届中考数学一轮复习第20讲等腰三角形导学1.docx

届中考数学一轮复习第20讲等腰三角形导学1.docx

《届中考数学一轮复习第20讲等腰三角形导学1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届中考数学一轮复习第20讲等腰三角形导学1.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届中考数学一轮复习第20讲等腰三角形导学1

第20讲等腰三角形

一、知识梳理

等腰三角形的概念与性质

定义

有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底

性质

轴对称性

等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴

定理1

等腰三角形的两个底角相等（简称为：

__________）

定理2

等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”

拓展

（1）等腰三角形两腰上的高相等

（2）等腰三角形两腰上的中线相等

（3）等腰三角形两底角的平分线相等

（4）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

（5）等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行

（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

（7）等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高

等腰三角形的判定

定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的

边也相等（简写成：

___________）

拓展

（1）一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形

（2）一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形

（3）一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形

等边三角形

定义

三边相等的三角形是等边三角形

性质

等边三角形的各角都______，并且每一个角

都等于______

等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴

判定

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形

（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

线段的垂直平分线

定义

经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线

性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________

判定

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上

实质构成

线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有

点的集合

二、题型、技巧归纳

考点1等腰三角形的性质的运用

例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.

（1）求证：

△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，

并说明理由．

技巧归纳：

（1）利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．

（2）在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．

考点2等腰三角形判定

例2、已知：

如图锐角△ABC的两条高BD

、CE相交于点O，且OB＝OC.

（1）求证：

△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

技巧归纳：

要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有

（1）通过等角对等边得两边相等；

（2）通过三角形全等得两边相等；（3）利用垂直平分线的性质得两边相等．

考点3等腰三角形的多解问题

例3已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5BC，则△ABC底角的度数为（　　）

A．45°B

．75°

C．45°或75°D．60°

技巧归纳：

因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．

考点4等边三角形的判定与性质

例4数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线

上，且ED＝EC，如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AE________DB（填“>”“<”或“＝”）

（1）

（2）

（2）特例启发，解答题目

解：

题目中，AE与DB的大小关系是：

AE________DB（填“>”“<”或“＝”

）．理由如下：

如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.

（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．

技巧归纳：

等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．

三、随堂检测

1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　　　度.

2.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重

合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是　　　　.

3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为　（　　）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

4.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是　　　.

5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.

（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.

（2）连接BD，求证：

BD平分∠CBA.

参考答案

例1、解：

（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.

∵E是AB的中点，

∴AE＝BE.

∴

△ADE≌△BFE.

（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF.

∵∠GDF＝∠ADF，

又∵∠ADE＝∠BFE，

∴∠GDF＝∠BFE，

∴GD＝GF.

由

（1）得，DE＝EF，

∴EG⊥DF.

例2、解：

（1）证明：

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.

又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（AAS）．

∴∠DBC＝∠ECB,∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形．

（2）点O是在∠BAC的平分线上．

连接AO.

∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.

∵OB

＝OC，∴OD＝OE.

又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，

∴△ADO≌△AEO（HL）．

∴∠DAO＝∠EAO.∴点O是在∠BAC的平分线上．

例3、

如图

（1）：

AB＝AC，

∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝

BC，∠ADB＝90°.

∵AD＝

BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，

即此时△ABC底角的度数为45°；

如图

（2），AC＝BC，

∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.

∵AD＝

BC，∴AD＝

AC，∴∠C＝30°.

∴∠CAB＝∠B＝

＝75°，

即此时△ABC底角的度数为75°.

综上，△ABC底角的度数为45°或75°.

故选C.

例4、

（1）=

（2）=

方法一：

等边三角形ABC中，

∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

AB＝BC＝AC.

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，

∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，

∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.

又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，

∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，

且ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.

又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，

∴△DBE≌△EFC，

∴DB＝EF，

∴AE＝BD.

方法二：

在等边三角形ABC中，

∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.

∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，

ED＝EC，

∴∠

EDB＝∠ECB，

∴∠BED＝∠ACE.

∵FE∥BC，

∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，

∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.

∴△EFC≌△DBE，

∴DB＝EF，

而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.

∴AE＝DB.

（3）3）1或3.

随堂检测

1、【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，

∠ACD=120°.∵CG=CD，∴∠CDG=30°，

∠FDE=150°.∵DF=DE，∴∠E=15°.

答案：

15

2、【解析】∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，

∴∠CAE=30°.

根据旋转的性质，知∠CAE=∠DAF=30°，

∴∠CAF=30°，∴∠EAF=60°.

答案：

60°

3．

【解析】选C.连接MA，NA.∵AB的垂直

平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的

垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，

∴BM=AM，CN=AN，

∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C.∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，

∴△AMN是等边三角形，

∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN=BC=2cm.

4、【解析】∵MN是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，

∵∠DBC=15°，

∴∠ABC=∠A+15°，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC=∠A+15°，

∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，

解得∠A=50°.

答案：

50°

5、【解析】

（1）如图所示，DE就是要求作的AB边上的垂直平分线.

（2）∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A=30

°

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=30°.

∵∠C=90°，

∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°.

∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°.

∴∠ABD=∠CBD，

即BD平分∠CBA.