整数的速算和巧算.docx
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整数的速算和巧算
整数的速算和巧算
在加法、减法和加减混合运算中，常常利用改变运算顺序进行巧算，其中有利用两数互补关系进行凑整巧算、借数凑数巧算、选择合适的数作为基数巧算等,还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算。
整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”。
要达到“凑整”的目的，就要对一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简单化。
1。
同学们要记住一些速算结果，如2×5=10,25×4=100,125×8=1000，625×8=5000,625×16=10000等，这样，在计算时才能迅速而准确.
2.灵活地运用“头同尾合十”和“尾同头合十”的巧算法求积.
“头同尾合十”的巧算方法是：
用十位上的数字乘十位上的数字加1的积，再乘100，最后加上个位上两个数字的乘积。
如23×27=2×（2+l）×100+3×7=621.
“尾同头合十”的巧算方法是：
十位数字的乘积加上个位数字的和，再乘100，最后加上个位上的数字的积。
如：
如72×32=（7×3+2）×100+2×2=2304。
4.另外有一些常用方法。
（1）乘数凑整法
乘数凑整法是利用特殊数的乘积特性进行速算,如：
5×2=10，25×4=100，125×8=1000，…
运算时可将包含这几个因子的乘数分解然后提出这几个因子,实现速算。
例如:
32×625=4×8×125×5。
（2）乘法分配律、结合律
该方法利用求几个乘积之和时拥有共同乘数的特点，直接利用乘法结合律，先求和再求积。
例如：
87×28+28×73-28×10=28×（87+73-10）。
如果没有出现乘数相同的情况，可以想办法进行拆分得到相同乘数,可以分成两数之和或是之积。
（3）特殊方法
针对特定的题还可以采用特定的方法，如“头同尾补”或是“尾同头补"等方法。
1、9999×1111+3333×6667
2、99999×77778+33333×66666
3、4444×9＋1111×64
4、889×666＋333×222
5、9999×26＋3333×22
6、28×1111＋9999×8
7、9999×9999＋19999
8、980000÷25÷25÷4÷4
9、（70÷4+90÷4）÷4
10、765×213÷27＋765×327÷27
11、（873×477—198）÷（476×874＋199）
12、（7777＋8888）÷5－（888－111）×3
13、5÷（7÷11）÷（11÷16）÷（16÷35）
14、15＋115＋1115＋11115＋……＋1111111115
15、1。
25×31.3×24
16、7.3×3.7－7×0.73
17、0。
15÷2.1×56
18、9.9×9.9＋1。
99
19、2.437×36.54＋243。
7×0.6346
20、2。
005×390＋20。
05×41＋200。
5×2
21、5×19。
99＋16×1.999＋0。
34×199.9
22、1250×0.037+0。
125×160+12.5×2。
7
23、7.5×46。
7＋17。
9×2.5
24、0。
9999×0。
6＋0。
1111×3.6
25、1。
076×3.4+10。
76×0.66
26、39999＋3999＋399＋39＋9
27、0.125×0。
25×0。
5×64
28、3。
75×4。
8＋62。
5×0。
48
29、3.7×5。
4＋0。
37×46
30、18。
6÷2.5÷0.4
31、700÷14÷5
32、1.25×（8÷0。
5）
33、（125×99＋125）×16
34、3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9
35、1250÷25÷5
36、4.75÷0.5－4.75
37、999.9＋99.9＋9.9＋0。
9
38、9.8+99.8+999。
8+9999。
8+99999.8
39、899998+89998+8998+898+88
40、799999+79999+7999+799+79
41、799998+79997+7996+797+78
42、1.1+3。
3+5。
5+7。
7+9。
9+11。
11+13.13+15。
15+17.17+19.19
43、99992＋19999
44、999×274＋6274
45、8。
8×6+3。
4×8
46、1432×9090+1432×909
47、11+88+66+33+77+55
48、9.996＋29.98＋169.9＋3999。
5
49、51×49+3.51×49+51×3.51
50、677＋3×6770＋677×69
51、187÷12－63÷12－53÷12
52、1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8
53、1＋2＋3＋……＋98＋99＋100
54、7.5×46。
7＋17.9×2。
5
55、7。
81－（3.81－1.65）＋2.25
56、（1234＋2341＋3412＋4123）÷（1＋2＋3＋4）
57、1234+2341+3412+4123
58、2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99。
4＋9.94＋0.994
59、25×32÷14＋36÷21×25
60、1＋2×3÷（4＋5）×6
61、3×2÷2－2×6÷3÷2＋5－3
62、31÷5＋32÷5＋33÷5＋34÷5
63、100－99＋98－97＋96－95＋……＋4－3＋2－1
64、10。
37×3。
4＋1.7×19。
26
65、567×789789—789×567567
66、7。
2×14.3÷0。
9÷1。
3
67、20.06×65+380×2。
006—2。
006×30
68、6。
4÷（0。
8+0.4）
69、265—158—42+35
70、3600-175—67-325—133
71、27×46÷79÷46×79÷27
72、1966+1976+1986+1996+2006
一、十几乘十几的巧算
口诀：
头乘头,尾加尾，尾乘尾。
最后再排列，遇到满十的向前位进一就是了。
例如：
12×13=156方法：
头乘头1×1=1;尾相加2+3=5;尾相乘2×3=6。
最后再排列起来就是156。
15×17=255方法：
头乘头1×1=1；尾相加5+7=12;尾相乘5×7=35，最后排列时，高位积本是1,要加进上来的中位积12中的1，就是2了；中位积本是2,加尾积进上来的3就是5了；末尾积就是5.就是255。
说明：
这种巧算只限于十几乘十几的乘法，不能什么乘法都用此方法。
好处:
上了初中不用背平方表了，掌握好了可以大大的提高小学生的运算速度。
二、11乘任意数：
口诀:
首尾不动下落，中间之和下拉。
例:
11×23125=？
解：
2+3=5
3+1=4
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
11×23125=254375
注:
和满十要进一。
说明:
这种方法掌握好了，可以大大的提高运算速度，同样像乘22,33，88等一系列的乘法都可以运用此法，因为22可以分解为11×2、33可以分解为11×3……
三、首数相同,尾数之和为十的两位数乘两位数的巧算
口诀:
一个头加１后，头乘头，尾乘尾.
例：
23×27=？
解：
２＋１＝３
２×３＝６
３×７＝21
23×27=621
（两数之积是一位数的，前面用0补足）
例如：
26×24=624方法：
首数2+1=3,3×2=6;6×4=24；排列起来就是624。
85×85=7225方法:
首数8+1=9，9×8=72；5×5=25；排列起来就是7225。
说明：
这种方法只限于首数相同，尾数互补（相加为10）的两位数乘两位数.当然也能灵活的运用的，如42×47可以把它看作42×48=2016，再减去一个42就得1974。
只要首数相同都可以灵活运用此方法。
四、尾相同，首互补的两位数乘两位数的巧算
口诀：
头乘头加尾数为前面两个积，尾乘尾为后面两个积，然后再把两积相连。
（两位之积是一位数的，前位0）例如：
34×74=2516方法:
3×7+4=25这前积;4×4=16为后积，相连就是2516.
57×57=3249方法：
5×5+7=32是前积；7×7=49是后积,相连就是3249。
说明:
此种方法限于尾相同的两位数相乘都可灵活运用。
如：
46×56=2576可以看成46×66=3036，再减去10个46即是460,就是3036-460=2576。
五、。
第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：
口诀：
一个头加１后，头乘头，尾乘尾.
例：
37×44=？
解:
3+1=4
4×4=16
7×4=28
37×44=1628
注：
个位相乘，不够两位数要用0占位.
六、几十一乘几十一：
口诀：
头乘头，头加头，尾乘尾。
例:
21×41=？
解：
2×4=8
2+4=6
1×1=1
21×41=861
七、首位都是5的两个两位数相乘的巧算
口诀：
头乘头加两尾数之和的一半为前积，尾乘尾为后积，然后同上排列起来。
例如：
52×56=2912方法:
5×5+［（2+6）÷2]=29；2×6=12;排列起来就是2912。
八、尾数都是5的两个两位数乘法的巧算
口诀:
头乘头加两首数之和的一半为前积，尾乘尾为后积。
例如：
25×65=1625方法:
2×6+[（2+6）÷2］=16为前两位积；5×5=25为后两位积.
九、任意两位数的平方用下面的口诀
巧算口诀：
头乘头为前积,头乘尾加一倍为中积，尾乘尾为后积,满十向前一位进一.
例如:
25×25=625方法:
2×2=4，加上中积乘得是20，向前进2就是6了；中积2×5=10再加一倍为20，就该是0，可再加上尾积5×5=25向前进的2就写2了;尾积就写5了。
所以是625.说明：
这种方法与前面的十几乘十几差不多，不同的是：
中积是首乘尾还要加一倍。
这种方法掌握了也能灵活的算如22×23、45×46等。
十、两位乘两位数的通用巧算法
口诀：
头乘头为前积；头尾交互相乘之和为中积;尾乘尾为后积.例如:
36×52=1872方法：
3×5=15本为首积,6×5+3×2=36中积就应该是6,3进到首积15上，首积就写18；尾积6×2=12，向中积进1，中积就写7;尾积就是2了.
十一、十几乘任意数：
口诀：
第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字,加下一位数，再向下落。
例：
13×326=?
解:
13个位是3
3×3+2=11
3×2+6=12
3×6=18
13×326=4238
注:
和满十要进一。
说明：
这种方法适用于任何两位数相乘。
这八种巧算方法你灵活地掌握了,以后你遇到任何的两位数相乘都可以直接“一口清".甚至可以推广到除法和多位数乘法中去，那你就是速算“小神童”了。
分析与解在进行四则运算时，应该注意运用加法、乘法的运算定律,减法、除法的运算性质，以便使某些运算简便.本题就是运用乘法分配律及减法性质使运算简便的。
例2计算9999×2222+3333×3334
分析与解利用乘法的结合律和分配律可以使运算简便.
9999×2222+3333×3334
=3333×（3×2222）+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
＝3333×（6666+3334）
=3333×10000
=33330000
例12计算1×2+2×3+3×4＋……＋10×11
分析与解，将这10个等式左、右两边分别相加，可以得到
例13计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+50×52
分析与解我们知道
1×3=1×3—1+1=1×（3-1）+1=1×2+1
2×4=2×4—2+2=2×（4-1）+2==2×3+2
3×5=3×5-3+3=3×（5—1）+3=3×4+3
4×6=4×6-4+4=4×（6-1）+4=4×5+4
……
50×52=50×52—50+50=50×（52—1）+50
=50×51+50
将上面各式左、右两边分别相加,可以得到
1×3+2×4+3×5+4×6+……+50×52
=1×2+1+2×3+2+3×4+3+4×5+4+……+50×51+50
=1×2+2×3+3×4+4×5+……+50×51+1+2+3+4+……+50
=44200+1275
=45475
例14计算（1+0.23+0。
34）×（0。
23+0。
34+0.56）—
（1+0。
23+0。
34+0.56）×（0。
23+0.34）
分析与解根据题中给出的数据，设1＋0.23+0。
34=a，0.23+0。
34=b，那么a-b=1+0。
23+0。
34-0。
23—0。
34=1。
于是原式变为
a×（b+0。
56）-（a+0。
56）×b
=ab+0。
56a—ab-0。
56b
＝0.56a-0.56b
=0.56（a-b）
=0.56×1
=0.56
例15算式2×3×5×7×11×13×17最后得到的乘积中，所有数位上的数字和是多少？
分析与解要求算式乘积的各个数位上的数字和是多少，就要先求出乘积来.求积时应用乘法结合律可使计算简便。
2×3×5×7×11×13×17
=（2×5）×（7×11×13）×（3×17）
=10×1001×51
=10010×51
=510510
因此，乘积的所有数位上的数字和是
5+1+0+5+1+0=12
答：
乘积的所有数位上的数字和是12。
分析与解根据已知，要是算出两个数的乘积再求出积的各个数位的数字和，那就太复杂了。
不妨先从简单的算起，寻找解题的规律。
例如，9×9=81，积的数字和是8+1=9；
99×99=9801，积的数字和是9+8+1=18；
999×999=998001，积的数字和是
9+9+8+1=27；
9999×9999=99980001，积的数字和是
9+9+9+8+1=36；
……
从计算的结果可以看出,一个因数中9的个数决定了积的各个数位的数字之和是几。
9×9的每个因数中有1个9，那么积的各个数位的数字和就是1个9；
99×99的每个因数中有2个9,那么积的各个数位的数字和就是2个9,即等于18；
999×999的每个因数中有3个9，那么积的各个数位的数字和就是3个9,即等于27；
例191~1994这些自然数中所有数字的和是多少？
分析与解要求1~1994这些自然数中所有数字的和，可以先求出0～1999这些数中所有数字的和,然后再减去1995~1999这五个数的数字和。
将0~1999这2000个数分组，每两个数为一组，可以分成1000组:
（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996），（4，1995），……,（996，1003），（997，1002），（998,1001），（999，1000）。
这里每组的两数的和都是1999,并且每组中两个数相加时都不进位，这样，1～1999这些自然数所有数字和是：
（1+9+9+9）×1000=28×1000=28000
而1995~1999这五个数的数字和是：
（1+9+9）×5+（5+6+7+8+9）=95+35=130
因此1～1994这些自然数中所有数字的和是：
28000-130=27870
答：
1~1994这些自然数中所有数字的和是27870。
73、5×19.99+16×1.999+0.34×199.9
74、6666×8888÷（4444×3333）
75、199999＋19998＋1997＋196＋10
76、9÷（9÷8）÷（8÷7）÷（7÷6）÷（6÷5）÷（5÷4）÷（4÷3）
77、997+995+993+1009+1004+1011
78、1994－1993＋1992－1991＋1990－1989
79、11×40＋39×48＋8×11
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