北京市顺义区届高考第二次统练二模数学试题理含答案.docx

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北京市顺义区届高考第二次统练二模数学试题理含答案

顺义区2018届高三第二次统练

数学试卷（理科）

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.设集合，，则

A.B.C.D.

2.若满足则的最大值为

A.1B.3C.4D.

3.执行如图所示的程序框图，输出的值为

A.2B.3C.4D.5

4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

A.B.C.D.16

5.已知直线,其中在平面内.则“”是“”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.若，则的大小关系为

A．B.C.D.

7.已知是正△的中心．若，其中，，则的值为

A.B.C.D.2

8．已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：

①；②；③．

其中，“正三角形”曲线的个数是

A．

B．

C．

D．

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9.若，则.

10.已知为等差数列，为其前项和，若，则_______.

11.设双曲线经过点（4,1）,且与具有相同渐近线,则的方程为________________;渐近线方程为__________________.

12.曲线为参数）的对称中心到直线的距离为_______.

13.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，他们的终边关于轴对称，若，则.

14.已知是集合的非空子集，且当时，有.记满足条件的集合的个数为，则_______；_______.

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

在中，内角所对的边分别为.已知，，的面积为9.

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求及的值.

16．（本小题满分13分）

2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：

某班

满意

不满意

男生

2

3

女生

4

2

（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数

（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；

（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．

17.（本小题满分14分）

如图，在正三棱柱中，侧棱长和底面边长均为1，是的中点．

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使？

若存在，求的值，若不存在，说明理由．

18.（本小题满分13分）

已知函数,其中.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围.

19、（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，离心率为，点满足条件.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为，证明：

.

20、（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“陪伴数列”.

（Ⅰ）写出数列的“陪伴数列”；

（Ⅱ）若的“陪伴数列”是.试证明：

成等差数列.

（Ⅲ）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明：

.

顺义区2018届高三第二次统练

数学试卷答案（理科）

一、ADDBBCCC

二、9.1.10.1811..

12..13..14.3，

15.解:

（Ⅰ）因为的面积,

所以

所以.

因为,所以.-----------------------------------------7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在中,由余弦定理得,

所以.----------------------------------------10分

又因为,

所以在中,由正弦定理得.

-----------------------------------13分

16．（Ⅰ）不妨设女生人数为X，男生人数为Y，则可得X-Y=4

（1）

又由分层抽样可知，

（2）

联立

（1）

（2）可解得X=24，Y=20

（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A，则基本事件的总数有11种，事件A中包含的基本事件有6种，所以

（Ⅲ）的可能取值有0，1，2

对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，2人中恰好有0人持满意态度

基本事件的总数为=55，其中包含的基本事件数有种

所以

同理：

，

所以分布列为：

0

1

2

P

所以期望

17.（Ⅰ）连结交于点O，连结OD

交于点OO是的中点

又是的中点OD是的一条中位线

∥OD又

∥平面…………………….4分

（Ⅱ）以点D为坐标原点，DB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，垂直于面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，，0），C（，0，0）

在平面ADC1中，（0，，0），

设为平面ADC1的一个法向量，则有，即

不妨令，则，，所以

又，则

设与平面所成角为，则==

与平面所成角的正弦值为………………….9分

（Ⅲ）假设点E在线段上，使

不妨设（）

，

在平面ADC1中，（0，，0），

（1）

（2）

由

（1）可解得又

（2）可解得

（1）与

（2）矛盾，所以这样的点E不存在………………….14分

18.解：

（Ⅰ）当时，

∴--------------------------------------------2分

则，又----------------------------------------4分

∴曲线在点处的切线方程为：

-----5分

（Ⅱ）函数定义域为，且-------6分

下面对实数进行讨论：

①当时，恒成立，满足条件------------------------------7分

②当时，由解得，从而知

函数在内递增；同理函数在内递减，

-------------------9分

因此在处取得最小值------------10分

∴，

解得--------------------------------12分

综上：

当时，不等式在定义域内恒成立.---13分

19.解：

（Ⅰ）椭圆的标准方程为：

∴，------------------------2分

则，--------------------3分

∵，解得-------------4分

（Ⅱ）方法一：

①若直线的斜率不存在，则，，符合题意--------5分

②若直线的斜率存在，因为左焦点，则可设直线的方程为：

，

并设.

联立方程组，消去得：

---6分

∴,--------------------------------7分

∵----------------9分

∴-------------------------------------------------------------------12分

∵，

∴------------------------------------------------------------------14分

方法二：

依题意可设直线的方程为：

，并设.—5分

联立方程组，消去，得--------6分

∴,--------------------------------7分

∵------------------------------9分

∴------------------------------------------------------------------12分

∵，

∴------------------------------------------------------------------14分

20.

（Ⅰ）解：

.………………3分

（Ⅱ）证明：

对于数列及其“陪伴数列”，

因为，

，

，

……

，

将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，

相加得

即

故

所以成等差数列.………………8分

（Ⅲ）证明：

因为，

，

，

……

，

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

即，.………………13分