初中竞赛几何必做100题高难度版.docx
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初中竞赛几何必做100题高难度版
初中比赛几何须做100题
第一题：
已知：
于点H
求证：
ABC外接于⊙O，BAC
，点D为弧BC的中点，连结
AHD为等腰三角形.
60，AE
HD、AD.
BC，CF
AB，AE、CF订交
A
FO
H
BEC
D
第二题：
如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连结AC、AF，延伸AF交AC的平行线DE于
点E，连结CE,且AC=AE.
求证：
CECF.
AD
F
E
BC
第三题：
已知：
ABC中，
AB
AC，
BAC
20
，
BDC
30
.
求证：
AD
BC.
A
D
BC
第四题：
已知：
ABC中，
D为
AC边的中点，
A3C，
ADB
45
.
求证：
AB
BC.
B
ADC
第五题：
如图，四边形ABCD的两条对角线
AC、BD交于点
E，BAC
50，
ABD60，
CBD20，
CAD30，
ADB40，求
ACD.
A
BE
D
C
第六题：
已知，ABC30，ADC60，ADDC，求证：
AB2BC2BD2.
A
B
D
C
第七题：
如图，PC切⊙O于C，AC为圆的直径，PEF为⊙O的割线，AE、AF与直线PO订交于B、D.
求证：
四边形ABCD为平行四边形.
A
BOD
P
E
F
C
第八题：
已知：
在
ABC中，AB
AC，
A80，
OBC10，OCA20.
求证：
AB
OB.
A
O
B
C
第九题：
已知：
正方形
ABCD中，OAD
ODA15，求证：
OBC为正三角形.
A
D
O
BC
第十题：
已知：
正方形ABCD中，E、F为AD、DC的中点，连结BE、AF，订交于点P，连
接PC.
求证：
PCBC.
AED
P
F
BC
第十一题：
如图，ACB与ADE都是等腰直角三角形，
ADEACB90，CDF
45，DF
交BE于F，求证：
CFD90.
A
D
E
F
CB
第十二题：
已知：
ABC中，
CBA2CAB，
CBA的角均分线BD与
CAB的角均分线AD相
交于点
D，且BC
AD.
求证：
ACB60
.
C
D
BA
第十三题：
已知：
在
求证：
ABC中，
ADCD
ACAB.
BC，
C100
，
AD均分
CAB.
C
D
AB
第十四题：
已知：
ABC中，AB
中点F，连结BF.
BC，D是
AC的中点，过
D
作
DE
BC于
E，连结
AE，取
DE
求证：
AE
BF
.
B
E
F
A
D
C
第十五题：
已知：
ABC中，
A24，
C30
，D
为
AC上一点，
AB
CD，连结
BD
.
求证：
ABBC
BDAC.
B
ACD
第十六题：
已知：
ABCD与A1B1C1D1均为正方形，A2、B2、C2、D2分别为AA1、BB1、CC1、DD1
的中点.
求证：
A2B2C2D2为正方形.
A1D1
B1C1
A2D2
AD
B2C2
BC
第十七题：
如图，在
ABC三边上，向外做三角形
ABR、BCP、CAQ，使
CBP
CAQ
45
，
BCP
ACQ
30
，
ABR
BAR
15
.
求证：
RQ与
RP垂直且相等
.
C
P
Q
B
AR
第十八题：
如图，已知AD是⊙O的直径，D是BC中点，AB、AC交⊙O于点E、F，EM、FM是⊙O的切线，EM、FM订交于点M，连结DM.
求证：
DMBC.
A
EO
F
BDC
M
第十九题：
如图，三角形
ABC内接于⊙
O，两条高
AD、BE交于点
H，连结AO、OH。
若AH
2，
BD3，
CD1，求三角形
AOH面积.
A
E
OH
BDC
第二十题：
如图，DAC2x，ACB4x，ABC3x，ADBC，求BAD.
A
BDC
第二十一题：
已知：
在
RtABC中，
ABC
90
，
D
为
AC上一点，
E是
BD的中点，
1
2.
求证：
ADB
2ABD
.
B
E
12
A
D
C
第二十二题：
已知正方形ABCD，P是CD上的一点，以AB为直径的圆⊙O交PA、PB于E、F，射线DE、CF交于点M.
求证：
点M在⊙O上.
AD
E
MOP
F
BC
第二十三题：
已知，点
D
是
ABC内必定点，且有
DAC
DCB
DBA
30
.
求证：
ABC是正三角形
.
A
D
BC
第二十四题：
如图，过正方形的极点
A
的直线交
BCCD
于
M
N
，
DM
与
BN
交于点
L
，
BPBN
，
、
、
交DM于点P.
求证：
（1）CLMN；
（2）MONBPM.
AB
O
M
L
DCN
P
第二十五题：
已知：
在正方形ABCD中，E是CD上一点，AE交BD于点G，交BC的延伸线于点F，
连结OF，交CD于点H，连结GH.
求证：
（1）当且仅当E为CD中点时，OGGH
AO；
CF
CH
（2）SHCF
.
4
A
D
G
OE
H
BCF
第二十六题：
已知：
ABCD与
AEFG均为正方形，连结
CF
，取CF
的中点M
，连结
DM
、ME.
求证：
MDE
为等腰直角三角形
.
B
G
A
C
M
F
DE
第二十七题：
四边形
ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB
AD，AOOC。
请你猜想
AB
BO与BCOD的数目关系，并证明你的结论.
A
O
BD
C
第二十八题：
已知：
四边形
的度数.
ABDC中，
ABC
ACB
58
，
CAD
48
，
BCD
30
，求
BDA
A
BC
D
第二十九题：
在ABC中，D是AB的中点，DAC2DCA，DCB30，求B的度数.
B
D
AC
第三十题：
在四边形ABCD中，ADCD，ACBD，ABAC，求BEC的度数.
D
A
E
BC
第三十一题：
在Rt
ABC中，
ACB
90
点，且
MCA
NCB
8
，CAB60，CDAB，M、N为直线AB上的两
，求EMD的度数.
C
E
MADBN
第三十二题：
如图，
ABC中，
BD
AC于
D，
E为
BD上一点，且
ABD
38
，
CBD
68
，
BCE
14
，
DCE
8
，求
DAE的度数
.
B
E
ACD
第三十三题：
CD为⊙O的直径，A、B为半圆上两点，DE为过点D的切线，AB交DE于E，连结
OE，交CB于M，交AC于N.
求证：
ONOM
N
E
B
A
COD
M
第三十四题：
如图，四边形ABCD中，BCCD，BCA21，CAD39，CDA78，求
BAC的度数.
C
B
AD
第三十五题：
如图，四边形ABCD中，ADCD，BAC10，ABD50，ACD20，求
CBD的度数.
B
AC
D
第三十六题：
如图，
BD
CE，G、H为
BC、DE中点，
AB
AC，
FD
FE，
BAC
DFE
.
求证：
AF//GH
A
B
G
C
F
D
H
E
第三十七题：
如图，在正方形
ABCD中，有随意四点
E、F、G、H，且EF
4、GH
3，四边形
EFGH的面积为5，求正方形ABCD
的面积.
A
E
D
G
H
BFC
第三十八题：
已知，2C3B，2BCAB，求A.
C
AB
第三十九题：
在ABC中，ABC60，D是BC边上一点，DCAB，DAB21，求C.
A
BDC
第四十题：
在ABC
中，AB
AC
，D
为
BC
边上一
点，
E
为
AD
上一点，且
满足
BDE
求证：
2CEDBD2CD
.
BAC.
A
E
BDC
第四十一题：
已知，FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线，点H是FC的中点，连结EH、DH。
求证：
EHDH且EHDH.
E
AD
F
H
G
BC
第四十二题：
已知：
CADDAB10，CBD40，DBA20，求证：
CDB70
C
D
AB
第四十三题：
如图，
E、F分别是圆内接四边形
ADBC
的对角线
AB、CD的中点，若
DEB
CEB.
求证：
AFD
BFD
A
D
E
O
F
BC
第四十四题：
已知：
求证：
ABAC，ADB60，BCE30.
BABE
A
ED
BC
第四十五题：
已知：
直角三角形
ABC，
A为直角，
I为心里，
BD、CE分别为两内角均分线。
IBC
的面积为
S。
求四边形
BCDE的面积
.
A
ED
I
BC
第四十六题：
ABACCDDE，且BEBD，求EBD的度数.
A
E
DBC
第四十七题：
如图，
作BG
ABC≌AC于G
CDE，，交CE于
DH
ABC
，连结AH
90，点B在CD上，AB、CE交于
并延伸，交CD于I，设ABx，
F，过B
BCy。
（xy）
求：
（1）AH的长（用x，y表示）；
（2）BC的值.
IC
A
E
F
G
H
DBIC
第四十八题：
在ABC中，ADBC，P是ABC外接圆O上一点，点P对于AB、AC的对称点为点E、F，连结EF与AD交于点H，求证：
H是ABC的垂心.
A
F
H
E
O
B
DC
P
第四十九题：
如图，点
求证：
D、E分别在
ACAB
AC
、AB上，
BD与CE交于点
O，AD
AE，OC
OB.
（追求直接证法）
A
ED
O
BC
第五十题：
以随意四边形四条边为基础向外做正方形，连结相对两正方形的中心。
求证：
这两条线段垂直且相等.
G
H
F
O
A
I
NB
E
P
D
J
C
M
L
K
第五十一题：
如图，ABC为一一般三角形，求证：
AB2PCAC2PBBC（AP2PBPC）
A
BPC
第五十二题：
ABC中，
D
、
E分别在
AC、
AB上，
BD、
CE交于
P，
AD
AE；若
BE
PB
CD
PC，求证：
AB
AC.（直接证明）
A
ED
P
BC
第五十三题：
如图，
O、
I
分别为
ABC的外心和心里，
AD
是
BC
边上的高，
I
在线段
OD
上，
AB
AC，求证：
ABC的外接圆半径等于
BC边上的旁切圆半径
.
O
I
BDC
A
第五十四题：
如图，三角形BDC和三角形BEA都是等腰直角三角形，BDCBEA90
，连结AC，
取AC中点F，连结EF、DF、DE，证明三角形DEF是等腰直角三角形.
D
E
A
F
BC
第五十五题：
ABC中，CACB，D、E分别在CA、CB上，而且CE
CD，过C、D作AE的
垂线分别交AB于G、H，若ACB90,求证：
BGGH.
C
DE
AHGB
第五十六题：
P是
ABC内一点，
PBA
PCA，D
是BC中点，过点
P分别作
BAC内外角均分
线的垂线，垂足为
E、F，求证：
D、E、F
三点共线
.
A
F
E
P
BDC
第五十七题：
已知，ABC，BCA90，过C作AB的垂线，垂足为D点，设X是线段CD内部的
一个点，
K
在线段
AX
上，知足
BK
BC；近似地，
L在线段
BX
上，知足
AL
AC。
令M
为
AL与
BK
的交点，证明：
MK
ML
C
X
L
K
M
A
D
B
第五十八题：
A100，DC均分C，CAE20，求CDE
A
D
BC
E
第五十九题：
四边形
ABCD内接于圆，其边
AB、
DC
的延伸线交于点
P，
AD
和
BC的延伸线交于点
Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为
E、
F，求证：
P、
E、
F
三点共线
.
A
E
O
B
D
C
F
PQ
第六十题：
在锐角
ABC中，
AC、
BC切内接圆于点
E、
D，在
AC、
BC上取点
Q、
P，使得
CQ
AE、CP
BD，
BQ交
AP于点M
，把
AP与圆的交点离
A近的记作点
N.
求证：
PMAN
A
Q
N
ME
BPDC
第六十一题：
在ABC中，D是AB的中点，DAC2DCA，DCB30，求B的度数.
B
D
AC
第六十二题：
如图，MN
过D做AN
为ABC边
的平行线，
BC的中垂线，MN交
P为该平行线上一点，过
ABC的外接圆于M、N
P作直线与PM垂直交
，交BC于D，
ABC于E、F.
求证：
PE
PF
M
A
EPF
BDC
N
第六十三题：
四边形
ABCD是正方形，
CE=
EF
，
CEF
90
，连结
AF，G是
AF
中点，连结
GD、
GE。
求证：
GD
GE且GD
GE.
BA
G
EF
CD
第六十四题：
设点I、H分别为锐角ABC的心里和垂心，点B1、C1为两边中点，射线B1
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