专题13 平面几何之线段数量关系问题原卷.docx

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专题13平面几何之线段数量关系问题原卷

备考2019中考数学高频考点剖析

专题十三平面几何之线段数量关系问题

考点扫描☆聚焦中考

线段数量关系问题是平面几何中的基础性问题，是每年中考的单独考查的情况不是很多，往往融入到平面几何的综合性问题中，考查的知识点包括线段概念性问题、线段相等问题和线段和差计算问题三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

也有少量的解析题。

解析题主要以三角形及其四边形问题综合考查为主。

结合近几年来全国各地中考的实例，我们从三方面进行实数的概念和计算问题的探讨：

（1）线段概念性问题；

（2）线段和差问题；

（3）线段与几何图形综合性问题．

考点剖析☆典型例题

例1（已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　）

A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．5cm

【解答】解：

（1）当点C在线段AB上时，则MN=

AC+

BC=

AB=5cm；

（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN=

AC﹣

BC=7﹣2=5cm．

综合上述情况，线段MN的长度是5cm．

故选：

D．

例2如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（　　）

A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线

C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段

【解答】解：

因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．

故选：

C．

例3如图，平面上有四个点A、B、C、D，请用直尺按下列要求作图：

（1）作直线AB；

（2）作射线BC；

（3）连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD；

（4）找到一点F，使点F到A、B、C、D四点的距离之和最短．

【解答】解：

（1）如图，直线AB即为所求；

（2）如图，射线BC即为所求；

（3）如图，点E即为所求；

（4）如图，点F即为所求．

例4已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．

（1）当D点与B点重合时，AC=　　；

（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在

（1）的条件下，求PA+PB﹣2PC的值；

（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．

【考点】线段的和差．

【分析】

（1）根据题意即可得到结论；

（2）由

（1）得AC=

AB，CD=

AB，根据线段的和差即可得到结论；

（3）需要分类讨论：

①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD﹣AM﹣DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．

【解答】解：

（1）当D点与B点重合时，AC=AB﹣CD=6；

故答案为：

6；

（2）由

（1）得AC=

AB，

∴CD=

AB，

∵点P是线段AB延长线上任意一点，

∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=

AB+PB，

∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（

AB+PB）=0；

（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，

∴AM=

AC=

（AB+BC）=8，

DN=

BD=

（CD+BC）=5，

∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；

如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，

∴AM=

AC=

（AB﹣BC）=4，

DN=

BD=

（CD﹣BC）=1，

∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．

例5已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（

ab+100）2+|a﹣20|=0，P是数轴上的一个动点．

（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．

（2）已知线段OB上有点C且|BC|=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数．

（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或B重合的位置吗？

若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．

【解答】解：

（1）∵（

ab+100）2+|a﹣20|=0，

∴

ab+100=0，a﹣20=0，

∴a=20，b=﹣10，

∴AB=20﹣（﹣10）=30，

数轴上标出AB得：

（2）∵|BC|=6且C在线段OB上，

∴xC﹣（﹣10）=6，

∴xC=﹣4，

∵PB=2PC，

当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，

当P在线段BC上时，

xP﹣xB=2（xc﹣xp），

∴xp+10=2（﹣4﹣xp），

解得：

xp=﹣6，

当P在点C右侧时，

xp﹣xB=2（xp﹣xc），

xp+10=2xp+8，

xp=2，

综上所述P点对应的数为﹣6或2．

（3）第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6…

则第n次为（﹣1）n•n，

点A表示20，则第20次P与A重合；

点B表示﹣10，点P与点B不重合．

考点过关☆专项突破

类型一线段概念性问题

1.下列说法中不正确的是（　　）

①过两点有且只有一条直线

②连接两点的线段叫两点的距离

③两点之间线段最短

④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点

A．①B．②C．③D．④

2.如图，已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，且AB=8cm，则MN的长度为（　　）cm．

A．2B．3C．4D．6

3.把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是（　　）

A．过一点有无数条直线B．两点确定一条直线

C．两点之间线段最短D．线段是直线的一部分

4.如图，已知线段AB=6延长线段AB到C，使BC=2AB，点D是AC的中点，则BD=　　．

5.已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段BC的中点，则AM的长是　　cm．

6.已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（　　）

A．10B．50C．10或50D．无法确定

7.如图，C为线段AB上的一点，AC：

CB=3：

2，D、E两点分别为AC、AB的中点，若线段DE为2cm，则AB的长为多少？

8.已知线段AB=10cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，点D是线段AC的中点，试求线段AD的长．

9.如图，平面上有射线AP和点B、点C，按下列语句要求画图：

（1）连接AB；

（2）用尺规在射线AP上截取AD=AB；

（3）连接BC，并延长BC到E，使CE=BC；

（4）连接DE．

10.如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过多少秒时线段PQ的长为5厘米?

类型二线段和差问题

1.如图，点E是AB的中点，点F是BC的中点，AB=4，BC=6，则E、F两点间的距离是（　　）

A．10B．5C．4D．2

2．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（　　）

A．a﹣bB．a+bC．b﹣aD．﹣a﹣b

3.如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（　　）

A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B

4.如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M、N、P、Q，且m+p=0，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是　　．

5.如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段AB，使AB=2a﹣b（不写作法，保留作图痕迹）．

6．如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=10，CD=4，求线段MN的长．

7.如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．

（1）若AB=10cm，则MN=　5　cm；

（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．

8.已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．

9.已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示点P与A的距离：

PA=　；点P对应的数是　　；

（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，若P、Q同时出发，求：

当点P运动多少秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度？

类型三线段与几何图形综合性问题

1．根据下列语句画出图形，并指出答案．

（1）如图，按照上北下南、左西右东的规定画出了东西南北的十字架，请以十字线的交点O为端点，在图上画出表示北偏西45°的射线．

（2）尺规作图：

如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a﹣b．（不写做法，保留作图痕迹）

2．如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．

（1）求线段BC，MN的长；

（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．

3．如图，已知P是线段AB上一点，AP=

AB，C，D两点从A，P同时出发，分别以每秒2厘米，每秒1匣米的速度沿AB方向运动，当点D到达终点B时，点C也停止运动，设AB=a（厘米），点C，D的运动时间为t（秒）．

（1）用含a和t的代数式表示线段CP的长度；

（2）当t=5时，CD=

AB，求线段AB的长；

（3）当CB﹣AC=PC时，求

的值．

4.如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）写出数轴上点B表示的数　　，点P表示的数　（用含t的代数式表示）；

（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？

5.如图①，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．

（1）若点C恰好是AB中点，则DE=　cm；

（2）若AC=4cm，求DE的长；

（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；

（4）知识迁移：

如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．

6.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：

若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为

．

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．

设运动时间为t秒（t＞0）．

【综合运用】

（1）填空：

①A、B两点间的距离AB=　，线段AB的中点表示的数为　　；

②用含t的代数式表示：

t秒后，点P表示的数为　　；点Q表示的数为　．

（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；

（3）求当t为何值时，PQ=

AB；

（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？

若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．