排列组合例题整理.docx

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排列组合例题整理

排列组合基础知识讲座

首先看一道简单的例题

例1：

用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法？

解答：

题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可以组成多少个这样的2位数。

假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都是由1，2组成，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。

由于和位置有关，所以这是排列问题。

（注意：

虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题）

排列公式的定义如下

也可写成P（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示进行排列的元素个数，！

表示阶乘，例如6！

=

，5!

=

，但要特别注意1！

=0！

=1。

假设n=5，r=3，则

P（5,3）=

在这个题目里，总共的元素个数是4，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。

根据公式

P（4,2）=

因此共有12种组法。

下面我们一起来看考试当中出现的一个题目：

例2.黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法?

解答：

假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白、蓝）和（蓝、白、黄），可以发现虽然都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。

很明显这属于排列问题。

在这里，总共的元素个数是3，所以n=3，从所有元素中取出3个进行排列，所以r=3。

根据公式

P（3,3）=

（计算的时候注意0！

=1）

因此共有6种排法。

如果我们把这个题目改一改，变成

例3黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几种排法?

解答

这仍然属于排列问题，只不过r变成了2。

在这里，总共的元素个数是3，所以n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。

根据公式

P（3,2）=

（计算的时候注意1！

=1）

因此还是有6种排法。

下面我们这个题目再变一下

例4黄、白、蓝三个球，任意取出两个，有几种取法?

解答：

假设我们第一次取出黄球，第二次取出白球，或者第一次取出白球，第二次取出黄球，可以发现虽然顺序不同，但都是同一种取法，即（黄，白）和（白，黄）是同一种取法。

由于和取出的球的排列位置无关，因此这属于组合问题。

组合公式的定义如下

也可写成C（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示进行组合的元素个数，！

表示阶乘，例如6！

=

，5!

=

，但要特别注意1！

=0！

=1。

假设n=5，r=3，则

C（5,3）=

另外，为便于计算，还有个公式请记住

例如C（6,2）=C（6,4）

在例4里，总共的元素个数是3，所以n=3，从所有元素中任意取出2个进行组合，所以r=2。

根据公式

C（3,2）=

（计算的时候注意1！

=1）

因此有3种取法。

基础知识讲完后，我们进行一次随堂模拟考试，下面是公考中曾经出现过的题目

考试题1.

林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。

若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？

解答：

这里涉及到了解答排列组合问题中常用到一种方法：

分步法。

即把完成一件事情的过程分成几步，每一步的可供选择的方案数相乘就是总的可供选择的方案数。

例如完成一件事情需要两步，第一步有2种选择，第二步有3种选择，如果不考虑完成顺序（即先完成第一步再完成第二步，或先完成第二步再完成第一步效果一样），则总的选择数为2乘3等于6。

本题中，就餐分成三步，第一步挑选肉类，第二步挑选蔬菜，第三步挑选点心。

在每一步的挑选中，由于挑选的物品是同一种类（例如从四种蔬菜中挑选两种，虽然种类不同，但挑出的仍然是蔬菜，与挑选时的顺序无关），所以每一步的挑选是组合问题。

第一步的选择数为C（3,1）=

，

第二步的选择数为C（4,2）=

第三步的选择数为C（4,1）=

由于不考虑挑选食物的顺序，所以总共有

种

考试题2.

将五封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）

解答：

这个题也采用分步法。

分成五步，第一步将第一封信投入邮筒，第二步将第二封信投入邮筒，……第五步将第五封信投入邮筒。

在每一步中，每一封信都有三个邮筒的选择，即可选择数是3。

由于结果与五封信的投递次序无关，所以共有

考试题3：

从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？

解答：

这个题和例题1有相似处，但要注意队与队之间的区别只与组成队员有关，而与队员的排列顺序无关。

例如，1,2,3,4,5,6号队员组成一队，不论他们怎么排列，123456和654321仍然是同一只队。

因为和位置无关，所以这是组合问题。

总共的元素个数是9，所以n=9，从所有元素中任意取出6个元素进行组合，所以r=6。

根据公式

C（9,6）=

因此有84种取法。

（注意：

考试时只要求知道计算公式C（9,6），不要求具体计算）

员行测排列组合问题的七大解题策略

  2009年11月19日10:

13   中公教育

　　邹继阳

　　排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型，并且随着近年公务员考试越来越热门，国考中这部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。

解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。

　　一、排列和组合的概念

　　排列：

从n个不同元素中，任取m个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

　　组合：

从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。

　　二、七大解题策略

　　1.特殊优先法

　　特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。

对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：

先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

　　例：

从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）

　　（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种

　　正确答案：

【B】

　　解析：

由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4,1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5,3）=60种不同的选法，所以不同的选派方案共有C（4,1）×A（5,3）=240种，所以选B。

A（5,3）＝5×4×3=60

　　2.科学分类法

　　问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。

　　对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。

同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。

　　例：

某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有（）种。

　　A.84B.98C.112D.140

　　正确答案【D】

　　解析：

按要求：

甲、乙不能同时参加分成以下几类：

　　a。

甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C（8，5）=56种；

　　b。

乙参加，甲不参加，同（a）有56种；

　　c。

甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C（8，6）=28种。

　　故共有56+56+28=140种。

　　3.间接法

　　即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。

为求完成某件事的方法种数，如果我们分步考虑时，会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复，就要考虑用分类法，分类法是解决复杂问题的有效手段，而当正面分类情况种数较多时，则就考虑用间接法计数。

　　例：

从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？

　　A.240B.310C.720D.1080

　　正确答案【B】

　　解析：

此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。

　　4.捆绑法

　　所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。

注意：

其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。

　　例：

5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

　　A.4240B.4320C.4450D.4480

　　正确答案【B】

　　解析：

采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A（6，6）=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：

A（6，6）×A（3，3）=4320（种）。

　　5.插空法

　　所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。

　　注意：

a。

首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。

　　b。

将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。

　　c。

对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。

　　例：

若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少排队方法？

　　A.9B.12C.15D.20

　　正确答案【B】

　　解析：

先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）×A（2，2）=12种。

　　6.插板法

　　所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略。

　　注意：

其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。

　　例：

现有8个完全相同的篮球全部分给3个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法？

　　A.28B.21C.32D.48

　　正确答案【B】

　　解析：

解决这道问题只需要将8个篮球分成三组，然后依次将每一组分别分给一个班级即可。

因此问题只需要把8个篮球分成三组即可，于是可以将8个篮球排成一排，然后用两个板插到8个篮球所形成的空里，即可顺利的把8个篮球分成三组。

因为每个班级至少分得一个篮球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是C（7，2）=21（种）。

　　7.选“一”法，类似除法

　　对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

这里的“选一”是说：

和所求“相似”的排列方法有很多，我们只取其中的一种。

　　例：

五人排队甲在乙前面的排法有几种？

　　A.60B.120C.150D.180

　　正确答案【A】

　　解析：

五个人的安排方式有5!

=120种，其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形（这里没有提到甲乙相邻不相邻，可以不去考虑），题目要求之前甲在乙前面一种情况，所以答案是A（5,5）÷A（2,2）=60种。

　　以上方法是解决排列组合问题经常用的，注意理解掌握。

最后，行测中数量关系的题目部分难度比较大，答题耗时比较多，希望考试调整好答题的心态和答题顺序，在备考过程中掌握好技巧和方法，提高答题的效率。

行测的五大模块有：

常识判断、言语理解、数量关系、判断推理、资料分析中，数量关系有其特殊性，就是因为需要一些数学基础。

这和其他四个模块不一样，对于其他四个模块，即使题目做错了，但至少拿到题目能动笔，华图公务员考试研究中心的专家在教学中发现，数量关系中有的题目考生完全不知道如何下手，特别是数学基础稍差的同学。

而数学题型中，排列组合、容斥问题等无疑是相对来说最需要数学基础的部分了。

首先，排列组合涉及到排列跟组合，也涉及到加法原理和乘法原理。

排列和组合之间有关系：

与顺序有关用排列，也就是A，与顺序无关用组合，即C；加法原理和乘法原理之间也有关系：

分类用加法，分步用乘法。

但加法原理、乘法原理和排列、组合之间没有关系，很多人觉得排列组合问题很难就是弄混了这一点。

下面我们来详细讲解。

举个例子：

一个人从武汉到北京有3种交通工具可以选：

飞机、火车、汽车，假设飞机有3种班次可以选，火车有3种班次可以选，汽车有2种班可以选，那么从武汉到北京共有多少选选择？

答案应该是3+3+2=8种。

因为这是在分类，将从武汉去北京的方式分为3类，选了其中一个就不能再选第2个，所以用加法原理；

再举个例子：

一个人从武汉坐火车去北京，由于没有直达，只能从南京转，即要先从武汉去南京，再从南京去北京，其中从武汉到南京有3种选择，从南京到北京有2种选择，则从武汉经过南京到北京有多少种选择？

答案是3X2=6种。

因为这是在分步，将从武汉到北京的过程分2步，第一步从武汉去南京，第二步从南京去北京，所以整体上是分步，用乘法原理。

例1：

林辉在自助餐厅就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的两种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。

若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选择方法？

（）

A.4B.24C.72D.144

这个题目整体上来说是在分步，将林辉挑选食物分为3步：

第一步挑肉，第二步挑蔬菜，第三步挑点心。

所以整体上是在分步，用乘法原理。

其中第一步挑肉，从四种肉种选一个，有4种选法；第二步挑蔬菜，从四种蔬菜里挑两种，有4x3/（2x1）=6种选法；第三步挑点心，从4种点心种选一个，有4种选法。

整体上用乘法原理，所以共有4x6x3=72种选法，选C

例2：

有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？

A.24种B.48种C.64种D.72种

这个题目整体上来说是在分类，将用等表示信号分为四类：

1、用一盏灯表示信号；2、用两盏灯表示信号；3、用三盏灯表示信号；4、用四盏灯表示信号。

其中用一盏灯表示信号即从四盏灯里选一盏灯并排序，有四种信号；用两盏灯表示信号即从四盏灯中选两盏出来并排序，有4×3=12种信号；用三盏灯表示信号即从四盏灯中选三盏灯出来并排序，有4×3×2=24种方法；用四盏灯表示信号即从四盏灯中选四盏灯出来并排序，有4×3×2×1=24种方法。

整体上来说是分类用加法原理，所以共有4+12+24+24=64种信号，选C。

总的来说，排列组合问题虽然很难，但只要分清楚什么时候是分类什么时候是分步，并算清楚每一类或每一步的方法数（此时往往是用排列或者组合，注意是否与顺序有关），如果是分类再把每一类的方法数加起来，如果是分步就把每一步的方法数撑起来。

遵循这样的解题思路，才能更准确的解决排列组合这一较难的专题。

排列组合问题是公务员考试当中必考题型，题量一般在一到两道，近年国考这部分题型的难度逐渐在加大，解题方法也越来越多样化，所以在掌握了基本方法原理的基础上，还要求我们熟悉主要解题思想。

那首先什么排列、组合呢？

　　排列：

从n个不同元素中，任取m个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

　　组合：

从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。

　　解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。

下面介绍几种常用的解题方法和策略。

　　解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。

下面通过例题逐个掌握：

　　一、相邻问题---捆绑法  不邻问题---插空法

　　对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

　　【例题1】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？

　　A.20   B.12   C.6   D.4

　　【答案】A。

　　【解析】首先，从题中之3个节目固定，固有四个空。

所以一、两个新节目相邻的的时候：

把它们捆在一起，看成一个节目，此时注意：

捆在一起的这两个节目本身也有顺序，所以有：

C（4，1）×2=4×2=8种方法。

二、两个节目不相邻的时候：

此时将两个节目直接插空有：

A（4，2）=12种方法。

综上所述，共有12+8=20种。

　　二、插板法

　　一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱（一般只要求不等于零），只对分成的份数有要求。

　　【例题2】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法？

　　A.190   B.171   C.153   D.19

　　【答案】B。

　　【解析】此题的想法即是插板思想：

在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份，那么共有：

C（19，17）=C（19，2）=171种。

　　三、特殊位置和特殊元素优先法

　　对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。

　　【例题2】从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种？

　　A.120   B.240   C.180   D.60

　　【答案】B。

　　【解析】方法一：

特殊位置优先法：

首先填充第一棒，第一棒共有5个元素可供选择，其次第4棒则有4个元素可以选择；然后第2棒则有4个元素可以选择，第3棒则有3个元素可以选择。

则共有5×4×4×3=240种。

　　方法二：

特殊元素优先法：

首先考虑甲元素的位置

　　第一类，甲不参赛有A（5,4）=120种排法；

　　第二类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有2种排法；其余5人占3个位置有A（5,3）=60种占法，故有2×60=120种方案。

　　所以有120+120=240种参赛方案。

　　四、逆向考虑法

　　对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题，我们就要学会间接的方法。

　　正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体？

　　A.70   B.64   C.61   D.58

　　【答案】D。

　　【解析】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，共C（8，4）-12=70-12=58个。

　　五、分类法

　　解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

　　【例题3】五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有

　　A.120种     B.96种   C.78种   D.72种 

　　【答案】C。

　　【解析】由题意可先安排甲，并按其分类讨论：

1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A（4，4）=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3×3×3×2×1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。

　　专家点评：

解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。

解决一道排列、组合提的方法很多，但我们必须选择一种最快做有效的解题方法。

这就要求我们准确掌握各种解题方法，能迅速的判断出哪种方法最适合解答该题。

　　下面我们为考生准备5道习题，请考生们注意选择最合适的解题方法。

　　1、丙丁四个人站成一排，已知：

甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？

　　A.6    B.12   C.9   D.24

　　2、马路上有编号为l，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种？

　　A.60 B.20 C.36 D.45

　　3、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数？

　　A.300 B.360 C.120 D.240

　　4、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？

　　A.45 B.36 C.9 D.30

　　5、六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数？

　　A.120 B.64 C.124 D.136

　　1、【解答】C。

能站在第一位，因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。

　　如果甲站在第二位，则共有三种可能：

乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙

　　如果甲站在第三位，则共有三种可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙

　　如果甲站在第四位，则共有三种可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲

　　因此一共有9种可能

　　2、【解答】B。

关掉的灯不能相邻，也不能在两端。

又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。

所以共C（6，3）=20种方法。

　　3、【解答】A。

排除法解P（6,4）-P（5,3）个=300个

　　4、【解答】B。

把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。

因而共C（9，7）=36种。

　　5、【解答】D。

先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

　　第一类：

乙在排头，有A（5，5）种站法。

　　第二类：

乙不在排头，当然他也不能在排尾，有C（4，1）×（4，1）×（4，4）种站法，故共有136种站法。