弧弦圆心角同步测控优化训练含答案.docx
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弧弦圆心角同步测控优化训练含答案
弧弦圆心角同步测控优化训练（含答案）
24、1、3弧、弦、圆心角
一、课前预习（5分钟训练）
1、下列说法中，正确的是（）
A、等弦所对的弧相等
B、等弧所对的弦相等
C、圆心角相等，所对的弦相等
D、弦相等所对的圆心角相等
2、如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于
C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）图24-1-3-1
A、3∶2
B、∶2
C、∶
D、5∶
43、半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于（）
A、2∶1
B、3∶2
C、2∶3
D、0
二、课中强化（10分钟训练）
1、一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________、2、弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________、答案：
∶2903、如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于
C、
D、
（1）求证：
AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积、图24-1-3-
24、如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦（非直径），
C、D是AB上的两点，并且AC=B
D、求证：
OC=O
D、图24-1-3-
35、如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30，求CD的长、图24-1-3-
46、如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等、若直线EF平移到与直径AB相交于P（P不与
A、B重合）,在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?
为什么?
当EF∥AB时,情况又怎样?
图24-1-3-5
三、课后巩固（30分钟训练）
1、如图24-1-3-6所示，A
B、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？
为什么？
图24-1-3-
62、如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，
C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长O
C、OD，分别交⊙O于点E、F、试证:
弧AE=弧BF、图24-1-3-
73、如图24-1-3-8，A
B、C
D、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦A
C、E
B、DF是否相等？
为什么？
图24-1-3-
84、为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形个数不限），并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图（至少两种）、5、如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？
（要求：
不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论）
图24-1-3-
96、如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径、图24-1-3-107、⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离、参考答案
一、课前预习（5分钟训练）
1、下列说法中，正确的是（）
A、等弦所对的弧相等
B、等弧所对的弦相等
C、圆心角相等，所对的弦相等
D、弦相等所对的圆心角相等思路解析：
根据弧、弦、圆心角的关系知：
等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的、答案：
B
2、如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于
C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）图24-1-3-1
A、3∶2
B、∶2
C、∶
D、5∶4思路解析：
作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=
1、在Rt△ODE中，OD==、在Rt△OEB中，OB===、∴OB∶OD=∶、答案：
C
3、半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于（）
A、2∶1
B、3∶2
C、2∶3
D、0思路解析：
∵AB为直径，∴OE=0、∴OE∶OF=0、答案：
D
二、课中强化（10分钟训练）
1、一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________、思路解析：
360=90，∴弦所对的圆心角为
90、答案：
902、弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________、思路解析：
如图，OD⊥AB，OD=DB=A
D、设OD=x，则AD=DB=x、在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB,∴∠DOB=
45、∴∠AOB=2∠DOB=90，OB=x、∴AB∶BC=1∶=∶
2、∴弦与直径的比为∶2，弦所对的圆心角为
90、答案：
∶2903、如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于
C、
D、图24-1-3-2
（1）求证：
AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积、思路分析：
求圆环的面积不用求出O
A、OC，应用等量代换的方法、事实上，O
A、OC的长也求不出来、
（1）证明：
作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=E
D、∴EA－EC=EB－ED，即AC=B
D、
（2）解：
连结O
A、O
C、∵AB=6cm，CD=4cm，∴AE=AB=3cm、CE=CD=2cm、∴S环=πOA2－πOC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］=π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（cm2）、4、如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦（非直径），
C、D是AB上的两点，并且AC=B
D、求证：
OC=O
D、图24-1-3-3思路分析：
根据弧、弦、圆心角的关系得出、证法一：
如图
（1），分别连结O
A、O
B、∵OA=OB，∴∠A=∠
B、又∵AC=BD，∴△AOC≌△BO
D、∴OC=O
D、
（1）
（2）证法二：
如图
（2），过点O作OE⊥AB于E，∴AE=BE、∵AC=BD，∴CE=DE、∴OC=O
D、5、如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30，求CD的长、图24-1-3-4思路分析：
如何利用∠CEA=30是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决、解：
过O作OF⊥CD于F，连结CO、∵AE=6cm，EB=2cm，∴AB=8cm、∴OA=AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）、在Rt△OEF中，∵∠CEA=30，∴OF=OE=1（cm）、在Rt△CFO中，OF=1cm，OC=OA=4（cm），∴CF==（cm）、又∵OF⊥CD，∴DF=CF、∴CD=2CF=2（cm）、6、如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等、若直线EF平移到与直径AB相交于P（P不与
A、B重合）,在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?
为什么?
当EF∥AB时,情况又怎样?
图24-1-3-5思路分析：
考查垂径定理及三角形、梯形相关知识、可适当添加辅助线、解：
当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM、通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF、当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形、所以EF=A
B、且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF、
三、课后巩固（30分钟训练）
1、如图24-1-3-6所示，A
B、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？
为什么？
图24-1-3-6思路分析：
欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等、解：
弧AC=弧BE、原因如下：
法一：
连结AC，∵A
B、CD是直径，∴∠AOC＝∠BO
D、∴AC＝B
D、又∵BE＝BD，∴AC＝BE、∴弧AC=弧BE、法二：
∵A
B、CD是直径，∴∠AOC＝∠BO
D、∴弧AC=弧B
D、∵BE＝BD，∴弧BE=弧B
D、∴弧AC=弧BE、2、如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，
C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长O
C、OD，分别交⊙O于点E、F、试证:
弧AE=弧BF、图24-1-3-7思路分析：
欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF、证明：
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠OD
C、∵AO＝OB，∴∠A＝∠
B、∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF、∴弧AE=弧BF、3、如图24-1-3-8，A
B、C
D、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦A
C、E
B、DF是否相等？
为什么？
图24-1-3-8思路分析：
应用圆心角、弧、弦的关系解决、证明弦相等往往转化成圆心角相等、解：
在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵A
B、C
D、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE、∴弧DF=弧AC=弧BE、∴AC=EB=DF、4、为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形个数不限），并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图（至少两种）、思路解析：
设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案、答案：
根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可、5、如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？
（要求：
不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论）图24-1-3-9思路解析：
因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论、本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题、本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题、答案：
（1）BE=CE；
（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等、6、如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径、图24-1-3-10思路分析：
圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决、解：
过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2B
C、在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP
2、∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=
5、∴OA2－52=52－
1、∴OA=7，即⊙O的半径为7cm、7、⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离、思路分析：
（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养、
（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况、
（1）解：
（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图
（1）,作OG⊥AB于G，交CD于E，连结O
B、O
D、∵AB∥CD，OG⊥AB，∴OE⊥C
D、∴EG即为A
B、CD之间的距离、∵OE⊥CD，OG⊥AB，∴BG=AB=40=20（cm），DE=CD=48=24（cm）、在Rt△DEO中，OE===7（cm）、在Rt△BGO中，OG===15（cm）、∴EG=OG－OE=15－7=8（cm）、
（2）
（2）当A
B、CD在圆心两侧时，如图
（2），同理可以求出OG=15cm，OE=7cm，∴GE=OG＋OE=15＋7=22（cm）、综上所述，弦AB和CD间的距离为22cm或7cm、
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