∵ 𝐶𝑀 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝑁,
∴ ∠𝑀𝑂𝐴 = ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐵𝑂𝑁 = 1 ∠𝑀𝑂𝑁 = 20°,故 B 选项正确;
3
记 MN 与 OA,OB 交点为 E,F,
∵ 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁,∴ ∠𝑂𝑀𝐸 = ∠𝑂𝑁𝐹,
又∵ ∠𝐶𝑂𝑀 = ∠𝐷𝑂𝑁,
∴△ 𝑀𝑂𝐸
𝑁𝑂𝐹,∴ 𝑂𝐸 = 𝑂𝐹,
∴ ∠𝑂𝐸𝐹 = 1 × (180° − ∠𝐸𝑂𝐹) = 1 × (180° − ∠𝐶𝑂𝐷) = ∠𝑂𝐶𝐷.
22
∴ 𝑀𝑁//𝐶𝐷,故 C 选项正确;
∵ 𝑀𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝑁 > 𝑀𝑁,且𝐶𝑀 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝑁,
∴ 3𝐶𝐷 > 𝑀𝑁,故 D 选项错误;
故选:
D.
由作图知𝐶𝑀 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝑁,再根据选项逐一判断可得.
本题主要考查作图−复杂作图,解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质,圆心角,弧,弦的关系等知
识点.
3.【答案】A
【解析】解:
如图所示,在平面直角坐标系中,画出点𝐴(−4,2),点𝐵(2, −4),点 A,B 关于直线𝑦 = 𝑥对
称,
则原点在线段 AB 的垂直平分线上(在线段 AB 的右侧),
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如图所示,连接 AB,作 AB 的垂直平分线,则线段 AB 上方的点𝑂1为坐标原点.
故选:
A.
先根据点 A、B 的坐标求得直线 AB 在坐标平面内的位置,即可得出原点的位置.
本题主要考查了坐标与图形性质,解决问题的关键是