北师大版八年级上册第1章《勾股定理》导学案全章打包含答案.docx

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北师大版八年级上册第1章《勾股定理》导学案全章打包含答案

1.1　探索勾股定理

第1课时　勾股定理

【学习目标】

1．会用数格子的办法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系．

2．能利用勾股定理进行简单的计算和实际应用．

【学习重点】

勾股定理的探索及利用勾股定理进行计算．

【学习难点】

用测量和数格子的方法探索勾股定理．

学习行为提示：

让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．

学习行为提示：

教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．

教会学生落实重点．

说明：

通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理．

说明：

通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解．情景导入　生成问题

我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：

三角形的两边之和大于第三边．对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系．那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：

勾股定理．出示投影1（章前的图文P1），介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号．

自学互研　生成能力

先阅读教材第2页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．

1．在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？

与同伴交流．

【说明】　学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质．

2．观察教材图1－2，正方形A中有__9__个小方格，即A的面积为__9__个面积单位．正方形B中有__9__个小方格．即B的面积为__9__个面积单位．正方形C中有__18__个小方格，即C的面积为__18__个面积单位．你是怎样得出上面结果的？

在学生交流回答的基础上教师接着发问．教材图1－2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？

归纳得出结论：

SA＋SB＝SC.

师生合作共同完成下面问题的学习与探究，若在学习过程中学生遇到困难，教师要及时指导．

3．教材图1－3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？

你是如何计算的？

与同伴进行交流．

4．如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？

说明你的理由．

【说明】　渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高．

议一议：

你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？

与同伴进行交流．

【说明】　学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力的语言表达能力．

【归纳结论】　直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．这就是著名的“勾股定理”．也就是说：

如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来．　　

提示：

利用勾股定理进行计算求值时，一定要分清直角边、斜边．

学习行为提示：

找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．

积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.

典例讲解：

例：

求出下列直角三角形中未知边AB的长度．

解：

（1）∵∠B＝90°，∴AC是斜边，根据勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2.

∴AB2＝AC2－BC2＝202－122＝400－144＝256.∴AB＝16；

（2）∵∠C＝90°，∴AB是斜边，

根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝72＋242＝625.∴AB＝25.

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　探索勾股定理

知识模块二　利用勾股定理计算求值

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

________________________________________________________________________

第2课时　勾股定理的验证及简单应用

【学习目标】

1．会利用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性．

2．能利用勾股定理解决简单实际问题．

【学习重点】

能熟练应用拼图法证明勾股定理．

【学习难点】

应用勾股定理解决实际问题．

学习行为提示：

每组抽一位学生上黑板做，其余学生在座位上完成，组长检查每组完成情况，最后教师给每组评分．情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．勾股定理：

Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__a2＋b2＝c2__．

2．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（　C　）

A．48　　　　　B．60　　　　　C．76　　　　　D．80

3．如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为（　C　）

A．4B.

C．4或

D．以上都正确

学习行为提示：

认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．

说明：

学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解．

学习行为提示：

找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解法．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．

积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．自学互研　生成能力

先阅读教材第4页下面的内容和第5页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．

1．画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？

你是如何做的？

与同伴进行交流．

【说明】　让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想．

2．为了计算教材图1－4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51－5、1－6图．

（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；

（2）教材图1－5、1－6中正方形ABCD的面积分别是多少？

你们有哪些表示方式？

与同伴进行交流．

（3）你能分别利用教材图1－5、1－6验证勾股定理吗？

【归纳结论】　勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7－8的其他证明勾股定理的方法，以开阔同学们的视野．

自学自研教材第5页例题．

师生合作共同完成下面例题的学习探究．

典例讲解：

例：

飞机在空气中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

分析：

根据题意，可以先画出符合题意的图形．如图，图中△ABC的∠C＝90°，

AC＝4000米，AB＝5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB＝5000米，AC＝4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．

解：

由勾股定理得BC2＝AB2－AC2＝52－42＝9（千米），即BC＝3千米，飞机20秒飞行3千米．那么它1小时飞行的距离为：

×3＝540（千米/时），答：

飞机每小时飞行540千米．

【说明】　让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答．并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去．

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　勾股定理的验证

知识模块二　利用勾股定理解决实际问题

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

________________________________________________________________________

1.2　一定是直角三角形吗

【学习目标】

1．会用勾股定理逆定理判定三角形是不是直角三角形．

2．理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数．

【学习重点】

探索并掌握直角三角形的判别条件．

【学习难点】

运用直角三角形判别条件解题．

学习行为提示：

让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．

学习行为提示：

认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．

说明：

鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结论的乐趣，增强他们勇于探索的精神．情景导入　生成问题

展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作．

甲：

同时握住绳子的第一个结和第十三个结．

乙：

握住第四个结．

丙：

握住第八个结．

拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形中的最大角．发现这个角是多少度？

古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？

怎样的三角形才能成为直角三角形呢？

这就是我们今天要研究的内容．

【说明】　利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题．既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力．

自学互研　生成能力

先阅读教材第9页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．

做一做：

下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.

5、12、13　　7、24、25　　8、15、17

1．这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？

2．分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

3．如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2＋b2＝c2.那么这个三角形是直角三角形吗？

【归纳结论】　如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．大家可以想这样的勾股数是很多的．今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2＋b2＝c2时，三角形为直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直．

自学自研教材第9页，第10页例题的解答过程．

师生合作共同完成下面例题的学习与探究．

典例讲解：

例：

如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝12，CD＝13，DA＝4，且∠DAB＝90°，求这个四边形的面积．

分析：

四边形ABCD是不规则的四边形，连接BD把四边形ABCD转化成两个三角形，△ABD是直角三角形，其面积可求出，若△BCD也是直角三角形的话，四边形ABCD的面积便可求得．　　

学习行为提示：

找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解法．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．

积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．　　解：

连接BD.

在△ABD中，∠DAB＝90°，

∴BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝25，

∴BD＝5.

在△DBC中，DB2＋BC2＝52＋122＝25＋144＝169，CD2＝132＝169，

∴DB2＋BC2＝CD2，

∴△DBC是直角三角形．

∴∠DBC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△DAB＋S△DBC＝

×3×4＋

×5×12＝36.

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　直角三角形的判定与勾股数

知识模块二　直角三角形判定的应用

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

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1．3　勾股定理的应用

【学习目标】

1．会利用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．

2．能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力．

【学习重点】

能综合应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．

【学习难点】

利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决实际问题．

学习行为提示：

让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．情景导入　生成问题

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如，欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？

日常生活当中，我们还会遇到下面的问题．

【说明】　回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学习新知识又一次打下了坚实的基础．

自学互研　生成能力

先阅读教材第13页“做一做”前面的内容，然后完成下面的问题．

出示问题：

有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？

（π的取值3）

学习行为提示：

认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．

说明：

让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用．

（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？

（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？

你画对了吗？

（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？

【归纳结论】　我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形．好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开（如下图）．

我们不难发现，刚才几位同学的走法：

（1）A→A′→B；　

（2）A→B′→B；　（3）A→D→B；　（4）A→B.

哪条路线是最短呢？

你画对了吗？

第（4）条路线最短．因为“两点之间的连线中线段最短”．

蚂蚁怎么走最近？

先阅读教材第13页“做一做”的内容，并完成“做一做”中的3个问题，并与同伴进行交流．

1．教材第13页“做一做”第

（2）问中，在△ABD中，AD＝30cm，AB＝40cm，BD＝50cm，因为AD2＋AB2＝302＋402＝900＋1600＝2500，BD2＝502＝2500，所以AD2＋AB2＝BD2，所以△ABD是直角三角形，所以∠DAB＝90°，所以AD⊥AB.

2．教材第13页“做一做”第（3）问中测量方法不唯一，例如在AD边上测量一段AE＝6cm，在AB边上测量一段AF＝8cm，再测量点E，F两点间的距离EF，若EF＝10cm，由AE2＋AF2＝62＋82＝36＋64＝100＝EF2，可知△AEF是直角三角形，且∠EAF＝90°，∴DA⊥AB.边BC与边AB是否垂直可以用类似的方法测量．

师生合作共同完成教材第13页例题的学习与探究．

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　利用勾股定理解决立体图形的最短路程问题

知识模块二　勾股定理与逆定理的综合应用

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

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本章复习小结

【学习目标】

1．掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，灵活运用它们解决实际问题．

2．通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形结合的思想和逆向思维思考问题，以便能熟练灵活运用．

【学习重点】

用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形简单问题．

【学习难点】

掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据勾股定理建立方程．

　学习行为提示：

创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．

学习行为提示：

教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．

教会学生落实重点．情景导入　生成问题

引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本章知识及它们之间的相互联系．

自学互研　生成能力

例1：

我国古代有这样一道数学问题：

“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？

”题意是：

如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？

分析：

这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化为直角三角形问题，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

解：

侧面展开如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长5×3＝15（尺），所以（葛藤长）2＝202＋152＝625，所以葛藤长为25.故葛藤的最短长度是25尺．

学习行为提示：

找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．

积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．

例2：

如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．

分析：

首先根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，然后设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理可得方程x2＋22＝（4－x）2，再解方程即可算出答案．

解：

根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝

＝

＝5，所以B′C＝5－3＝2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2＋22＝（4－x）2，解得x＝1.5.故EB′是1.5.

例3：

如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，AD＝13，CD＝12，BC＝3，求四边形ABCD的面积．

分析：

对于四边形问题，通常转化成三角形来解决．故连接AC，在直角三角形ABC中，运用勾股定理可以求出AC2，然后再利用勾股定理的逆定理证明三角形ACD是直角三角形，这样就把四边形的面积转化成两个直角三角形的面积和．

解：

连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝25，在△ADC中，AC2＋CD2＝169，AD2＝169，AC2＋CD2＝AD2，所以∠ACD＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB＋S△ADC＝

AB·BC＋

AC·CD＝36.

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　勾股定理的应用

知识模块二　勾股定理与其逆定理的运用

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

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2．存在困惑：

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