反比例函数的意义的教学设计八年级数学教案模板.docx
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反比例函数的意义的教学设计八年级数学教案模板
反比例函数的意义的教学设计_八年级数学教案_模板
反比例函数的意义的教学设计
一、知识与技能
1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解．
2．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．
二、过程与方法
1．经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点．
2．经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识．
三、情感态度与价值观
1．经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣．
2．通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神．
教学重点：
理解和领会反比例函数的概念．
教学难点：
领悟反比例的概念．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动1
问题：
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？
这些函数有什么共同特点？
（1）京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位：
h）随该列车平均速度v（单位：
km/h）的变化而变化；
（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；
（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S（单位：
平方千米/人）随全市人口n（单位：
人）的变化而变化．
师生行为：
先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数，了解所讨论的函数的表达形式．
教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．
在此活动中老师应重点关注学生：
①能否积极主动地合作交流．
②能否用语言说明两个变量间的关系．
③能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象．
分析及解答：
（1）；
（2）；（3）
其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，s是n的函数；
上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数．
二、联系生活，丰富联想
活动2
下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？
（1）一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；
（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；
（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化．
师生行为
学生先独立思考，在进行全班交流．
教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生：
（1）能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；
（2）能否积极主动地参与小组活动；
（3）能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念．
分析及解答：
（1）；
（2）；（3）
概念：
如果两个变量x，y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零．
活动3
做一做：
一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长为xcm和ycm．那么变量y是变量x的函数吗？
是反比例函数吗？
为什么？
师生行为：
学生先进行独立思考，再进行全班交流．教师提出问题，关注学生思考．此活动中教师应重点关注：
①生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
②学生能否顺利抽象反比例函数的模型；
③学生能否积极主动地合作、交流；
活动4
问题1：
下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
问题2：
已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6
（1）写出y与x的函数关系式：
（2）求当x=4时，y的值．
师生行为：
学生独立思考，然后小组合作交流．教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导．在此活动中教师应重点关注：
①学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
②学生能否积极主动地参与小组活动．
分析及解答：
1．只有xy=123是反比例函数．
2．分析：
因为y是x的反比例函数，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值．
解：
（1）设，因为x=2时，y=6，所以有解得k=12
三、巩固提高
活动5
1．已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=?
8．
（1）写出y与x之间的函数关系式．
（2）求y=2时x的值．
2．y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表．
学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”．
四、课时小结
反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象．反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象．
教学建议
本节的重点有两个：
⒈同类二次根式的概念
⒉二次根式加减运算的方法
本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．二次根式的加减法运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点．
本节的难点二次根式的加减法运算
二次根式的加减法首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了．整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触二次根式的加减法，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握二次根式的加减法运算是本节的难点．
本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
（1）在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法：
一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出二次根式的加减法和同类二次根式；二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和二次根式的加减法．两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁．
（2）在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题：
①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感．
（3）在组织学生进行二次根式的加减法教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如：
①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等．
（4）在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力．
（5）在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如：
①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况．教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.
教学设计示例1
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．
2．能判断二次根式中的同类二次根式．
3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．
（二）能力训练点
通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．
（三）德育渗透点
从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．
（四）美育渗透点
通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．
二、学法引导
1．教师教法 引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．
2．学生学法 通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．
三、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点 二次根式的加减法运算．
2．教学难点 二次根式的化简．
3．疑点及解决办法 二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．
四、课时安排
2课时
五、教具学具准备
投影片
六、师生互动活动设计
1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．
2．教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义．
3．再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则．
4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．
七、教学步骤
（－）明确目标
学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．
（二）整体感知
同类二次根式的概念应分二层含义去理解
（1）化简后
（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．
第一课时
（－）教学过程
【复习引入】
什么样的二次根式叫做最简二次根式？
（由学生回答）
与的形式与实质是什么？
可以化简为．
继续提问：
，可以化简吗？
，可以化简吗？
这就是本节课研究的内容——二次根式的加减法．
【讲解新课】
1．复习整式的加减运算
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
小结：
整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．
2．例题
（1）计算 ．
解：
．
（2）计算 ．
解：
．
小结：
（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．
定义：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
3．例题
例1 下列各式中，哪些是同类二次根式？
，，，，，，．
解：
略．
例2 计算 ．
解：
．
例3 计算 ．
解：
．
二次根式加减法的法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（可对比整式的加减法则）
例4 计算：
（1）．
解：
．
（2）．
解：
．
（二）随堂练习
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
练习：
教材P192中1、2
（1）、
（2）、（3）、（4）、（5）；教材P193中1、2．
（三）总结、扩展
同类二次根式的定义．
二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．
（四）布置作业
教材P193中
（1）、
（2）、（3）、（4）、（5）、（6）；教材P194中4
（1）、
（2）、（3）、（4）．
（五）板书设计
标题
1．复习题 5．例题
（1）、
（2）、
2．整式的加减例题 （3）、（4）
3．例题
（1）、
（2） 6．练习题
4．同类二次根式 7．小结
探索平行线的性质的教案
洼子店中学 吴庆会
一、案例实施背景
本节课是2009-2010学年度第二学期开学第一周笔者在一农村中学的多媒体教室里上的一节公开课，课堂中数学优秀生、中等生及后进生都有，所用教材为人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）。
二、案例主题分析与设计
本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）第七章第2节内容——探索平行线的性质，它是直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分。
《数学课程标准》强调：
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。
本节课将以“生活·数学”、“活动·思考”、“表达·应用”为主线开展课堂教学，以学生看得到、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。
三、案例教学目标
1、知识与技能：
掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。
2、数学思考：
在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。
3、解决问题：
通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。
4、4、情感态度与价值观：
在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。
四、案例教学重、难点
11、重点：
对平行线性质的掌握与应用
22、难点：
对平行线性质1的探究
五、案例教学用具
11、教具：
多媒体平台及多媒体课件
22、学具：
三角尺、量角器、剪刀
六、案例教学过程
（一）创设情境，设疑激思
1、播放一组幻灯片。
内容：
①供火车行驶的铁轨上；②游泳池中的泳道隔栏；③横格纸中的线。
2、提问温故：
日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？
3、学生活动：
针对问题，学生思考后回答——①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；
4、教师肯定学生的回答并提出新问题：
若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
从而引出课题：
7.2探索平行线的性质（板书）
（二）数形结合，探究性质
1、画图探究，归纳猜想
教师提要求，学生实践操作：
任意画出两条平行线（a∥b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角。
（统一采用阿拉伯数字标角）
教师提出研究性问题一：
指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：
教师提出研究性问题二：
将画出图中的同位角任先一组剪下后叠合。
学生活动一：
画图----度量----填表
----猜想
学生活动二：
画图----剪图----叠合
让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想：
两直线平行，同位角相等。
教师提出研究性问题三：
再画出一条截线d，看你的猜想结论是否仍然成立？
学生活动：
探究、按小组讨论，最后得出结论：
仍然成立。
2、教师用《几何画板》课件验证猜想，让学生直观感受猜想
3．教师展示平行线性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（两直线平行，同位角相等）
（三）引申思考，培养创
教师提出研究性问题四：
请判断两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角各有什么关系？
学生活动：
独立探究----小组讨论----成果展示。
教师活动：
评价学生的研究成果，并引导学生说理
因为a∥b（已知）
所以∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）
又∠1＝∠3（对顶角相等）
∠1+∠4＝180°（邻补角的定义）
所以∠2＝∠3（等量代换）
∠2+∠4＝180°（等量代换）
教师展示：
平行线性质2：
两条线被第三条直线所截，内错角相等。
（两直线平行，内错角相等）
平行线性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（两直线平行，同旁内角互补）
（四）实际应用，优势互补
1、（抢答）课本P13练一练1、2及习题7.21、5
2、（讨论解答）课本P13习题7.22、3、4
（五）课堂总结
这节课你有哪些收获？
1、学生总结：
平行线的性质1、2、3
2、教师补充总结：
⑴用“运动”的观点观察数学问题；（如我们前面将同位角剪下叠合后分析问题）
⑵用数形结合的方法来解决问题；（如我们前面将同位角测量后分析问题）
⑶用准确的语言来表达问题；（如平行线的性质1、2、3的表述）
⑷用逻辑推理的形式来论证问题。
（如我们前面对性质2和3的说理过程）
（六）作业
学习与评价P51、2、3（填空）；
4、5、6（选择）；
7、8（拓展与延伸）
七、教学反思：
数学课要注重引导学生探索与获取知识的过程而不单注重学生对知识内容的认识，因为“过程”不仅能引导学生更好地理解知识，还能够引导学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验。
这节课的教学实现了三个方面的转变：
①教的转变：
本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。
教师成为了学生的导师、伙伴、甚至成为了学生的学生，在课堂上除了导引学生活动外，还要认真聆听学生“教”你他们活动的过程和通过活动所得的知识或方法。
②学的转变：
学生的角色从学会转变为会学，跟老师学转变为自主去学。
本节课学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是站在研究者的角度深入其境，不是简单地“学”数学，而是深入地“做”数学。
③课堂氛围的转变：
整节课以“流畅、开放、合作、‘隐’导”为基本特征，教师对学生的思维活动减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征，整节课学生与学生、学生与教师之间以“对话”、“讨论”为出发点，以互助、合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。
总之，在数学教学的花园里，教师只要为学生布置好和谐的场景和明晰的路标，然后就让他们自由地快活地去跳舞吧！
课题：
一元二次方程实数根错例剖析课
【教学目的】 精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。
【课前练习】
1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当a_____时，方程为一元二次方程。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。
【典型例题】
例1 下列方程中两实数根之和为2的方程是（）
（A） x2+2x+3＝0 （B）x2-2x+3＝0 （c） x2-2x-3＝0 （D） x2+2x+3＝0
错答：
B
正解：
C
错因剖析：
由根与系数的关系得x1+x2＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。
例2 若关于x的方程x2+2（k+2）x+k2＝0 两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）
（A） k＞-1 （B） k＜0 （c）-1＜k＜0 （D）-1≤k＜0
错解：
B
正解：
D
错因剖析：
漏掉了方程有实数根的前提是△≥0
例3（2000广西中考题）已知关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。
错解:
由△＝（-2）2-4（1-2k）（-1）＝-4k+8＞0得 k＜2又∵k+1≥0∴k≥-1。
即k的取值范
围是-1≤k＜2
错因剖析：
漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。
事实上，当1-2k＝0即k＝时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。
正解：
-1≤k＜2且k≠
例4 （2002山东太原中考题）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。
错解：
由根与系数的关系得
x1+x2＝-（2m+1）, x1x2＝m2+1,
∵x12+x22＝（x1+x2）2-2x1x2
＝[-（2m+1）]2-2（m2+1）
＝2m2+4m-1
又∵x12+x22=15
∴2m2+4m-1=15
∴m1＝-4 m2＝2
错因剖析：
漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。
因为当m＝-4时，方程为x2-7x+17＝0，此时△＝（-7）2-4×17×1＝ -19＜0，方程无实数根，不符合题意。
正解：
m＝2
例5 若关于x的方程（m2-1）x2-2（m+2）x+1＝0有实数根，求m的取值范围。
错解：
△＝[-2（m+2）]2-4（m2-1）＝16m+20
∵△≥0
∴16m+20≥0，
∴m≥-5/4
又∵m2-1≠0，
∴ m≠±1
∴m的取值范围是m≠±1且m≥-
错因剖析：
此题只说（m2-1）x2-2（m+2）x+1＝0是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m2-1＝0和m2-1≠0两种情况。
当m2-1＝0时，即m＝±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。
正解：
m的取值范围是m≥-
例6 已知二次方程x2+3x+a＝0有整数根，a是非负数，求方程的整数根
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